河北南宫一中高三数学二轮复习 77 立体几何中的向量方法（自主学习）学案.doc

7-7立体几何中的向量方法（自主学习）【学习目标】1.理解直线的方向向量与平面的法向量2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.【学习任务】阅读选修2-1 第3章第2节，完成以下内容一.直线的方向向量和平面的法向量1.直线的方向向量直线l上的向量e或与e 的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有 个2平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量显然一个平面的法向量也有 个，且它们是 向量3设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kr；lmabab0；lauau0；lauaku，kr；uvukv，kr；uvuv0.在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？下列命题是否正确(请在括号内填“”或“”)(1)若n1，n2分别是平面、的法向量，则n1n2.( )(2)若n1，n2分别是平面、内的向量，则n1n2.( )(3)若n1是直线l的一个方向向量，n2是平面的一个法向量，则ln1n2.( )(4)若n1(7,3,4)，n2(x，y,8)分别是两直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则xy8.( )二.空间向量与空间角的关系1.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos|cos| (其中为异面直线a，b所成的角)范围是(0，2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos| .取值范围是0，3求二面角的大小(1)如图，ab、cd是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 (2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2取值范围是0，(1)如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，这条斜线与平面所成的角是 .(2)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 .(3)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为 .三.求空间的距离1.点到平面的距离如图，设ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点b到平面的距离d .2线面距、面面距均可转化为点面距进行求解在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于 .【预习检测】考向一1.2014广东中山模拟如图，已知两个正四棱锥pabcd与qabcd的高分别为1,2，ab4.(1)证明：pq平面abcd；(2)求异面直线aq与pb所成角的余弦值；(3)求点p到面qad的距离【触类旁通】 异面直线所成角及点面距离的向量求法： 1. 2013辽宁大连一模长方体abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为()a. b. c. d. 2. 2013福建泉州二模设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a. b. c. d. 考向二2.在长方体abcda1b1c1d1中，aa12ab2bc，e、f、e1分别是棱aa1，bb1，a1b1的中点(1)求证：ce平面c1e1f；(2)求证：平面c1e1f平面cef.本例已知条件不变，求证cf平面c1ef.【触类旁通】 1向量法证明空间平行或垂直的关键点利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上2向量法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法课堂跟踪训练1：2014安徽师大附中模拟如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点(1)求证：af平面bce；(2)求证：平面bce平面cde.考向三典例：2013课标全国卷 如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值【触类旁通】 利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角课堂跟踪训练2： 2013湖南高考如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13. (1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值考向四典例：2013辽宁高考如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值（举一反三）本例已知条件不变，设o为ab的中点，q为pa的中点，g为aoc的重心，求证：qg平面pbc.【触类旁通】求二面角大小的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小课堂跟踪训练32013北京高考如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.(1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)证明：在线段bc1上存在点d，使得ada1b，并求的值智能升华：（实验班必做）规范答题系列7利用空间向量破解二面角中的难题如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值【问题反馈】(学生自己完成)【本节收获】：（学生填写）答题模板第一步：证明线线平行得到线面平行