高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列课件 新人教B版必修5(1).ppt

第二章 数列 2 1数列2 1 1数列 学习目标 1 理解数列及其有关概念 2 理解数列的通项公式 并会用通项公式写出数列的任意一项 3 了解数列与函数的关系 会根据数列的前几项写出它的通项公式 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 下列四个结论正确的有 1 任何一个函数都对应着一个映射 任何一个映射也对应着一个函数 2 任何一个函数都有一个确定的函数表达式 3 函数的表示方法有 列表法 解析法 图象法 4 对于函数f x x1 x2为函数f x 定义域内任意两个值 当x1 x2时 f x1 f x2 则f x 是增函数 解析函数是非空数集a到非空数集b的一个映射 而映射中的a b并非是数集 故 1 错 某地区的某天的温度y是时间t的函数 这个函数只能用列表法表示 不能用表达式表示 故 2 错 3 显然正确 4 中的函数为减函数 故不正确 答案 3 预习导引 1 数列的概念按照排列起来的一列数叫做数列 数列中的每一个数叫做这个数列的 2 数列的表示数列的一般形式可以写成a1 a2 a3 an 其中an是数列的第n项 叫做数列的 常把一般形式的数列简记作 an 一定次序 项 通项 3 数列的通项如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 4 数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 数列的通项公式也就是相应函数的 它的图象是相应的曲线 或直线 上的一些孤立的点 横坐标为正整数 an f n 解析 式 5 数列的分类 1 数列按项数可分为和 项数的数列叫做有穷数列 项数的数列叫做无穷数列 2 按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列 递减数列 常数列和摆动数列 3 从第二项起 每一项都它的前一项的数列 叫做递增数列 从第二项起 每一项都它的前一项的数列 叫做递减数列 各项的数列叫做常数列 相等 有穷数列 无穷数列 有限 无限 大于 小于 要点一数列的概念及通项例1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 解符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 3 0 8 0 88 0 888 解各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母小3 因此把第1项变为至此原数列已化为 解将数列统一为 对于分子3 5 7 9 是序号的2倍加1 可得分子的通项公式为bn 2n 1 对于分母2 5 10 17 联想到数列1 4 9 16 即数列 n2 可得分母的通项公式为cn n2 1 可得原数列的一个通项公式为an 规律方法此类问题虽无固定模式 但也有规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 具体方法为 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破 或寻找分子 分母之间的关系 跟踪演练1写出下列数列的一个通项公式 1 3 5 9 17 33 解3可看作21 1 5可看作22 1 9可看作23 1 17可看作24 1 33可看作25 1 所以an 2n 1 解每一项的分子比分母小1 而分母组成数列为21 22 23 24 所以an 解偶数项为负而奇数项为正 故通项公式必含因式 1 n 1 观察各项绝对值组成的数列 从第3项到第6项可见 分母分别由奇数7 9 11 13组成 而分子则是32 1 42 1 52 1 62 1 按照这样的规律 第1 2两项可分别改写为所以an 1 n 1 要点二数列通项公式的应用例2已知数列 an 的通项公式为an 3n2 28n 1 写出数列的第4项和第6项 解根据an 3n2 28n a4 3 42 28 4 64 a6 3 62 28 6 60 令3n2 28n 68 即3n2 28n 68 0 n 2或n 2 n n 68不是该数列的项 2 问 49和68是该数列的项吗 若是 是第几项 若不是 请说明理由 解令3n2 28n 49 即3n2 28n 49 0 n 7或n 舍 49是该数列的第7项 即a7 49 规律方法 1 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系 只要用序号代替公式中的n 就可以求出数列的相应项 2 判断某数值是否为该数列的项 先假设是数列的项 列出方程 若方程的解为正整数 项数 则是该数列的项 若方程无解或解不是正整数 则不是数列的项 跟踪演练2已知数列 an 的通项公式为an n n 那么是这个数列的第 项 解析 n n 2 10 12 n 10 10 要点三判断数列的单调性 由n n 得an 1 an 0 即an 1 an 数列 an 是递增数列 规律方法单调性是数列的一个重要性质 判断数列的单调性 通常是运用作差或作商的方法判断an 1与an n n 的大小 若an 1 an恒成立 则 an 为递增数列 若an 1 an恒成立 则 an 为递减数列 用作差法判断数列增减性的步骤为 作差 变形 定号 结论 n n an 1 an 0 即an 1 an 方法二 n n an 0 函数f x 在 1 上是增函数 要点四求数列的最大 小 项例4已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 解由n2 5n 4 0 解得1 n 4 n n n 2 3 数列中有两项是负数 解方法一 an 的相应函数为f x x2 5x 4 x 2 可知对称轴方程为x 2 5 又 n n 故n 2或3时 an有最小值 且a2 a3 其最小值为22 5 2 4 2 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 解这个不等式组 得2 n 3 又 n n n 2 3 a2 a3且最小 a2 a3 22 5 2 4 2 规律方法求数列 an 的最大项和最小项 一种方法是利用函数的最值法 另一种是不等式法 求最小项可由来确定n 求最大项可由来确定n 若数列是单调的 也可由单调性来确定最大或最小项 跟踪演练4已知数列 an 的通项公式an n 1 n n n 试问数列 an 有没有最大项 若有 求最大项和最大项的项数 若没有 说明理由 解假设数列 an 中存在最大项 an 1 an n 2 n 1 n 1 n 当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 9时 an 1 ana11 a12 所以数列中有最大项 最大项为第9 10项 且a9 a10 1 下列叙述正确的是 a 数列1 3 5 7与7 5 3 1是相同的数列b 数列0 1 2 3 可以表示为 n c 数列0 2 0 2 是常数列d 数列 是递增数列解析由数列的通项an 知 当n的值逐渐增大时 的值越来越接近1 即数列 是递增数列 故选d d 1 2 3 4 2 数列2 3 4 5 的一个通项公式为 a an nb an n 1c an n 2d an 2n解析这个数列的前4项都比序号大1 所以 它的一个通项公式为an n 1 b 2 3 4 1 3 根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 3 5 7 9 2 9 99 999 9999 3 0 1 0 1 解 1 数列各项的绝对值为1 3 5 7 9 是连续的正奇数 考虑 1 n 1具有转换符号的作用 所以数列的一个通项公式为an 1 n 1 2n 1 n n 1 2 3 4 2 各项加1后 变为10 100 1000 10000 此数列的通项公式为10n 可得原数列的一个通项公式为an 10n 1 n n 1 2 3 4 4 已知数列 an 的通项为an 2n2 29n 3 求数列 an 中的最大项 解由已知 得an 2n2 29n 3 2 n 2 108 由于n n 故当n取距离最近的正整数7时 an取得最大值108 数列 an 中的最大项为a7 108 1 2 3 4 课堂小结1 数列的概念的理解 1 数列是一种特殊的函数 其特殊性主要表现在定义域和值域上 数列可以看成是以正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 为定义域的函数 即自变量的取值必须是正整数 而数列的通项公式也就是相应函数的解析式 2 数列的项与它的项数是不同的概念 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数 是一个函数值 也就是相当于f n 而项数是指这个数在数列中的位置序号 它是自变量的值 相当于f n 中的n 3 与集合中元素的性质相比较 数列中的项也有三个性质 确定性 可重复性 有序性 2 数列的通项公式 1 数列的通项公式实际上是一个以正整数集n 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数的表达式