高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.2 向量数量积的运算律课件 新人教B版必修4(1).ppt

2 3 2向量数量积的运算律 1 掌握平面向量数量积的运算律 并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别 2 会应用运算律进行相关的计算或证明等问题 向量数量积的运算律已知向量a b c与实数 则 名师点拨1 数量积的运算只适合交换律 与数乘的结合律 分配律 但不适合消去律 即a b a cb c 2 数量积的运算也不适合结合律 即 a b c不一定等于a b c 做一做1 已知向量m和n满足 m 1 n 且m m n 则m与n夹角的大小为 a 30 b 45 c 75 d 135 解析 设m与n的夹角为 则由m m n 知m m n 0 即m2 m n 0 m n m2 m 2 1 答案 b 做一做2 已知 a 4 b 5 且a b的夹角为60 求 1 a2 b2 2 2a 3b 3a 2b 解 1 a2 b2 a 2 b 2 42 52 9 2 2a 3b 3a 2b 6a2 5a b 6b2 6 16 5 4 5cos60 6 25 4 1 向量数量积的运算不满足结合律剖析向量数量积的运算不满足结合律 即等式 a b c a b c 不一定成立 可从以下两种思路分析 思路一 否定一个等式 只需举一个反例即可 思路二 利用数量积的几何意义表示来证明 以下分别给出证明 思路一 举反例 a b a b cos 1 b c b c cos 3 a b c c a b c 3a 很明显c 3a不成立 a b c a b c 不成立 思路二 下面用向量数量积的几何意义来分析 由于向量的数量积是实数 设a b b c 则 a b c c a b c a 由于c a是任意向量 因此 c a不成立 故 a b c a b c 不成立 2 公式a a a 2的推广剖析根据数量积的定义以及运算律 下列公式均是成立的 在有关计算中可使用 1 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 2 a2 b2 a b a b 3 a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 几何意义为 平行四边形两条对角线长的平方和等于其四条边长的平方和 4 a3 b3 a b a2 a b b2 题型一 题型二 答案 a 题型一 题型二 反思求平面向量的数量积时 常用到以下结论 1 a2 a 2 2 xa yb mc nd xma c xna d ymb c ynb d 其中x y m n r 类似于多项式的乘法法则 3 a b 2 a2 2a b b2 4 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2a c 本题还要注意几何性质的应用 将向量适当转化 转化的目的是利用已知条件 题型一 题型二 变式训练1 已知e1 e2是两个单位向量 它们的夹角为60 则 2e1 e2 3e1 2e2 等于 解析 e1 e2 1且夹角为60 答案 a 题型一 题型二 例2 已知 a b 6 向量a与b的夹角为 求 a b a b 分析关系式a2 a 2可使向量的长度与向量的数量积互相转化 因此欲求 a b 可求 a b a b 将此式展开 由已知 a b 6 可得a a b b 36 也可求得a b 将上面各式的值代入 即可求得 a b a b 题型一 题型二 题型一 题型二 题型一 题型二 题型一 题型二 例3 已知 a 5 b 4 且a与b的夹角为60 则当k为何值时 向量ka b与a 2b垂直 分析由 ka b a 2b 得 ka b a 2b 0 展开求解即可 解 ka b a 2b ka b a 2b 0 即ka2 2k 1 a b 2b2 0 即k 52 2k 1 5 4 cos60 2 42 0 反思1 对数量积的运算律要熟练掌握 2 非零向量a b 0 a b是非常重要的性质 它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效 应熟练掌握 题型一 题型二 变式训练3 若 a 2 b 4 且 a b a 则a与b的夹角为 解析 由于 a b a 所以 a b a 0 即 a 2 a b 0 答案 a 题型一 题型二 例4 如图 ad be cf是 abc的三条高 求证 ad be cf相交于一点 分析解答本题可先设两条高交于一点 再利用向量的数量积证明第三条高也过此点 题型一 题型二 反思向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用 几何问题转化为向量是关键一步 同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用 在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别 如向量的夹角与直线的夹角就不相同 题型一 题型二 同理可证oc ab oa bc 即点o是 abc三条高线的交点 所以点o是 abc的垂心 答案 d 1 2 3 4 5 1 若 a 1 b 3 a与b的夹角为60 则 4a b a 2b 等于 答案 b 1 2 3 4 5 2 若向量a b c满足a b 且a c 则c a 2b a 4b 3c 2d 0解析 由a c知a c 0 又a b 所以b c 0 于是c a 2b a c 2b c 0 0 0 答案 d 1 2 3 4 5 3 已知 a 3 b 4 a b的夹角为60 则 2a b 1 2 3 4 5 4 若向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 1 c 4