（浙江专版）2018年高考数学 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训10 立体几何中的向量方法.doc

专题限时集训(十)立体几何中的向量方法(对应学生用书第137页) 建议用时：45分钟1如图1011，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd.图1011(1)求证：pd平面pab.(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值(3)在棱pa上是否存在点m，使得bm平面pcd？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面pad平面abcd，abad，所以ab平面pad.所以abpd.2分又因为papd，所以pd平面pab.4分(2)取ad的中点o，连接po，co.因为papd，所以poad.又因为po平面pad，平面pad平面abcd，所以po平面abcd.因为co平面abcd，所以poco.因为accd，所以coad.5分如图，建立空间直角坐标系oxyz.由题意得，a(0,1,0)，b(1,1,0)，c(2,0,0)，d(0，1,0)，p(0,0,1).6分设平面pcd的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2).8分又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线pb与平面pcd所成角的正弦值为.10分(3)设m是棱pa上一点，则存在0,1使得.11分因此点m(0,1，)，(1，).12分因为bm平面pcd，所以要使bm平面pcd当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱pa上存在点m使得bm平面pcd，此时.15分2如图1012，在四棱锥pabcd中，adbc，adcpab90，bccdad，e为棱ad的中点，异面直线pa与cd所成的角为90.图1012(1)在平面pab内找一点m，使得直线cm平面pbe，并说明理由；(2)若二面角pcda的大小为45，求直线pa与平面pce所成角的正弦值. 【导学号：68334118】解(1)在梯形abcd中，ab与cd不平行如图(1)，延长ab，dc，相交于点m(m平面pab)，点m即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知bced，且bced，所以四边形bcde是平行四边形，从而cmeb.4分又eb平面pbe，cm平面pbe，所以cm平面pbe.6分(说明：延长ap至点n，使得appn，则所找的点可以是直线mn上任意一点)(2)法一：由已知，cdpa，cdad，paada，所以cd平面pad，从而cdpd，所以pda是二面角pcda的平面角，所以pda45.7分设bc1，则在rtpad中，paad2.如图(1)，过点a作ahce，交ce的延长线于点h，连接ph，易知pa平面abcd，从而pace，于是ce平面pah.所以平面pce平面pah.11分过a作aqph于q，则aq平面pce，所以aph是pa与平面pce所成的角在rtaeh中，aeh45，ae1，所以ah.在rtpah中，ph，所以sinaph.15分法二：由已知，cdpa，cdad，paada，所以cd平面pad，于是cdpd.从而pda是二面角pcda的平面角，所以pda45.又paab，所以pa平面abcd.7分设bc1，则在rtpad中，paad2，作ay平面pad，以a为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，c(2,1,0)，e(1,0,0)，(2)所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2).9分设平面pce的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1).12分设直线pa与平面pce所成角为，则sin ，所以直线pa与平面pce所成角的正弦值为.15分3在平面四边形acbd(如图1013(1)中，abc与abd均为直角三角形且有公共斜边ab，设ab2，bad30，bac45，将abc沿ab折起，构成如图1013(2)所示的三棱锥cabd，且使cd.(1)(2)图1013(1)求证：平面cab平面dab；(2)求二面角acdb的余弦值. 【导学号：68334119】解(1)证明：取ab的中点o，连接co，do，在rtacb，rtadb中，ab2，codo1.又cd，co2do2cd2，即cood.2分又coab，abodo，ab，od平面abd，co平面abd.4分又co平面abc，平面cab平面dab.5分(2)以o为原点，ab，oc所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则a(0，1,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，d，(0,1,1)，(0，1,1)，.6分设平面acd的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，则y11，x1，n1(，1,1).8分设平面bcd的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即令z21，则y21, x2，n2，12分cosn1，n2，二面角acdb的余弦值为.15分4(2017杭州学军中学高三模拟)在如图所示的圆台中，ac是下底面圆o的直径，ef是上底面圆o的直径，fb是圆台的一条母线图1014(1)已知g，h分别为ec，fb的中点求证：gh平面abc；(2)已知effbac2，abbc.求二面角fbca的余弦值解(1)证明：设fc的中点为i，连接gi，hi(图略)在cef中，因为点g是ce的中点，所以gief.又efob，所以giob.3分在cfb中，因为h是fb的中点，所以hibc.又higii，所以平面ghi平面abc.因为gh平面ghi，所以gh平面abc.6分(2)法一：连接oo，则oo平面abc.又abbc，且ac是圆o的直径，所以boac.8分以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题意得b(0,2，0)，c(2，0,0)，所以(2，2，0)，10分过点f作fm垂直于ob于点m.所以fm3，可得f(0，3)故(0，3).12分设m(x，y，z)是平面bcf的法向量由可得可得平面bcf的一个法向量m.因为平面abc的一个法向量n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角fbca的余弦值为.15分法二：连接oo.过点f作fm垂直于ob于点m，则有fmoo.又oo平面abc，所以fm平面a