高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和（一）课件 新人教B版必修5.ppt

第二章 数列 2 2等差数列2 2 2等差数列的前n项和 一 学习目标 1 体会等差数列前n项和公式的推导过程 2 掌握等差数列前n项和公式 3 熟练掌握等差数列的五个量a1 d n an sn的关系 能够由其中三个求另外两个 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 设梯形的上底 下底 高分别为a b h 把两个相同的梯形一个倒置并成平行四边形 则梯形的面积为 2 把二次函数y 2x2 4x 3化成y a x h 2 k的形式是 当x 时 y有最值 解析y 2x2 4x 3 2 x 1 2 5 x 1时 y有最大值5 y 2 x 1 2 5 1 大 5 sn sn 1 s1 预习导引 1 等差数列前n项和公式 1 若 an 是等差数列 则sn 2 sn也可以表示为sn 2 数列中an与sn的关系对任意数列 an sn与an的关系可以表示为an 3 等差数列前n项和的最值 1 因为等差数列前n项和可变为sn n2 a1 n 若d 0 则从二次函数的角度看 当d 0时 sn有值 当d 0时 sn有值 且n取最接近对称轴的自然数时 sn取到最值 最大 最小 2 在等差数列 an 中 当a1 0 d0时 sn有值 使sn取到最值的n可由不等式组确定 最小 最大 要点一等差数列sn中基本量的计算例1在等差数列 an 中 1 已知s8 48 s12 168 求a1和d 解方程组得a1 8 d 4 解方程组得a1 5 d 3 a8 a6 2d 10 2 3 16 2 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 规律方法a1 d n称为等差数列的三个基本量 an和sn都可以用这三个基本量来表示 五个量a1 d n an sn中可知三求二 注意利用等差数列的性质以简化计算过程 同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用 3 已知a16 3 求s31 跟踪演练1在等差数列 an 中 解得n 15 又 a8 4 8 1 d 39 d 5 2 a1 4 s8 172 求a8和d 3 已知d 2 an 11 sn 35 求a1和n 要点二由数列的sn求通项an例2 1 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n2 3n 求证数列 an 是等差数列 证明a1 s1 1 3 2 当n 2时 an sn sn 1 n2 3n n 1 2 3 n 1 2n 4 当n 1时 2n 4 2 a1 an 2n 4 又因为an an 1 2n 4 2 n 1 4 2 n 2 所以 an 是等差数列 当且仅当n 9时 sn最大 故n 9 规律方法一般地 an与sn有如下关系 an an sn sn 1并非对所有的n n 都成立 而只对n 2的正整数成立 由sn求通项公式an时 要分n 1和n 2两种情形 然后验证n 1时是否满足n 2的解析式 若不满足 则用分段函数的形式表示 2 数列 an 的前n项和sn 35n 2n2 求使sn最大的n 跟踪演练2已知正数数列 bn 的前n项和sn bn 1 2 求证 bn 为等差数列 并求其通项 解当n 2时 bn sn sn 1 bn bn 1 bn bn 1 2 0 bn bn 1 0 bn bn 1 2 n 2 又 b1 b1 1 2 b1 1 bn 为等差数列 bn 1 n 1 2 2n 1 要点三等差数列前n项和的最值例3在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 求sn的最大值 解方法一由s17 s9 得25 17 17 1 d 25 9 9 1 d 解得d 2 sn 25n n 1 2 n 13 2 169 当n 13时 sn有最大值169 方法二先求出d 2 a1 25 0 当n 13时 sn有最大值169 方法三由s17 s9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故n 13时 sn有最大值169 规律方法求等差数列前n项和的最值常用两种方法 1 等差数列前n项和sn an2 bn 通过配方或根据二次函数求最值的方法求得 但要注意n为正整数 2 在等差数列中有关sn的最值问题除了借助二次函数图象求解 还常用邻项变量法来求解 当a1 0 d0时 满足的项数n 使sn取最小值 注意两个不等式都有等号 跟踪演练3首项为正数的等差数列 an 它的前3项和与前11项和相等 问此数列前多少项之和最大 解因为s3 s11 则 故当n 7时 sn最大 即前7项和最大 1 在等差数列 an 中 s10 120 那么a1 a10的值是 a 12b 24c 36d 48 b 1 2 3 4 2 记等差数列前n项和为sn 若s2 4 s4 20 则该数列的公差d等于 a 2b 3c 6d 7方法二由s4 s2 a3 a4 a1 2d a2 2d s2 4d 所以20 4 4 4d 解得d 3 b 2 3 4 1 3 首项为正数的等差数列 前n项和为sn 且s3 s8 当n 时 sn取到最大值 解析 s3 s8 s8 s3 a4 a5 a6 a7 a8 5a6 0 a6 0 a1 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 a7 0 故当n 5或6时 sn最大 1 2 3 4 5或6 4 已知数列 an 的前n项和sn 3 2n 求an 解 1 当n 1时 a1 s1 3 2 5 2 当n 2时 sn 1 3 2n 1 又sn 3 2n an sn sn 1 2n 2n 1 2n 1 又当n 1时 a1 5 21 1 1 1 2 3 4 课堂小结1 等差数列前n项和公式推导及应用 1 公式的推导 在等差数列中a1 an a2 an 1 故公式的推导中 用倒序相加法 2 当已知首项a1 末项an 项数n时 用公式sn 用此公式时 有时要结合等差数列的性质 3 当已知首项a1 公差d及项数n时