多体量子论.doc

攻读硕士学位研究生作业封面（2010 至 2011 学年度第 1 学期）题 目 相对论性量子力学 科 目 多体量子理论 姓 名 陶娜 专 业 理论物理 入学年月 2009.9 简短评语成绩：授课教师签字：相对论性量子力学一. 微观粒子的相对论性动力学非相对论量子力学，相对论性量子力学都研究了微观粒子的量子运动的动力学规律，即微观粒子在真空背景的量子涨落的影响下的动力学规律，但是由于相对论深刻的揭示了平稳真空的时空效应，使得相对论性量子力学，特别是相对论性量子场论，比非相对论性量子力学更深刻更充分的刻画了真空背景的平稳尺钟效应和量子涨落效应二者对微观粒子运动的影响。相对论：概括平稳真空的时空效应对粒子运动的影响（E-P色散关系）量子论：概括涨落真空的量子涨落效应对粒子运动的影响（X-P对易关系）相对论性量子场论：比较全面概括了真空背景的平稳尺钟效应和量子涨落效应二者对粒子运动的影响。A. 非相对论性量子力学的特点1. 时空和E(P)-P关系的不对称性微观粒子的动力学是量子力学。前面介绍的量子力学是建立在非相对论时空和非相对论运动学的基础之上，称为非相对论量子力学。非相对论时空是伽利略时空，其特点是空间与时间的分离和不对称，从伽利略变换可清楚的看出。非相对论运动学的特点是自由粒子的能量-动量关系： (1)表现出的E(P)-P的不对称性（能量一次方与动量二次方相对应的不对称性）。2. 力学量算符恢复了对称性非相对论量子力学揭示出了量子论最基本的特点与规律，即基本力学量能量E与动量P与算符的对应关系： （2a） （2b） 从上述基本力学与算符的对应关系可以看出：在经典力学水平上，非相对论时空的不对称性造成的运动学上能量E与动量P之间的不对称性，在量子力学的运动学的层次上得到了恢复；上述（E,P）与（）的对应表现出时空与基本力学量之间的对称性。然而非相对论经典力学的E-P关系（色散关系）却破坏了这种对称性，使得它对应的量子动力学方程-薛定谔方程 (3)是时间的一次，坐标的二次偏微分方程，不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是微观粒子的相对论性量子力学运动方程，只能是其非相对论极限。B. 相对论性量子力学的特点1. 时空和E-P关系的对称性相对论量子力学的第一个特征是：时空是对称的洛伦兹时空，相应的自由粒子的运动学关系-能量与动量的关系也必然是对称的相对论协变的，由此建立的运动方程也应是洛伦兹协变的。2. 相对论性量子理论的本质是粒子数可变的多粒子体系的理论非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子的量子态的产生，消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没有真正涉及粒子的产生和消灭。按照给相对论性量子力学，可以以任意精度把一个粒子定域在时间或空间的一个点上，只要与其共轭的量满足测不准关系， ， （4）在相对论的情形，这样做不可能保持粒子数不变的表象。一旦超过粒子的静止质量对应的能量，粒子在能量和动量上的不确定性必然导致粒子从真空中产生；一个粒子在时空上的定域必然导致在它附近从真空中产生出众多的粒子对，因而形成一个由粒子-反粒子组成的量子场。因此，在相对论框架内，一个粒子的量子理论由于真空量子涨落必须代之以众多粒子的量子场论。因此，相对论性量子场力学的第二个特点是：粒子在时空上的定域造成的能量。动量的量子涨落必然导致粒子对在真空中的产生于湮没，一个粒子在时空上的定域必然伴随着其附近众多粒子的量子场的形成。因此，相对论性量子力学在本质上市量子场论。二 Klein-Gordon 方程A. 薛定谔方程的建立薛定谔方程是把非相对论性能量动量关系算符化后得到的波动方程， , （5a） , （5b） （5c）因此，它是非相对论性的，时空坐标是不对称的，但它保持能量。质量守恒，由它可得保持几率守恒的连续性方程 （6a） （6b） （6c）B. 相对论性量子力学方程-Klein-Gorgon 的建立 把自由粒子的相对论性能量-动量关系算符化得到相对论性协变的波动方程 （7a） （7b）称为Klein-Gordon方程。但是，由它得到的几率守恒的连续性方程为： （8a）而 （8b） （8c）由于Klein-Gordon方程是时间的二阶微分方程，初始条件和的选取时独立的；一般情况，会变成负的，这就是Klein-Gordon方程的第一困难：负几率问题。Klein-Gordon方程的第二个困难时负能量问题。把自由粒子的运动方程的解代入K-G方程，得到 （9）即K-G方程可能有负能解（必须有负能解，数学上才是完备的）。分析表明，上述两个困难都与K-G方程是时间的二阶微分方程有关。因此，K-G方程不能作为单粒子的相对性量子力学方程；寻找单粒子的相对论性量子力学方程，必须消除造成K-G方程的困难的原因，即必须把方程对时间的微分线性化。有两条路可走。1)作变换，代入K-G方程，考虑到， （10）在非相对论情况，由于，略去包含动能系数的项，就得时间一阶的的波动方程，正好是薛定谔方程。显然，这并没有解决问题，只是回到了非相对论性的结果。2) 大胆采取新颖的数学工具把K-G方程严格线性化（而不做非相对论近似），这就是Dirac所走的创新路线。三. 自由粒子的Dirac方程A. 线性化寻找自洽而合理的自由粒子的相对论性量子力学方程，归结为把时间的二阶的K-G方程线性化为时间的一阶的偏微分方程，而且要保证：1）几率正定；2）方程具有洛伦兹协变性。K-G方程的线性化归结为相对性能量 （11a）或其对应的算子的线性化。这是通常的运算不能完成的，必须引进新的算子。设 或 ， （12）对上式平方 = =若满足下列关系 , （13a） （13b）则 ， K-G方程就线性化为Dirac方程 （14）在 为厄米的条件下得连续性方程 （15a） （15b） （15c）即几率守恒要求为厄米算子。的表达式表明具有速度算子的性质。事实上，由于知守恒。由速度算子满足的海森堡方程， （16）证明是速度算子。B. 的表示考虑的矩阵表示。一般，设为矩阵，由（17a） （17a）有 =1） N=2: 矩阵只有4个独立的基，可选为，任何矩阵均可表示为它们的线性组合。显然 （18a）但是，I 与对易 （18b）故 （18c）因此，不可能为矩阵，至少应为矩阵。1） N=4: 其表示有多种，期间差一个幺正变换。现Pauli-Dirac表示 , （19a） ， ， (19b)易证 （20）令, （21）得 （22）Dirac方程化为 （23）因为矩阵，必为4分量列矢量-旋量 (24)C. 洛伦兹协变性在洛伦兹变换下的函数形式和变量均发生变化。 （25）其中对而言表示旋量函数形式的变化，有矩阵来实现。对而言表示坐标变换，由洛伦兹变换来实现， （26）二者一起造成方程形式的变换为 ， （27） 若 矩阵满足洛伦兹适量变换规则 （28） 由正交性条件 ，得到在新的洛伦兹坐标系中的Dirac方程 （29）与原来的坐标系中的方程（23）比较可知：变换后的旋量波函数在新的洛伦兹坐标系中服从同一形式的Dirac方程，这叫做Dirac方程对洛伦兹变换协变。的变换性质和的形式：现在由得变换性质来计算的具体形式。1） 空间反射的： 由 （30a）求得： （30b）时间反演的： 由 （31）求得： （32）2） 真洛伦兹变换的：真洛伦兹变换要求坐标变换行列式为正一：。真洛伦兹变换下的的具体形式可以从的变换性质得到。先考虑无穷小坐标变换： （33）设相应的无穷小变换为 （34a） （34b）易证： ， = （35）即和满足其变换性质（28），（34a，b）的确是所需要的无穷小变换。有限的变换可以从对无穷小变换积分得到。D. 从角动量守恒到处Diran粒子内禀自旋为1/2可以证明，Dirac方程必须引进粒子的内禀自旋为1/2，才能满足角动量守恒的要求。由于 所以 （36）轨道角动量不守恒；但若假设粒子具有内禀自旋，则总角动量守恒 , （37）因为 由（36）和（37）可知 (38)即总角动量守恒。由于 (39)所以 S=1/2即角动量守恒要求Dirac方程描述的粒子具有内禀自旋S=1/2。E. 中微子的运动方程若中微子质量为零，当M=0时，Dirac方程不出现项，因此，有表示，可以用来实现： （40）这时，Dirac方程变为二分量的方程 （41a） （41b）显然 （42）故动量和螺旋性为互易的守恒量，它们的共同本征函数为，满足 （43a） （43b）若选自选沿的投影即螺旋性算子的形式为 （43c）则 ，的显式为 （44） （45）表示自旋沿的投影为+1/2的状态，描述右旋反中微子；表示自旋沿的投影为-1/2的状态，描述左旋反中微子。在空间反射变换下 （46）哈密顿量发生变化，系统的宇称不守恒。中微子虽然螺旋性守恒，但宇称不守恒，即螺旋性守恒与宇称守恒是不相容的；因此，中微子参与的过程宇称不守恒，与中微子螺旋性守恒有关。实验已正式中微子质量不为零但很小，因此中微子应用四分量的Dirac方程来描述。F. Dirac方程的自由平面波解自由Dirac粒子的为 （47） （48a） (48b)此处引进新的算子 （49）把矩阵分裂为自选空间算子和粒子-反粒子空间算子后，哈密顿量 (50)具有明显的动力学对称群。上述两个代数的直积的约定是：把自旋空间的算子放在粒子-反粒子空间的算子的矩阵元中。上述系统在普通空间和自旋空间的守恒量为; (51a) (51b)设 （52）则的共同本征函数可计算如下： （53） （54） （55a） （55b）还有粒子-反粒子空间的自由度和相应的守恒量。因此，总的本征函数应包括空间量子数，s空间量子数v和空间量子数。故总的波函数为 （56）代入Dirac方程， （57a）得空间的哈密顿量： （57b）其中 ， （58a） , (58b)现求的本征态。先求的本征态。因，故其本征态为 , （59a） （59b）通过幺正变换可求得的本征解：由（60b）可得 （61a）其中 （61b）即 , （62b）正能态() 的解为 （63）按照算子的直积规则，应把自旋波函数放到正反粒子波函数的列矢元素上，因而有 （64a）描述右旋电子 （64b）描述左旋电子负能态解为 （65） （66a）描述右旋正电子 （66b）描述左旋正电子。负能量的来源是空间的自由度的量子数为-1，因而对应于反粒子，而在空间有一个转动，把空间的两个态混合起来了；因此，物理的正反粒子是空间正反粒子态的组合，这是粒子的静质量不为零的必然结果。Dirac方程的正能解的的量子数为，描述粒子；而负能解的量子数为-1，描述反粒子。因此，Dirac方程预言了正电子的存在。上述对自由粒子Dirac方程的处理的基本观点是：矩阵对应的内部自由度，是自旋自由度和正-反粒子自由度在真空背景中按特定方式想干组合的结果，当存在相互作用是，矩阵对应的内部自由度就分解成自旋自由度和正-反粒子自由度，或进入矩阵的非线性的Clifford代数的领域。因此，这种分解所必然引进的正-反粒子自由度对描述基本粒子的相互作用是必须的。引进正-反粒子自由度由以下结果；对自由度Dirac粒子，平面波解又5个量子数而不是通常的四个量子数，负能量来自正-反粒子量子数=1.这一观点和相应的处理方式可以推广到中心立场的情况，Dirac方程会出现由空间自由度。自旋自由度和正-反粒子自由度构成的超对称性。四. 电磁场中电子的Dirac方程A. 电磁场中电子的Dirac 方程自由电子的Dirac方程 （67a） （67b）电子在电磁场中的Dirac方程可在方程（67）中做如下替换而得出： （68a） （68b）或表示成 （69）或表示成 （70a） （70b）若与时间t无关，则的定态解为 (71)四.分量旋量波函数满足定态Dirac方程 （72）B. 非相对论极限与电子磁矩 把写成大小分量的形式，并取出与电子静止质量相应的能量所对应的高频因子 （73）其目的是把与电子静止质量相应的能量剔除，剩下动能以便于讨论非相对论极限。把式（73）代入方程（70a），得到大小分量的耦合方程 （74a） （74b）（74b）式中，正比于动能乘以，它和一样，比起是高阶小量，在非相对论极限下，可以略去，因而可得 （75）为小分量。把式（75）代入式（74a），得大分量的方程 （76）利用恒等式 + + (77)上式推导中用到反对陈量与二阶张量的收缩为零，方程（76）可化为 （78）（78）式右边第二项为,其中 （79）表示电子的内禀磁矩，表示电子的内禀磁矩与外磁场B的相互作用能。电子内禀磁矩的知为一个Bohr磁子 （80）这是Dirac方程得出的一个重要结论：电子内禀磁矩的值等于Bohr磁子。然而，电子磁矩的观测值为 所以，Dirac的相对论波动方程一方面能够对观测到的电子蹴鞠给予较满意的说明，但另一方面观测值与Bohr磁子还有微小差异，这一差异称为电子的反常磁矩，作为单电子理论的Dirac方程对此无法解释，只有量子电动力学才对电子的翻唱磁矩作出了满意的解释。C. 中心立场下的非相对论极限：自旋轨道耦合力 考虑电子在中心立场中的运动，例如电子在原子核的Coulomb吸引势厂中的运动，此时,中心立场标量势为 （81）定态Dirac方程（72）可表示为 （82）为便于过渡到非相对论情况，把静能量分出来，令 （83）在非相对论近似下，并把表示成大小分量 采用Pauli-Dirac表象，式（82）化为大小分量的耦合方程， （85a） （85b）由式可得 在非相对论极限下，去上式安展开的最低次项得到。 (86)代入式（85a），得到大分量波函数满足的方程 （87a）化简后，得 （87b）再利用恒等式 （88）（88）式中的推导中用到，把（88）式代入（87）得 （89）上式左边第二项与第三项均系相对论修正项。利用式（86），略去高级修正项，可得，于是式（89）左边第二项化为，可改写 （90）左边第三项为动能的相对论修正，第四项为自旋-轨道耦合项，可记为，而 （91）式（90）左边最后两项无经典含义。还应指出，最后一项不是厄米算符。问题出在：把Dirac波函数的大分量直接当成非相对论近似下的二分量波函数，导致了几率不守恒和随之而来的H的非厄米性。挽救的办法是在取非相对论极限时要保证总几率守恒（波函数归一化保持不变），即要求几率守恒的波函数满足 （92）在准确到下，由（86）得 所以 （93）因而 （94）把（94）代入（90），略去，得出满足的方程 (95)利用 即 （96）代入式(95),并利用和 则（95）化为 (97)这就是在中心立场中运动的粒子的Dirac方程的非相对论极限，其左边的哈密顿量算是厄米的。左边圆括号内的后三项为最低级的相对论修正项项，它们将导致能级的精细结构。对于类氢原子，V(r)=-Ze2/r,所以 （98） （99）后一项亦称为接触势。它只对s态（l=0）有影响。与此相反，自旋轨道耦合势，只对的态有影响参考文献: 1. P.A.M.Dirac, The Principle of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958. P.A.M. 狄拉克, 量子力学原理, 科学出版社, 1965. 2. J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics(1964) and Relativistic Qu