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判别式的应用何光春 湖南湘西 花垣县民族中学（416400）摘要 实系数一元二次方程ax2bxc0（a0）或实系数一元二次多项式f(x)ax2bxc(a0)的判别式b24ac，在解题中有着非常广泛的应用，它在很多问题中直接或间接地扮演着重要的角色，在各种数学竞赛中也经常出现。关键词：判别式 实系数 方程 应用一、判别式的应用，主要依据下述结论1、实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0（a0）中，令b24ac则有：0 f(x)0有两个不相等的实数根0 f(x)0有两个相等的实数根（也说成只有一个实数根）0 f(x)0没有实数根。2、从几何意义上来看，由于二次函数yf(x)ax2bxc（a0）的图象是一条抛物线，显然有：0时，抛物线yf(x)与x轴有两个不同的交点（也说成yf(x)与x轴相交）。0时，抛物线yf(x)与x轴只有一个交点（也说成yf(x)与x轴相切）。0时，抛物线yf(x)与x轴没有交点（也说成yf(x)与x轴相离）。二、应用举例例1：已知方程x22xm0（m为实数），没有实数根，试判断关于x的方程x22mx12(m21)(x21)0有无实根。分析：要判别第二个方程有无实根，只要判别第二个方程的根的判别式2，而2也一个含有m的式子，由第一个方程没有实数根得m的范围，用m的这个取值范围去判别2的正负零性，从而可以判别第二个方程根的情况。解：由x22xm0没有实数根有：1(-2)24(-m) 0 得m-1方程x22mx12(m21) (x21)0 整理有：(2m21)x22mx(2m21)024m24(2m21)2-4(m1)(m1)(2m1)(2m1)m-1，m10，m10，2m10，2m10。则有：20方程x22mx12(m21)(x21)0没有实数根例2：若f(x)(xa)(xb)(xa)(xc)(xb)(xc)为x的整平方式。求证：abc分析：f(x)为x的整平方式也就是f(x)0只有一个实数根，则0。证明：f(x)(xa)(xb)(xa)(xc)(xb)(xc)3x22(abc)x(abacbc)f(x)为x的整平方式2(abc)243(abacbc)0即：a2b2c2abacbc0也就是：2a22b22c22ab2ac2bc0即：(ab)2(bc)2(ac)20ab0，bc0，ac0即abc例3：m为有理数，问k为何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根为有理根。分析：方程的根为有理根，也就是为有理数的平方解：把方程整理为：x24(m1)x(3m22m4k)0-4(m1)24(3m22m4k)4(m216m4k4)要使方程的根为有理根，只须为有理数的平方，即二次三项式m26m4k4为m的一次式的完全平方，所以关于m的方程m26m4k40只有一个实数根即：(-6)24(-4k4)05得：k-4例4：若直线y2xb在2x4的范围内与函数y|x28x12|的图象相切，试求b的值。分析：直线与抛物线相切，也就是只有一个交点，把两者联系起来解方程组，这个方程组只有一组解解：2x4 x28x12(x4)2402x4时，y|x28x12|-x28x12y-x28x12(1) y2xb(2)把(2)代入(1)并整理有：x26x(b12)0直线与抛物线相切(-6)24(b12)0 b-3此时，x3，在2x4b-3为所求例5：已知x0，y0且x2y1，求x2y2的最大值和最小值。解： x2y1 x12ysx2y2(12y)2y25y24y15y24y+1s0此方程为关于y的一元二次方程且有解1=1620（1s）0 s51smin51又x0，y0且x=12y0 0y2对于函数s(y)5y24 y11 1s(0)1 s() x2y2 最大值为12 41x2y2 最大值为1，最小值为5例6：求方程x2xyy23x3y30的实数解解：将原方程按 x整理得：x2