第3章部分习题参考解答.pdf

3 1 长度为的线电荷 电荷密度为常数L 0l 1 计算线电荷平分面上的电位函 数 2 利用直接积分法计算平分面上的E 并用E 由 1 验证 2 所得结 果 图题图题 3 1 解 解 1 建立如图题 3 1 所示坐标系 根据电位的积分表达式 线电荷平分面上 任意点P的电位为 2 2 22 00 22 2 0 2 0 2222 00 22 00 d 0 0 ln 4 4 2 2 2 2 lnln 4 2 2 2 L L ll L L ll z zz z LLLL LL 2 根据对称性 可得两个对称线电荷元 z l d 0 在点P 的电场为 00 22 3 22 0 0 d d ddcos 2 2 ll zz EeEee z z 2 故长为的线电荷在点的电场为 LP 2 2 00 22 3 2 220 00 0 0 22 0 d d 2 2 4 2 L L ll l zz EEee z z z e L 由E 求 有 E 22 0 0 22 0 0 0 2222 0 0 22 0 2 2 ln 2 ln 2 2 ln 2 1 2 2 2 2 4 2 l l l l LL E d eLL d e LLL z e L 3 2 点电荷位于 另一点电荷 1 qq 1 0 0 Pa 2 2qq 位于 求空间的 零电位面 2 0 0 P a 解 解 两个点电荷 q 和在空间产生的电位 2q 222222 0 12 4 qq x y z xayzxayz 令 0 x y z 则有 222222 12 0 xayzxayz 即 22222 4 2 xayzxayz 故得 222 54 33 2 xayza 由此可见 零电位面是一个以点 5 0 0 3 a 为球心 4 3 a为半径的球面 3 3 电场中有一半径为a的圆柱体 已知圆柱体内 外的电位函数分别为 1 2 2 0 cos a a Aa 1 求圆柱内 外的电场强度 2 这个圆柱是什么材料制成的 其表面上有电 荷分布吗 试求之 解 解 1 由E 可得 a 时 0E a 时 22 cos cos aa EeAeA 22 22 1cos1sin aa e Ae A 2 该圆柱体为等位体 所以是由导体制成的 其表面有电荷分布 电荷面 密度为 n00 2cos S aa eDeEA 3 4 已知的空间中没有电荷 试判断下列函数中哪些是可能的电位解 0y 1 2 3 cosh y ex cos y e x 2 sin cosex x 4 sin sin sinxyz 解 解 在电荷体密度 0 的空间 电位函数应满足拉普拉斯方程 2 0 1 222 222 cosh cosh cosh yyy exexex xyz 2 cosh y ex 0 所以函数不是空间中的电位解 cosh y ex 0y 2 222 222 cos cos cos yyy exexex xyz coscos0 yy exex 所以函数是空间中可能的电位解 cos y ex 0y 3 222 222 sin cos sin cos sin cosexxexxex xyz x 22 4sin cos2sin cosexxexx 0 所以函数 2 sin cosex x不是 空间中的电位解 0y 4 222 222 sin sin sin sin sin sin sin sin sin xyzxyzxyz xyz 3sin sinsin0 xyz 所以函数sin sin sinxyz不是 空间中的电位解 0y 3 5 一半径为 0 R的介质球 介电常数为 r0 其内均匀地分布着体密度为 的 自由电荷 试证明该介质球中心点的电位为 2 r 0 r0 21 23 R 解 解 由高斯定理 d S DSq 得 0 rR 时 3 2 0 2 4 4 3 R r D 即 3 0 2 2 3 R D r 3 01 2 2 00 3 RD E r 故介质球中心点的电位为 00 00 322 2 000r 120 00 r0r00r0 0 21 0 dddd 363232 RR RR RRRr E rErrrR r 3 3 6 电场中有一半径为 介电常数为 a 的介质球 已知球内 外的电位函数分 别为 3 0 100 2 0 cos cos 2 E ra E r ra 0 20 0 3 cos 2 E r ra 试验证介质球表面上的边界条件 并计算介质球表面上的束缚电荷密度 解 解 在介质球表面上 00 1000 00 3 coscoscos 22 aE aaEE a 0 20 0 3 cos 2 aE a 01 00 00 2 3 coscoscos 22 r a EE r 0 E 02 0 0 3 cos 2 r a E r 故有 12 aa 12 0r ar a rr 可见 1 和 2 满足球表面上的边界条件 介质球表面的束缚电荷密度为 n20r2 PS r a ePeE 002 00 0 3 cos 2 r a E r 3 7 两块无限大导体平板分别置于0 x 和xd 处 板间充满电荷 其体电荷密 度为 0 x d 极板的电位分别设为0和 如图题3 7所示 求两导体板之间 的电位和电场强度 0 U x 0 0 U 0d x 图题图题 3 7 解 解 两导体板之间的电位满足泊松方程 2 0 故得 2 0 2 0 d1 d x xd 解此方程 得 3 0 0 6 x AxB d 在处 0 x 0 故 0B 在xd 处 0 U 故 3 0 0 0 6 d UAd d 得 00 0 6 Ud A d 所以 3 000 00 66 xUd x dd 2 000 00 26 xx xUd Eee xdd 3 8 试证明 同轴线单位长度的静电储能 2 e 2 l q W C 式中为单位长度上的电荷 量 C为单位长度上的电容 l q 证 证 由高斯定理可求得同轴线内 外导体间的电场强度为 2 l q E 内外导体间的电压为 ddln 2 2 bb ll aa qqb UE a 则同轴线单位长度的电容为 2 ln l q C Ub a 同轴线单位长度的静电储能为 2 22 2 e 111 d2 dln 222 2 2 2 ll b l Va qq qb WEV aC 1 3 9 有一半径为a 带电量q的导体球 其球心位于介电常数分别为 1 和 2 的两 种介质分界面上 设该分界面为无限大平面 试求 1 导体球的电容 2 总的 静电能量 图题图题 3 9 a 2 1 o q 解 解 1 由于电场沿径向分布 根据边界条件 在两种介质的分界面上 故有 1t2t EE 12 EEE 由于 111 DE 222 DE 所以 12 DD 由高斯定理 得 1 122 DSD Sq 即 22 12 2 2 rErEq 所以 2 12 2 q E r 导体球的电位 2 1212 1 dd 2 2 aa qq aE rr ra 故导体球的电容 12 2 q Ca a 2 总的静电能量为 2 e 12 1 24 q Wq a a 3 10 两平行的金属板 板间距离为d 竖直地插入介电常数为 的液态介质中 两板间加电压U 试证明液面升高 0 2 0 0 1 2 U h gd 式中的 为液体的质量密度 为重力加速度 g 图题图题 3 10 d U0 L h 解 解 设金属板的宽度为a 高度为 当金属板间的液面升高为h时 其电容为 L 0 a Lhah C dd 金属板间的静电能量为 0 0 2 2 e0 1 22 aU UhLh d WC 液体受到竖直向上的静电力为 0 2 e e0 2 aU W F hd 而液体所受重力 g Fmgahd g e F与 g F相平衡 即 2 0 0 2 aU ahdg d 故得到液面上升的高度 2 2 000 0 2 1 22 UU h dggd 3 11 同轴电缆的内导体半径为 外导体内半径为 内 外导体之间填充两层 有损耗介质 其介电常数分别为 ac 1 和 2 电导率为 1 和 2 两层介质的分界面 为同轴圆柱面 分界面半径为b 当外加电压为时 试求 1 介质中的电流 密度和电场强度分布 2 同轴电缆单位长度的电容及漏电阻 0 U 解 解 1 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I 则由 d S JSI 可得电流密 度 2 I Je ac 介质中的电场 1 11 2 JI Ee ab 2 22 2 JI Ee bc 由于 012 12 ddlnln 2 2 bc ab IbIc UEE ab 于是得到 120 21 2 ln ln U I b ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 120 21 ln ln U Je b ac b ac 20 1 21 ln ln U Ee b ac b ab 10 2 21 ln ln U Ee b ac b bc 2 同轴电缆单位长度的漏电阻为 021 12 ln ln 2 Ub ac b R I 由静电比拟 可得同轴电缆单位长度的电容为 12 21 2 ln ln C b ac b 3 12 在电导率为 的无限大均匀介质内 有两个半径分别为 1 R和 2 R的理想导体 小球 两小球之间的距离为d 设 试求两个小导体球面之间 的电阻 注 只需求一级近似解 1 dR 2 dR 解 解 此题可采用静电比拟的方法求解 假设位于介电常数为 的介质中的两个小 球分别带电荷和 由于两球间的距离 两小球表面的电位 为 qq 1 dR 2 dR 1 12 11 4 q RdR 2 21 11 4 q RdR 所以两小导体球面间的电容为 12 121 4 1111 q C 2 RRdRdR 由静电比拟 得到两小导体球面间的电导为 12 121 4 1111 I G 2 RRdRdR 故两个小导体球面间的电阻为 121 111111 4 R GRRdRdR 2 r 2 3 13 在一块厚度为d的导体板上 由两个半径为和的圆弧和夹角为 1 r 的两半 径割出的一块扇形体 如图题3 13所示 试求 1 沿导体板厚度方向的电阻 2 两圆弧面间的电阻 沿 方向的两电极间的电阻 设导体板的电导率为 1 r 2 r d J 图题图题 3 13 解 解 1 设沿厚度方向的两电极的电压为U 则有 1 1 1 U E d 1 11 U JE d 22 1 11121 2 U IJ Srr d 故得到沿厚度方向的电阻为 1 1 22 12 2 Ud R 1 Irr 2 设内外两圆弧面电极之间的电流为U 则 2 rd I S I J 2 2 2 2 22 2 JI E rd 2 1 22 22 1 dln r r Ir UEr dr 故得到两圆弧面之间的电阻为 22 2 21 1 ln Ur R Idr 3 设沿 方向的两电极的电压为 3 U 则有 U E 33 0 dr 由于与 3 E 无关 所以得到 3 3 U Ee r 3 33 U JEe r 2 31 332 33 1 ddln r Sr dUdUr IJeSr rr 故得到沿 方向的电阻为 3 3 32 ln U R 1 Idrr 3 14 有用圆柱坐标系表示的电流分布 0 z JeJ a 试求矢量磁位A 和磁 感应强度B 解 解 由于电流只有分量 且仅为圆柱坐标 z e 的函数 故 A 也只有分量 且仅 为 z e 的函数 记 a 和 a 的矢量位分别为 1 A 和 2 A 由于在 a 时电流为零 所以 2 1 100 1 z z A AJ a 2 2 2 1 0 z z A A a 由此可解得 3 1001 1 ln 9 z1 AJC D lnACD 222z 2 C 2z A 式中 C 可由和满足的边界条件确定 11 D 2 D 1z A 0 时 1 z A 为有限值 若令此有限值为零 则得C10 1 0D a 时 12 zz AaAa 12zz aa AA 即 3 0022 1 ln 9 J aCaD 2 002 11 3 J aC a 由此可解得 3 20 1 3 CJ0 a 3 200 11 ln 33 DJ aa 故 3 10 1 9 z A 0 J a 333 2000000 11111 3 ln ln ln 3333 z AJ aJ aaJ a a a 空间的磁感应强度为 2 00 11 3 J BAe a 3 15 无限长直线电流I垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界面 如 图题3 15所示 试求 1 两种磁介质中的磁感应强度 1 B 和 2 B 2 磁化电流分 布 10 2 I x z 图题图题 3 15 解 解 1 由安培环路定理 可得 2 I He 所以得到 0 10 2 I BHe 2 2 I BHe 2 磁介质在的磁化强度 0 2 00 1 2 I MBHe 则磁化电流体密度 0 m 0 1 d1 d1 d2 d zz I JMeMe 0 由 2 2 I BHe 看出 在 0 处 2 B 具有奇异性 所以在磁介质中 0 处 存在磁化线电流 m I 以轴为中心 z 为半径作一个圆形回路C 由安培环路定 理 有 m 00 1 d C I IIBl 故得到 m 0 1 II 在磁介质的表面上 磁化电流面密度为 0 m 0 0 2 Sz z I JMee 3 16 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 0 H 若此平面电流回路 位于磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界面上 试求两种磁介质中的 磁场强度和 1 H 2 H 1 2 h l 11 PH 12 PH 22 PH 21 PH 图题图题 3 16 解 解 由于是平面电流回路 当其位于两种均匀磁介质的分界面上时 分界面上的 磁场只有法向分量 根据边界条件 有 12 BBB 在磁介质分界面两侧 做一 个尺寸为2的小矩形回路 如图题3 16所示 根据安培环路定律 有 h l 11211222 d C HlH PhHPhH PhHPhI 1 因垂直于分界面 所以积分式中 H 0Hl 这里I为与小矩形回路交链的电 流 对平面电流回路两侧为真空 则有 00102 d2 2 C HlHPhHPh I 2 由于和是分界面上任意两点 由式 1 和 2 可得到 1 P 2 P 12 2HHH 0 即 0 12 2 BB H 于是得到 12 0 12 2 BH 故有 2 10 112 2B HH 1 20 212 2B HH 3 17 证明 在不同磁介质的分界面上 矢量磁位A 的切向分量是连续的 媒质 C n 1 A l h 媒质 2 A 图题图题 3 17 解 解 由由BA 得 dd SSC dBSASA l 1 在媒质分界面上任取一点 围绕该点任做一个跨越分界面的狭长矩形回路 路C 其长为 宽为 且令 P lh0h 如图题3 17所示 得 12 0 dli CSh AlAlAlBS md 由于B 为有限值 上式右端等于零 所以 12 0AlAl 由于矢量 平行于分界面 故有 l 1t2t AA 3 18 长直导线附近有一矩形回路 此回路与导线不共面 如图题3 18 a 所示 试证明直导线与矩形回路间的互感是 0 22 1 222 1 2 ln 2 2 aR M b RcbR A B C R b a 图题图题 3 18 a P Q b Q R P 1 R C AB 图题图题 3 18 b 解 解 设长直导线中的电流为I 则其产生的磁场为 0 2 I B r 由图题3 18 b 可知 与矩形回路交链的磁通为 1 0001 1 dd 2 2 2 R SR IaIaI ln R BSr rR 其中 2222 1 2222 1 2 RCbRCRbb RC 2 1 2 故直导线与矩形回路间的互感为 2222 1 001 0 2222 1 2 2 lnln 2 2 ln 2 2 aaR Rbb RC M IRR aR Rbb RC 2 3 19 同轴线的内导体是半径为a的圆柱 外导体是半径为b的薄圆柱面 其厚度 可忽略不计 内 外导体间填充有磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质 如图题 3 19所示 设同轴线中通过的电流为I 试求 1 同轴线中单位长度所储存的 磁场能量 2 同轴线单位长度的自感 a b 1 2 I 图题图题 3 19 解 解 同轴线的内外导体之间的磁场沿 方向 在两种磁介质的分界面上 磁场只 有法向分量 根据边界条件可知 两种磁介质中的磁感应强度 12 BBBe B 但磁场强度 12 HH 1 利用安培环路定理 当a 时 有 2 0 0 2 2 I B a 所以 0 0 2 2 I B a a 在ab 区域内 有 12 HHI 即 12 12 BB I 故 12 12 I Be ab 同轴线中单位长度储存的磁场能量为 222 0 m 0 01 111 2 d d d 222 abb aa BBB W 2 2 2 012 2 0 01212 22 012 12 11111 2 d d 22 2 ln 16 ab a II a IIb a 2 由 2 m 1 2 W 得到单位长度的自感为LI 0m12 2 12 2 ln 8 Wb L Ia 3 20 如图题3 20所示的长螺旋管 单位长度上密绕匝线圈 通过电流NI 铁 心的磁导率为 截面积为S 求作用在它上面的磁场力 I x 图题图题 3 20 解 解 由安培环路定理可得螺旋管内的磁场为 HNI 设铁心在磁场力的作用下有一位移dx 则螺旋管内改变的磁场能量为 222 0 m0 1 ddd 222 WH S xH S xN I S 2 dx 则作用在鉄心上的磁场力为 22 m 0 d1 d2 x I W FN x 常数 I S 可见 磁场力有将铁心拉进螺旋管的趋势 3 21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d 如果把它移到无穷远处 需要做 多少功 xxx q q o 图题图题 3 21 解 解 利用镜像法求解 当点电荷q移动到距离导体平面为x的点处时 其像电荷q 位于点 处 如图题3 21所示 像电荷在点 0 0 P x q 0 0 x q P处产 生的电场为 2 0 4 2 x q E xe x 所以将点电荷q移到无穷远处时 电场所作的功为 22 e 2 00 dd 4 2 16 dd qq WqE xrx xd 外力所作的功为 2 e 0 16 o q WW d 3 22 一个点电荷q放在60的接地导体角域内的点 1处 如图题3 22所示 试求 1 所有镜像电荷的位置和大小 2 点处的电位 1 0 2 1 0 P q 2 q 1 q 5 q 4 q 3 q 0 1 1 0 1 2 60 y x o 图题图题 3 22 解 解 1 这是一个多重镜像的问题 共有 2 1 2 3 15n 个像电荷 分布在 以点电荷到角域顶点的距离 即 q 2 为半径的圆周上 并且关于导体平面对 称 且正负电荷交错分布 如图题3 22所示 它们的带电量和位置分别为 366 175sin2 366 075cos2 1 1 1 y x qq 366 0165sin2 366 1165cos2 2 2 2 y x qq 366 0195sin2 366 1195cos2 3 3 3 y x qq 366 1285sin2 366 0285cos2 4 4 4 y x qq 1315sin2 1315cos2 5 5 5 y x qq 2 点处电位 2 1 0 P 35124 012345 1 2 1 0 4 qqqqqq RRRRRR 0 1 0 5970 2920 2750 3480 477 4 q 9 0 0 321 2 88 10 V 4 qq 3 23 一个电荷量为q 质量为m的小带电体 放置在无限大导体平面下方 与 平面相距为h 欲使带电体受到的静电力恰好与重力相平衡 电荷的值应为多 q 少 设 3 2 10 kgm 0 02mh 解 解 将小带电体视为点电荷 导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电 荷q对q的作用力 根据镜像法可知 镜像电荷为 qq qq 位于导体平面上方 处 则小带电体q受到的静电力为 h 2 e 2 0 4 2 q f h 令 e f的大小与重力mg相等 即 2 2 0 4 2 q mg h 于是得到 8 0 4 5 9 10 Cqhmg 3 24 一个半径为R的导体球带有电荷量为 在球体外距离球心为处有一个 点电荷q 1 求点电荷与导体球之间的静电力 2 证明 当与Q同号 且 Q D qq 3 222 QR DR qDRD 成立时 表现为吸引力 F z R o qQ q q d D 图题图题 3 24 解 解 1 导体球上除带有电荷量Q之外 点电荷还要在导体球上感应出等量异 号的两种不同电荷 根据镜像法 像电荷q q 和 q 的大小和位置分别为 q D R q D R d 2 q D R qq 0 d 如图题3 24所示 导体球自身所带的电荷Q则用位于球心的点电荷Q等效 故点电荷受到的 静电力为 q qqqqQq FFFF 22 00 4 4 qqq Dq DdD 22 0 4 qQR D qRq DD DRD 2 2 当与同号 且表现为吸引力 即 q Q F0 F时 则应有 22 0 QR D qRq DD DRD 2 由此可得出 3 222 QRD qDRD R 3 25 一个半径为a的无限长金属圆柱薄壳 平行于地面 其轴线与地面相距为 在圆柱薄壳内距轴线为处 平行放置一根电荷线密度为 h 0 r l 的长直细导线 其横 截面如图题3 25 a 所示 设圆柱薄壳与地面间的电压为U 求金属圆柱薄壳内 0 外的电位分布 a b c 图题图题 3 25 解 解 线电荷 l 在金属圆柱薄壳内表面引起的感应电荷 用镜像电荷 l 等效替代 如图题3 25 b 所示 图中 ll 位于 2 0 0 a r r 圆柱薄壳内任一点的电位为 1 0 ln 2 l R rC R 式中 22 00 2cosRrrrr 2222 00 2 cosRrarr ar 因r a 0l U 故得 0 00 ln 2 l a CU r 则 0 10 0 ln 2 l R r rU Ra 求圆柱薄壳外任一点的电位时 地面对圆柱薄壳的影响可用镜像圆柱等效替代 如图题3 25 c 所示 图中 2 Dhha 2 22 dhha 则圆柱薄壳外的电位为 22 222 2 22 020 lnln 2 2 ll xyhdR x y R xyhd 22 2 22 0 ln 2 l xyha xyha 22 22 已知圆柱薄壳的电位为U 即 0 0 x yha 时 2 U0 故得 00 2 22 22 2 ln l U haha haha 则 22 0 2 22 22 22 ln ln xyhaU haha xyha haha 22 22 3 26 如图题3 26 a 所示 在0z 0z 0 x 2 1 sin n n n x a n y x yB e a 0 x 2 1 0 1 sin sin l n n x a qn dn y x ye naa 0 x 3 31 如图题3 31所示 在均匀电场 0 x Ee E 0 中垂直于电场方向放置一根半径为 的无限长导体圆柱 求导体圆柱外的电位和电场强度 并求导体圆柱表面上的感 应电荷密度 a 图题图题 3 31 x y o a0 E 解 解 在外电场 0 E作用下 导体表面产生感应电荷 圆柱外的电位是外电场 0 E的 电位 0 与感应电荷的电位 in 的叠加 由于导体圆柱为无限长 所以电位与变量z 无关 在圆柱面坐标系中 外电场的电位为 000 cosE xCEC 式 中 常数的值由参考点确定 而感应电荷的电位C in 应与 0 一样按 cos 变化 而且在无限远处为0 由于导体是等位体 所以 满足的边界 条件为 C 0 cos EC 由此可设 1 01 coscosEAC 由条件 有 1 01 coscosE aAaCC C 于是得到 0 2 1 EaA 故圆柱外的电位为 21 0 cosaE 若选择导体圆柱表面为电位参考点 即 0a 则0 C 导体圆柱外的电场则为 22 00 22 1 1 cos 1 sin aa EeeeEe E 导体圆柱表面的电荷面密度为 0000 2cos S a a eEE 3 32 如图题3 32所示 一个半径为b 无限长的薄导体圆柱面被分割成4个1 圆柱面 彼此绝缘 其中 第二象限和第四象限的1 圆柱面接地 第一象限和 第三象限的1 圆柱面分别保持电位U和 4 4 4 00 U 试求圆柱面内的电位函数 x y o 0 U 0 U b 0 0 图题图题 3 32 解 解 由题意可知 圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 0 为有限值 0 0 0 2 0 2 3 2 0 3 22 U b U l q y x o a l q 0 r 0 图题图题 3 33 解 解 在线电荷作用下 介质圆柱产生极化 介质圆柱内外的电位 l q 均为 线 电 荷的 电 位 l q l 与 极 化 电 荷 的 电 位 P 的 叠 加 即 lP 线电荷q的电位为 l 22 00 00 lnln2cos 22 ll l qq Rrr 1 而极化电荷的电位 P 满足拉普拉斯方程 且是 的偶函数 介质圆柱内外 的电位 1 和 2 满足的边界条件为分别为 1 0 为有限值 2 l ar 时 12 120 rr 由条件 和 可知 1 和 2 的通解为 1 1 cos n ln n An 0 a 2 2 1 cos n ln n Bn a 3 将式 1 3 代入条件 可得到 11 coscos n nn nn A anB an n 4 11 00 1 0 ln cos 2 nn nn n a qlR A naBnan r 5 当 0 r 时 将lnR展开为级数 有 0 1 0 1 lnln cos n n Rr n r n 6 代入式 5 得 1