高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人教A版选修21.ppt

第三章 空间向量与立体几何 3 1空间向量及其运算 3 1 3空间向量的数量积运算3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 自主预习学案 没有规矩不成方圆 国家法律保障每个公民的权利不受侵害 校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境 可见 世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存 初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律 那么向量的数量积该如何规定 向量的数量积又满足哪些运算律呢 1 向量a与b的夹角已知两个非零向量a b 在空间任取一点o 作 a b 则角 叫做向量a与b的夹角 记作 通常规定0 a b 180 且 a b b a 如果 a b 则称a与b互相垂直 记作a b aob a b 90 2 向量a b的数量积空间两个非零向量a b a b 叫做向量a b的数量积 或内积 同平面向量一样 空间两个向量的数量积是一个实数 空间两个向量的数量积也具有如下性质 1 a b 2 a 2 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律 1 a b a b 2 a b b a 交换律 3 a b c a c b c 分配律 a b cos a b a b 0 a a 3 三垂线定理在平面内的一条直线 如果和这个平面的 垂直 那么它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的 那么它也和 垂直 即与斜线垂直 与射影垂直 一条斜线的射影 一条斜线垂直 这条斜线在平面内的射影 4 数量积的性质设a b都是非零向量 a b a b时 时 a与b同向 时 a与b反向 a b a b 0 为锐角时 a b 0 但a b 0时 可能为 为钝角时 a b 0 但a b 0时 可能为 a b a b 特别地 当 时 a b a b 当 时 a b a b 0或 0 0 0 a b c 0 xa yb zc a b c 基向量 不共面 不同 相同 e1 e2 e3 起点 xe1 ye2 ze3 x y z x y z 1 下列式子中正确的是 a a a a2b a b 2 a2 b2c a b c a b c d a b a b 解析 a a是与a共线的向量 a2是实数 故a不对 a b 2 a 2 b 2 cos2 a b a2 b2 故b错 a b c与c共线 a b c 与a共线 故c错 a b a b cos a b a b d a 解析 由空间基底的概念知 构成基底的三个基向量一定不共面 因此必定不共线 都是非零向量 a错 d错 b正确 abc为直角三角形时不一定角a为直角 故c错 b 2 3 4 1 2 5 互动探究学案 命题方向1 向量的数量积的概念与运算 典例1 规律总结 1 空间向量运算的两种方法 1 利用定义 利用a b a b cos a b 并结合运算律进行计算 2 利用图形 计算两个向量的数量积 可先将各向量移到同一顶点 利用图形寻找夹角 再代入数量积公式进行运算 2 在几何体中求空间向量数量积的步骤 1 首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 2 利用向量的运算律将数量积展开 转化为已知模和夹角的向量的数量积 3 代入a b a b cos a b 求解 b 命题方向2 利用数量积求夹角和模 典例2 跟踪练习2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 求异面直线a1b与ac所成的角 命题方向3 利用数量积解决垂直问题 已知三棱锥o abc中 aob boc aoc 且oa ob oc m n分别是oa bc的中点 g是mn的中点 求证 og bc 典例3 典例4 1 建立空间直角坐标系时 必须寻求三条两两垂直的直线 2 空间向量坐标表示的方法与步骤 1 观图形 充分观察图形特征 2 建坐标系 根据图形特征建立空间直角坐标系 3 用运算 综合利用向量的加减及数乘运算 4 定结果 将所求向量用已知的基底