2013年全国初中数学联赛 精品讲座第一讲 整体的方法.doc

兰州第八十一中学 数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座 第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题 解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题所谓整体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用例题求解 【例1】 若x、y、z满足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，则分式的值为 (安庆市竞赛题) 思路点拨 原式=，视x+3 y与x+y+z为两个整体，对方程组进行整体改造 【例2】 若ABC的三边长是a、b、c且满足，则ABC是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出a、b、c 的关系，不妨从整体叠加入手【例3】 已知，求多项式的值 思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得，两边平方有理化，可得到零值多项式，整体代入求值【例4】如图，凸八边形AlA2A3A4A5A6A7A8中，Al=A5，A2 =A6 ，A3 =A7 ，A4=A8，试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值 (山东省竞赛题) 思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去4个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行 【例5】已知44的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数? 思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列)中4个数的符号，但并不改变这4个数乘积的符号，这是解本例的关键注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧 从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握学历训练1如果，则= ( “希望杯”邀请赛试题)2已知，那么= (2001年武汉市中考题)3已知是实数，且满足，那么的值是 (河南省竞赛题)4如图，六边形ABCDEF中，ABDE且AB=DE，BCEF且BC=EF，AFCD且AF=CD，ABC=DEF=120，AFE=BCD=90，AB=2，BC=1，CD=，则该六边形ABCDEF的面积是 5已知，则的值为( )A3 D4 C 5 D6 (2003年杭州市中考题)6买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本需32元；买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本需58元；则买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本需( )A20元 B25元 C 30元 D35元 (江苏省竞赛题)7已知a1，a2，a2002均为正数，且满足M=( a1+ a2+ a2001)( a2+ a3+ a2001a2002)，N(a1+ a2+ a2001a2002) (a2+ a3+ a2001)，则M与N之间的关系是( ) AMN BMN CMN D无法确定 (2002年绍兴市竞赛题)8已知，且，则等于( ) A105 D100 C75 D50 (北京市竞赛题)9将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只 填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等于P，求户的最大值(江苏省竞赛题) 10如图，CDAF，CDE=BAF，ABBC，C=124，E=80，求F的度数11设，则的值等于 ( “希望杯”邀请赛试题)12已知，则2= (湖北省数学竞赛题)13若，则的值是 14正数x1、x2、x3、x4、x5、x6同时满足，则x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值为 (上海市竞赛题)15 已知实数x，y满足xy+x+y= 9，z，则的值为( ) A6 B17 C 1 D6或1716如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC1，CD=3，B=135，C90，则D等于( )A60 B675 C75 D无法确定 (重庆市竞赛题)17若实数a、b满足，则的值为( ) A20 B2 C2或20 D2或2018设 a、b、c为实数，则x、y、z中至少有一个( ) A大于零 B等于零 C不大于零 D小于零(全国初中数学竞赛题) 19如图，四边形ABCD中，ABC=135，BCD=120，AB=，BC=5，CD=6，求AD的长20如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使 任意连续相邻的5个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成你的填图21求系数a、b、c间