高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题课件 理.ppt

第4讲导数的热点问题 专题二函数与导数 热点分类突破 真题押题精练 热点一利用导数证明不等式用导数证明不等式是导数的应用之一 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 以及构造函数解题的能力 例1已知函数f x lnx k 1 x k r 1 当x 1时 求f x 的单调区间和极值 解f x x lnx k 1 lnx k 当k 0时 因为x 1 所以f x lnx k 0 函数f x 的单调递增区间是 1 无单调递减区间 无极值 当k 0时 令lnx k 0 解得x ek 当1ek时 f x 0 所以函数f x 的单调递减区间是 1 ek 单调递增区间是 ek 在区间 1 上的极小值为f ek k k 1 ek ek 无极大值 解答 解答 2 若对于任意x e e2 都有f x 4lnx成立 求k的取值范围 解由题意 f x 4lnx 0 即问题转化为 x 4 lnx k 1 x 0对于x e e2 恒成立 所以t x 在区间 e e2 上单调递增 故t x min t e e 4 4 e 0 故g x 0 所以g x 在区间 e e2 上单调递增 证明 思维升华 3 若x1 x2 且f x1 f x2 证明 x1x2 e2k 证明因为f x1 f x2 由 1 知 函数f x 在区间 0 ek 上单调递减 在区间 ek 上单调递增 且f ek 1 0 不妨设x1 x2 则0 x1 ek x2 ek 1 因为f x 在区间 ek 上单调递增 因为x 0 ek 所以lnx k0 所以x1x2 e2k成立 所以函数h x 在区间 0 ek 上单调递增 故h x h ek 思维升华用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 则f a f x f b 对 x1 x2 a b 且x1 x2 则f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围d内有最大值m 或最小值m 则对 x d 有f x m 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数f x f x g x 证明f x 0 跟踪演练1 2017 全国 已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 解答 解f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 因为g 1 0 g x 0 故g 1 0 当01时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 证明 证明由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 当x 0 x0 时 h x 0 当x x0 1 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0 得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 因为x x0是f x 在 0 1 上的最大值点 由e 1 0 1 f e 1 0 得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 热点二利用导数讨论方程根的个数方程的根 函数的零点 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的走势 通过数形结合思想直观求解 例2已知f x ax3 3x2 1 a 0 定义h x max f x g x 1 求函数f x 的极值 解答 解 函数f x ax3 3x2 1 f x 3ax2 6x 3x ax 2 a 0 x1 x2 列表如下 f x 的极大值为f 0 1 2 若g x xf x 且存在x 1 2 使h x f x 求实数a的取值范围 解答 解g x xf x 3ax3 6x2 存在x 1 2 使h x f x f x g x 在x 1 2 上有解 即ax3 3x2 1 3ax3 6x2在x 1 2 上有解 2a 4 即a 2 3 若g x lnx 试讨论函数h x x 0 的零点个数 解答 思维升华 解由 1 知 f x 在 0 上的最小值为 h x max f x g x 在 0 上无零点 又g 1 0 h x max f x g x 在 0 上有一个零点 设 x f x g x ax3 3x2 1 lnx 0 x 1 x 在 0 1 上单调递减 当0 x x0时 x f x g x x0 0 h x f x 且h x 为减函数 又h x0 f x0 g x0 lnx00 h x 在 0 x0 上有一个零点 当x x0时 x f x g x 2时 h x 无零点 思维升华 1 函数y f x k的零点问题 可转化为函数y f x 和直线y k的交点问题 2 研究函数y f x 的值域 不仅要看最值 而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 跟踪演练2 2017届云南曲靖一中月考 已知f x 2xlnx g x x3 ax2 x 2 1 如果函数g x 的单调递减区间为 求函数g x 的解析式 解答 解g x 3x2 2ax 1 代入得a 1 g x x3 x2 x 2 解答 2 在 1 的条件下 求函数y g x 的图象在点p 1 g 1 处的切线方程 解由 1 知 g 1 1 g x 3x2 2x 1 g 1 4 点p 1 1 处的切线斜率k g 1 4 函数y g x 的图象在点p 1 1 处的切线方程为y 1 4 x 1 即4x y 5 0 解答 3 已知不等式f x g x 2恒成立 若方程aea m 0恰有两个不等实根 求m的取值范围 解由题意知 2xlnx 3x2 2ax 1对x 0 恒成立 当00 当x 1时 h x 0 当x 1时 h x 取得最大值 h x max h 1 2 a 2 令 a aea 则 a ea aea ea a 1 a 在 2 1 上单调递减 在 1 上单调递增 当a 时 a 方程aea m 0恰有两个不等实根 热点三利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 建立目标问题即关于这个变量的函数 然后通过研究这个函数的性质 从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 例3 2017届福建福州外国语学校期中 罗源滨海新城建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为32万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 解答 解设需新建n个桥墩 2 当m 96米时 需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小 解答 思维升华 当00 f x 在区间 16 96 内为增函数 故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小 思维升华利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 跟踪演练3图1是某种称为 凹槽 的机械部件的示意图 图2是凹槽的横截面 阴影部分 示意图 其中四边形abcd是矩形 弧cmd是半圆 凹槽的横截面的周长为4 若凹槽的强度t等于横截面的面积s与边ab的乘积 设ab 2x bc y 解答 1 写出y关于x的函数表达式 并指出x的取值范围 解易知半圆cmd的半径为x 故半圆cmd的弧长为 x 所以4 2x 2y x 解答 2 求当x取何值时 凹槽的强度最大 解依题意 设凹槽的强度为t 横截面的面积为s 则有 真题体验 2017 全国 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 解f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 i 若a 0 则f x 0 则由f x 0 得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 解答 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解答 解 i 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 即f lna 0 故f x 没有零点 又f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故f x 在 lna 上有一个零点 因此f x 在 lna 有一个零点 综上 a的取值范围为 0 1 押题预测 证明 押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与不等式等基础知识和基本方法 考查分类整合思想 转化与化归思想等数学思想方法 本题的命制正是根据这个要求进行的 全面考查了考生综合求解问题的能力 押题依据 已知f x asinx g x lnx 其中a r y g 1 x 是y g x 的反函数 1 若0 a 1 证明 函数g x f 1 x g x 在区间 0 1 上是增函数 证明由题意知g x asin 1 x lnx acos 1 x 0 故函数在区间 0 1 上是增函数 证明 证明由 1 知 当a 1时 g x sin 1 x lnx在 0 1 上单调递增 解答 3 设f x g 1 x mx2 2 x 1 b 若对任意的x 0 m0恒成立 求满足条件的最小