概率论与数理统计习题5答案.pdf

AJ Lin 2013 12 1 5 习题 5 答案 1 一部件包括 10 部分 每部分的长度是一个随机变量 它们相互独立 服从同一分布 其数学 期望为 2mm 均方差为 0 05mm 规定总长度为 200 1 mm 时产品合格 试求产品合格的 概率 其中 0 63 0 7357 1 63 0 9484 解 令 i X 表示第i部分的长度 1 2 10i 据题意知 1210 XXX 相互独立同分布 且 2 i E X 2 0 05 i D X 故产品合格的概率为 10 10 1 1 10 2 19 9 10 220 1 10 2 200 1200 1 100 05100 05100 05 i i i i X PXP 10 1 10 2 0 10 1 2 0 63 12 0 7357 10 4714 100 05100 05100 05 i i X P 2 设有30个电子器件 它们的使用寿命T1 T30服从参数 0 1 单位 小时 1 的指数分布 其使用情况是第一个损坏第二个立即使用 以此类推 令T为30个器件使用的总计时间 求T 超过350小时的概率 解 11 10 0 1 i E T 2 1 100 i D T 10 30300 E T 3000 D T 故 3503005 350 111 0 913 0 1814 300030 P T 3 计算器在进行加法时 将每个加数舍入最靠近它的整数 设所有舍入误差相互独立且在 0 5 0 5 上服从均匀分布 1 将1500个数相加 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 2 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0 9 解 假设 i X表示每次计算时 所得到的误差 则 0 5 0 5 i XU 1 2 1500i 1500 1 i i XX 表示1500个数相加 所得到误差总和 1500 0 125 12 EXDX 根据中心极限定理 125X近似服从标准正态分布 1 15 1511515222 1 0 9099 0 1802 25 P XPX 2 假设最多可有n个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0 90 AJ Lin 2013 12 2 5 1 100 90 n i i PX 1 1 1010 1010 12 12 12 n i n i i i X PXP nnn 10 210 9 12n 解得443n 4 某保险公司有10000人参加保险 每人每年交12元保险费 在一年内一个人死亡的概率为0 006 死亡后其家属可向保险公司领到1000元 试用中心极限定理求 1 保险公司亏本的概率是多少 2 保险公司一年的利润不少于40000元的概率是多少 已知 2 58980 9952 其中 x 是正态分布 01N 的分布函数 解 设X 一年内的死亡的人数 则X B 10000 0 006 1 由中心极限定理 有保险公司亏本的概率为 X6012060 P 1000X10000 12 P X120 1 P X120 1 P 1 7 769 0 59 6459 64 即 基 本不会亏本 2 利润不少于40000元 即支出要少于120000 40000 80000元 因此死亡人数不能多于 80000 1000 80人 X608060 P X80P2 58980 9952 59 6459 64 补 某保险公司有3000个同一年龄段的人参加人寿保险 在一年中这些人的死亡率为0 1 参 加保险的人在一年的开始交付保险费100元 死亡时家属可从保险公司领取10000元 求 1 保险公司一年获利不少于240000元的概率 2 保险公司亏本的概率 解 假设X表示一年内死亡的人数 则 3000 0 001 XB 且3 2 997EXDX 并根据中心极限定理 3 2 997 X 近似服从标准正态分布 0 1 N 则 1 保险 公司一年内获利不少于240000元的概率为 545 3 3 10102 4 1060 958 2 997 PXP X 2 保险公司亏本的概率为 54 27 3 101003010 2 997 PXP X AJ Lin 2013 12 3 5 5 一本书共有100万个印刷符号 排版时每个符号被排错的概率为0 0001 校对时每个排版错误 被改正的概率为0 9 求校对后错误不多于15个的概率 解 设随机变量 1 0 n n X 第 个印刷符号校对后仍印错 其它 则 1 n Xn 是独立同分布随机变量序列 有 5 1 0 0001 0 110 n pP x 作 1 n nk k YX 6 10 n n Y为校对后错误总数 按中心极限定理 有 15 15 n n Ynpnp P YP npqnpq 355 5 1010 1 10 1 58 0 9495 6 有一批建筑房屋用的木柱 其中80 的长度不小于3m 现从这批木柱中随机地取出100根 问其中至少有30根短于3m的概率是多少 附 标准正态分布 01N 的分布函数 x 的部分值 x 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 x 0 9821 0 9861 0 9893 0 9918 0 9938 0 9953 解法一 设X 取出的100根木柱中长度长于3m的根数 则 100 0 8XB 所求概率为 70P X 由二项分布的正态逼近定理 得 100 0 870 100 0 8 702 512 51 0 99380 0062 100 0 8 0 2100 0 8 0 2 X P XP 解法二 设 i3 i3 1 0 i X 第 根木柱短语 米 第 根木柱长于 米 1 2 100i 则 100 1 i i XX 表示100根木柱中 短于3米的 数目 且 100 0 2 XB 20 16EXDX 2010 301 2 5 1 0 993790 00621 44 X P XP 7 一食品店有三种蛋糕出售 由于售出哪一种蛋糕是随机的 因而售出一只蛋糕的价格是一个随 机变量 它取1 元 1 2 元 1 5 元 各值的概率分别为0 3 0 2 0 5 某天售出300只蛋糕 1 求这天的收入至少达400 元 的概率 2 求售出价格为1 2元的蛋糕多于60只的概率 解 1 设第i只蛋糕的价格为 1 2 300 i X i 则 i X的分布律为 i X 1 1 2 1 5 P 0 3 0 2 0 5 1 0 3 1 2 0 2 1 5 0 51 29 i E X 222 1 0 3 1 20 2 1 50 51 713 i E X AJ Lin 2013 12 4 5 222 1 713 1 290 0489 iii D XE XE X 12300 XXX 是独立同分布的随机变量 故由独立同分布中心极限定理知 300300300 300 111 300300 1 11 400 4001 kkk kkk k k kk kk XE XE X PXP D XD X 300 1 300 1 29 400300 1 29 1 300 0 0489300 0 0489 k k X P 300 1 300 1 29 13 3913 391 0 99970 0003 300 0 0489 k k X P 2 设Y表示这天售出价格为1 2元的蛋糕个数 则 300 0 2YB 又 300 0 260 1 60 0 848npnpp 60 48YN 所求概率为 606060 6016011 0 0 5 4848 Y P YP YP 8 1 一个复杂系统由100个相互独立的元件组成 在系统运行期间每个元件损坏的概率为0 1 又知为使系统正常运行 至少必需要有85个元件工作 求系统的可靠程度 即正常运行的概率 2 上述系统假设有n个相互独立的元件组成 而且又要求至少有80 的元件工作才能使系统 正常运行 问n至少为多大时才能保证系统的可靠程度为0 95 解 1 设X表示正常工作的元件数 则 100 0 9 Xb 8590100 0 910090 85 10085 9100 0 1 0 99 X P XPXP 59010 333 X P 由中心极限定理可知 105105 85 1 3333 P X 1055 1 0 9525 333 2 设X表示正常工作的元件数 则 0 9 Xb n 0 10 90 2 0 8 0 8 0 3 0 9 0 10 3 nXnn P XnPnXnP nnn 0 920 9 1 0 95 333330 30 3 nXnnXnnn PnP nn 5 33 n 25n AJ Lin 2013 12 5 5 9 设男孩出生率为0 515 求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率 解 用X表10000个婴儿中男孩的个数 则X B 10000 0 515 要求女孩个数不少于男孩个 数的概率 即求 P X 5000 由中心极限定理有 5000 10000 0 515 5000 3 1 3 0 00135 10000 0 515 0 485 P X 10 某种电子器件的寿命 小时 具有数学期望 未知 方差 2 400 为了估计 随机地取n 只这种器件 在时刻0t 投入测试 设测试是相互独立的 直到失败 测得其寿命 12 n XXX 以 n i i X n X 1 1 作为 的估计 为使 95 0 XP问n至少为多少 解 由中心极限定理知 当n很大时 1 0 22 1 N n nXn n nX n i i 22222 1 210 95 20 nnXnnnnn PXP nnnnn 所以975 0 20 n 查标准正态分布表知1 96 1536 64 20 n n 即n至少取1537 11 某工厂每月生产10000台液晶投影仪 它的液晶片车间生产液晶片的合格率为0 8 为了以0 997 的可能性保证出厂的液晶投影仪装上合格的液晶片 试问该液晶片车间每月至少要生产多少片 液晶片 解 设该液晶片车间每月至少要生产n片液晶片 则生产n个液晶片是n重伯努利实验 令 12 n XXX 代表n片液晶片 则 1 0 8 0