一个导数压轴试题的解法与命题的深度探究.pdf

一个导数压轴试题的解法与命题的深度探究一个导数压轴试题的解法与命题的深度探究 201402 数学教育研究 杨苍洲福建省泉州五中362000yang c z摘要 数学习题课的教学过程中 讲题者如能从命题者的角度对试题展开探究 必能更 全面地把握问题 从而使得授课过程深入浅出 对 2013 年高考全国新课标 II 卷的函数导 数试题进行深度的探究后 我们可以发现了本题在试题解法 命题手法等方面具有一定的规 律性 基于此研究进行课堂教学将使学生对问题的理解更加深入 透彻 关键词 解法 命题手法 探究 解题是数学教学的主旋律 在讲评课的教学过程中 大部分教师只是进行试题答案的再 呈现 而往往忽视试题解法与命题手法的深度探究 实际上 只有在解法上进行深度探究才 能让学生会一题通一类 只有在命题手法上进行深度探究才能让学生知其然之气所以然 从 而促进学生知识的内化 那么教师应该如何研题呢 下面笔者以 2013 年高考全国新课标 II 卷的导数压轴试题为例 进行试题的探究 1 1试题再现试题再现 20132013年高考全国新课标年高考全国新课标 IIII 卷 卷 已知函数 ln x fxexm 设是的极值点 求 并讨论的单调性 0 x fxm fx 当时 证明 2m 0fx 解析解析 易得 于是 其定义域为 因为1m ln1 x f xex 1 令 则 1 e 1 x fx x 1 e1 1 x x x 1 e1 x g xx 2 e0 x gxx 所以在单调递增 又因为 所以当时 即 g x 1 00g 0 x 0g x 当时 即 所以在单调递减 在 0fx 10 x 0g x 0fx 当时 函数在单调递增 又 2m 1 e 2 x fx x 2 10f 故在有唯一实根 且 0fx 2 0 x 0 1 0 x 当时 当时 0 2 xx 0fx 从而当时 取得最小值 由得 即 0 xx f x 0 0fx 0 0 1 e 2 x x 00 ln2xx 故 00 0 1 2 fxfxx x 2 0 0 1 0 2 x x 综上 当时 2m 00 0 1 2 f xf xx x 2 2解题方法探究 解题方法探究 上述解题过程中 第 中 在得到后 为研究 1 e 1 x fx x 1 e1 1 x x x 的单调性 需确定的符号呢 但不等式 不可解怎么 f x fx 0fx 0fx f xxx x t x 1 1 1 1 令 则 ln 1 0 t yt t 2 ln 1 1 t t t y t ln 10 1 t g ttt t 即是上的减函数 当时 22 11 0 1 11 t 则 因此是上的减函数 00 g tg 2 ln 1 1 0 范 对 于 函 数和公共 定 义 域 中 的 任 意 实 数 我 们 把 yf x yg x 0 x 的值称为两函数在处的偏差 求证 函数和在其公共定 00 f xg x 0 x yf x yg x 义域内的所有偏差都大于 2 解解析析 易得 两平行切线间的距离为 易得实数 m 的取值范围为a1 2 因为函数和的偏差为 0 yf x yg x x F xf xg xelnx 所以 设为的解 则当 x0 x 1 F xe x xt x 1 fxe0 x x0 t 当 所以在单调递减 在单调递增 F x0 F x 0 t t 所以 又 所以 又因为 t min F xelnt tt 1 e te t min 1 F xt t f1e10 故 即函数和在其公 1 fe20 2 1 t1 2 yf x yg x 共定义域内的所有偏差都大于 2 3 3命题手法和命题背景探究命题手法和命题背景探究 本题值得研究的是试题的命题手法和命题背景 3 13 1 命题手法探究命题手法探究 本题的命制基于研究函数 函数 函数在处切线 1 x ye 2 lnyxm 1 x ye 0 x 三者的位置关系 1l yx 定理定理 1 1 定义在区间上的凹函数和凸函数 若存在 a b yf x yg x 使得 则函数在区间单调递减 0 xa b 00 fxgx h xfxg x 0 a x 在区间单调递增 在处取得极小值 0 x b 0 xx 下证 下证 因为为凹函数 为凸函数 所以 所 yf x yg x 0 0fxgx 以 所 以在 区 间上 单 调 递 增 又 因 为 0hxfxgx hx a b 且 所以 所以当时 h xfxgx 00 fxgx 0 0h x 0 xa x 当时 所以函数在区间单调递减 在区间 0h x h x 0 a x 单调递增 在处取得极小值 0 x b 0 xx 第 中 由于是凹函数 是凸函数 且当时 1 x ye 2 ln1yx 0 x 由上述定理 1 可知 函数在区间单调递减 在区间 12 yy ln1 x yex 1 0 单调递增 在处取得极小值 基于此性质 命题者在题干中设置参数 设置 0 0 x m 问题 设是的极值点 求 并讨论的单调性 0 x fxm fx 定理定理 2 2 设函数是区间上的凸函数 凹函数 函数在点的 xfD xf 00 xf x 切线为 则 000 l yfxxxf x 当且仅当时等 000 xfxxxfxf 000 xfxxxfxf 0 xx 号成立 证明 证明 设是区间上的凸函数 令 则 xfD 000 xfxxxfxfxg 又是区间上的凸函数 所以 0 xfxfxg xfxg f xD 即 所以在上单调递减 又因为 0fx 0gx 当时 0 xx 当时 所以在取得最大值 0 0g xg x 0 xx g x 0 xx 所以 0 000000 xfxxxfxfxg 即 000 0g xf xfxxxf x 000 xfxxxfxf 当是区间上的凸函数时 同理可证 xfD 000 xfxxxfxf 第 中 由于是凹函数 是凸函数 由上述定理 2 可知 函 1 x ye 2 lnyxm 数的图象恒在其切线的上方 除切点外 函数的图象恒在其切线的 1 x ye 2 lnyxm 下方 除切点外 命题者研究了函数及其切线 1 y 由 图 可 知 必 存 在 实 数 使 得 1l yx 0 m 也与相切 可由 20 lnyxm l 0 lnyxm 平移而得 此时 函数的图象恒在 的上方lnyx 1 yl 除切点外 函数的图象恒在的下方 除切点外 2 yl 且时 函数的图象也恒在 的上方 函数 0 mm 3 23 2 命题背景探究命题背景探究 x x x x y y y y O O O O 本题源于 普通高中课程标准实验教科书数学选修 2 2 人教 A 版习题 1 3 B 组第 1 题 3 利用函数的单调性 证明不等式 0 1 xxe x 由于课本是知识与方法的重要载体 也是高考试题的主要题源 在近年的高考中有相当 数量的基本题 创新题源于课本 不等式的结构简洁 证明思路简洁 容 0 1 xxe x 易掌握 并可衍生出的不等式 等 ln1xx ln1xx 1 ln1x x 1 1 xxe 因此 以此为背景设计导数与不等式的相关试题显得自然和谐 近年中 基于此的试题常考 常新 现略举一二 例例 3 3 2011 年全国高中数学联赛 福建省赛区 预赛试题 已知 为自然对数的底数 1 x fxex e 求证 恒成立 求证 0fx 13521 22221 nnnn ne nnnne 证明证明 略 因为 所以 所以 当且10 x ex 1 x xe 1 n nx xe 仅当时 等号成立 所以 所以0 x 2 2 1 22 n i nii e nn 1 3 4 21in 13521 2222 nnnn n nnnn 1321 222 n eee 121 22 1 n ee e 1 e e 例例 4 4 20112011年高考年高考湖北湖北卷卷 已知函数 求函数的最大值 ln1f xxx 0 x f x 设均为正数 证明 kk a b 1 2 kn 若 则 1 12212nnn aba ba bbbb 12 12 1 n bbb n aaa 若 则 12 1 n bbb 12 222 1212 1 n bbb nn bbbbbb n 解析解析 函数在处取得最大值 fx1x 10f 由 知当时有即 0 x 10fxf ln1xx 因 为均 为 正 数 所 以 所 以 kk a b ln1 kkkk baba ln1 k b kkk aba 所以 又因为 1 2 kn 11 ln1 k nn b kkk kk aba 所以 1 12212nnn aba ba bbbb 111 10 nnn kkkkk kkk baa bb 即 所以 略 11 ln10 k nn b kkk kk aba 12 12 1 n bbb n aaa 参考文献 1 中华人民共和国教育部制定 普通高中数学课程标准 M 北京 人民教育出版社 2003 2 3 2 钟进均 基于课程资源视角的数学日记探究 J 中国数学教育 2013 6 8 10 3 杨苍洲 例谈题目 提示