高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算课件 北师大版选修21.ppt

2 6距离的计算 一 二 三 思考辨析 一 点到直线的距离1 因为直线和直线外一点确定一个平面 所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内的点到直线的距离问题 2 设l是过点p平行于向量s的直线 a是直线l外一定点 如图 作aa l 垂足为a 则点a到直线l的距离d等于线段aa 的长度 一 二 三 思考辨析 3 空间一点a到直线l的距离的算法框图 4 平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离 温馨提示求点a到直线l的距离d 要过该点a引直线l的垂线段aa 再在直线l上取垂足a 以外的任一点p和直线l的方向向量s 构造出rt pa a 计算 利用勾股定理 求出点a到直线l的距离d 一 二 三 思考辨析 做一做1 把边长为a的等边三角形abc沿高线ad折成60 的二面角 则点a到bc的距离是 答案 d 一 二 三 思考辨析 二 点到平面的距离1 如图 设 是过点p垂直于向量n的平面 a是平面 外一定点 作aa 垂足为a 则点a到平面 的距离d等于线段aa 的长度 一 二 三 思考辨析 2 空间一点a到平面 的距离的算法框图 温馨提示求平面 外一点a到平面 的距离d 利用平面 外的一点a与平面 内异于点a的投影的任一点p 找出斜线段pa所在的向量在平面法向量上的投影 就是所求点a到平面 的距离d 一 二 三 思考辨析 做一做2 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m是aa1的中点 则点a1到平面mbd的距离为 答案 d 一 二 三 思考辨析 三 线面距离与面面距离1 求直线与平面间的距离时 往往转化为点到平面的距离求解 且这个点要适当选取 以易于求解为准则 2 在求点到平面的距离时 有时用直线到平面的距离进行过渡 3 求两平行平面间的距离可转化为求点到平面的距离 即面面距线面距点面距 一 二 三 思考辨析 做一做3 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 则平行平面a1bd与平面b1cd1间的距离是 解析 以d为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 则a1 1 0 1 b 1 1 0 d1 0 0 1 d 0 0 0 一 二 三 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 线面距离 面面距离均可转化为点面距离 用求点面距离的方法进行求解 2 点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求点到直线的距离 例1 已知四边形abcd eadm和mdcf都是边长为a的正方形 如图所示 点q是ac的中点 求点m到fq的距离 思维点拨 由于md da dc两两互相垂直 故可考虑建立空间直角坐标系 利用向量法求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 依题意 以d为原点 da dc dm所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则d 0 0 0 a a 0 0 b a a 0 c 0 a 0 m 0 0 a f 0 a a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1如图 p为矩形abcd所在平面外一点 pa 平面abcd 若已知ab 3 ad 4 pa 1 求点p到直线bd的距离 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 方法一 如图 作ah bd 垂足为h 连接ph pa 平面abcd ah为ph在平面abcd上的投影 由三垂线定理得ph bd ph即为点p到bd的距离 探究一 探究二 探究三 思维辨析 方法二 分别以ab ad ap所在直线为x y z轴建系 则p 0 0 1 b 3 0 0 d 0 4 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求点到平面的距离 例2 如图 多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的 其中ab 4 bc 2 cc1 3 be 1 1 求bf的长 2 求点c到平面aec1f的距离 思维点拨 由于da dc df两两互相垂直 故可考虑建立空间直角坐标系 利用向量法求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 依题意 以d为原点 da dc df所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则d 0 0 0 b 2 4 0 a 2 0 0 c 0 4 0 e 2 4 1 c1 0 4 3 1 设f 0 0 z 易知截面aec1f为平行四边形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 设n1 x y z 为平面aec1f的法向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用向量法求点到平面距离的方法与步骤 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd 四边形abcd是矩形 e f分别是ab pd的中点 若pa ad 3 cd 求点f到平面pce的距离 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 如图 建立空间直角坐标系a xyz 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求直线到平面 平面到平面的距离 例3 在棱长为a的正方体abcd a b c d 中 e f分别是bb cc 的中点 求直线ad到平面a efd 的距离 思维点拨 求直线到平面的距离可转化为求直线上一点到平面的距离 但本题向平面作垂线不易确定垂足 可考虑用向量的方法进行解题 解 以d为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 探究一 探究二 探究三 思维辨析 da d a d a 平面a efd ad 平面a efd 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求线面距离和面面距离 实质就是转化为点到平面的距离来求 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 求平面a1bd与平面b1d1c的距离 解 以d为原点 建立如图所示的空间直角坐标系d xyz 则d 0 0 0 a1 1 0 1 b 1 1 0 d1 0 0 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 考虑问题不全面而致误 典例 线段ab在平面 内 ac bd ab 且bd与 所成角是30 如果ab a ac bd b 求c d间的距离 易错分析 因c d两点相对平面的位置不同 会出现点c d在平面 的同侧和异侧两种情况 在解题的过程中易忽略分类讨论而导致出错 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 当c d在平面 的同侧时 由ac ab 可知ac ab 纠错心得本题容易出现只考虑点c d在平面 的同侧的情况 而忽略两点位于平面 异侧的情况 出现漏解 对于此类问题 应注意考虑全面 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练如图 在直二面角 l 中 a b l ac ac l bd bd l ac 6 ab 8 bd 24 则线段cd的长为 解析 ac ab bd ab ac bd 答案 26 1234 1 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为4 e是cc1的中点 则e到a1b的距离为 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 连接a1e be 作eh a1b于h 则a1 4 0 4 b 4 4 0 e 0 4 2 答案 d 1234 2 已知不共面的四点a 2 3 1 b 4 1 2 c 6 3 7 d 5 4 8 则点d到平面abc的距离d为 解析 a 2 3 1 b 4 1 2 c 6 3 7 d 5 4 8 即 x y z 2 2 1 0 x y z 2 2 5 0 2x 2y z 0 且2x 2y 5z 0 令z 2 得n 3 2 2 答案 b 1234 3 rt abc的两条直角边bc 3 ac 4 pc 平面abc pc 则点p到斜边ab的距离是 解析 以c为坐标原点 ca cb cp所在直线为x轴 y轴 z轴建立 答案 3