江苏省无锡市南菁高级中学高三数学下学期开学质量检测试题（含解析）苏教版.doc

江苏省无锡市南菁高级中学2013届高下学期开学质量检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区）1（5分）若集合a=y|y=x，b=x|y=，则ab=（，1考点：交集及其运算.专题：计算题分析：先求出集合b，根据集合语言再求出集合a，然后进行交集运算即可解答：解：由1x0x1，b=x|x1a=r，ab=（，1 故答案是（，1点评：本题考查集合语言的理解与交集运算2（5分）命题“xr，有x2+1x”的否定是xr，使x2+1x考点：全称命题；命题的否定.专题：阅读型分析：全称命题：“xa，p（x）”的否定是特称命题：“xa，非p（x）”，结合已知中原命题“xr，都有有x2+1x”，易得到答案解答：解：原命题“xr，有x2+1x”命题“xr，有x2+1x”的否定是：xr，使x2+1x故答案为：xr，使x2+1x点评：本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“xa，p（x）”的否定是特称命题：“xa，非p（x）”，是解答此类问题的关键3（5分）若i是虚数单位，则i+2i2+3i3+2013i2013=1006+1007i考点：虚数单位i及其性质；数列的求和；复数代数形式的加减运算.专题：计算题分析：由虚数单位的周期性可得得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=1，i4n+3=1，其中n为自然数，s=i+2i2+3i3+2013i2013，进而可得：is=i2+2i3+3i4+2013i2014，两式相减，由等比数列的求和公式，结合复数的运算化简即可解答：解：由虚数单位i性质可得i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=1，i4n+3=1，其中n为自然数，设s=i+2i2+3i3+2013i2013，两边同乘以i可得：is=i2+2i3+3i4+2013i2014，可得（1i）s=i+i2+i3+i20132013i2014=2013i2014=2013（1）=2013+i，故s=1006+1007i故答案为：1006+1007i点评：本题考查虚数单位及其性质，涉及数列的错位相减法求和以及复数代数形式的加减运算，属中档题4（5分）“1”是“lgx0成立”的必要不充分条件条件（填充分不必要、必要不充分，既不充分也不必要，充要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：不等式的解法及应用分析：利用解分式不等式和对数不等式化简原来的两个不等式为最简形式，再根据不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解即可解答：解：“1”可得x0或x1，lgx0可得x1，lgx01，但反过来不成立，“1”是“lgx0成立”的 必要不充分条件故答案为：必要不充分点评：此题主要考查解不等式、不等式的基本性质和充分必要条件，是一道基础题5（5分）已知流程图如图所示，为使输出的b值为16，则判断框内处应填3考点：循环结构.专题：计算题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量b的值，并输出，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果解答：解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，再进入循环此时b=22=4，a=3，再进入循环此时b=24=16，a=4时应跳出循环，循环满足的条件为a3，故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6（5分）（2012泉州模拟）已知直线axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直，则为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题：计算题分析：由导数的几何意义可求曲线y=x3在（1，1）处的切线斜率k，然后根据直线垂直斜率乘积为1，建立等式可求的值解答：解：设曲线y=x3在点p（1，1）处的切线斜率为k，则k=f（1）=3因为直线axby2=0与曲线y=x3在点p（1，1）处的切线互相垂直所以3=1即故答案为：点评：本题主要考查了导数的几何意义，曲线在点（x0，y0）处的切线斜率即为该点处的导数值，以及两直线垂直的条件的运用，属于基础试题7（5分）已知cos=，cos（）=，且0，则=考点：两角和与差的余弦函数.专题：计算题分析：由和的范围，求出的范围，然后由cos和cos（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin和sin（）的值，然后由=（）+，利用两角和的余弦函数公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可求出的度数解答：解：由0，得到0，又cos=，cos（）=cos（）=，所以sin=，sin（）=，则cos=cos（）+=cos（）cossin（）sin=，所以=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道基础题做题时注意角度的变换8（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为考点：等可能事件的概率.专题：计算题分析：列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可解答：解：列树状图得：共有12种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为8种，所以概率为故答案为：点评：考查用列树状图的方法解决等可能事件的概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比9（5分）若a、b与 f1、f2分别为椭圆c：的两长轴端点与两焦点，椭圆c上的点p使得f1pf2=，则tanapb=考点：椭圆的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由椭圆的定义和勾股定理，算出点p在第一象限时的坐标为p（，），再由直线pa、pb的倾斜角与apb的关系，结合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tanapb的值解答：解：根据题意，apb的大小与点p在哪一象限无关，因此以点p在第一象限为例，设p（m，n）|pf1|+|pf2|=2a=2，|pf1|2+|pf2|2=4c2=16|pf1|pf2|=（|pf1|+|pf2|）2（|pf1|2+|pf2|2）=2由此可得，pf1f2的面积s=|pf1|pf2|=1又pf1f2的面积s=|f1f2|n=1n=，代入椭圆方程可得m=，得p（，）因此：kpa=，kpb=apb等于pb的倾斜角减去pa的倾斜角tanapb=故答案为：点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为直角，求该点与长轴两个顶点所张角的正切值，着重考查了直线的斜率公式、两角差的正切公式和椭圆的几何性质等知识，属于中档题10（5分）已知数列an（nn*）满足a1=1且an=an1cos，则其前2013项的和为0考点：数列的求和.专题：等差数列与等比数列分析：分别求出当n=3k，n=3k+1，n=3k+2（kn）时的的值，由a1=1依次求出a2，a3，分析发现数列从第一项起每三项和等于0，由此求出其前2013项的和解答：解：当n=3k（kn）时，当n=3k+1（kn）时，=，当n=3k+2（kn）时，=，由a1=1且an=an1cos，得：，由此可得从第一项起，数列an的每三项和为0，而2013=6713，所以，s2013=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a2011+a2012+a2013）=0故答案为0点评：本题考查了余弦函数值的求解，考查了求数列的和，重点考查了学生的归纳和推理能力，属中档题11（5分）定义在r上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x2）的图象关于（2，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s24s）f（4tt2），若2s2时，则3t+s的最大值为16考点：简单线性规划；函数单调性的性质.专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据函数图象平移的公式结合奇偶性定义，可得函数y=f（x）是奇函数因此将f（s24s）f（4tt2）变形，化简整理得到（st）（s+t4）0，以s为横坐标、t为纵坐标建立坐标系，结合2s2作出不等式组表示的平面区域如图所示再将z=3t+s对应的直线l进行平移，即可得到当s=2，t=6时，3t+s的最大值为16解答：解：y=f（x2）的图象由y=f（x）函数图象向右移2个单位而得由y=f（x2）图象关于（2，0）点对称，可得函数y=f（x）的图象关于（0，0）点对称由此可得函数y=f（x）是奇函数f（4tt2）=f（t24t）f（s24s）f（4tt2），f（s24s）f（t24t）又y=f（x）函数是增函数，s24st24t，移项得：s24st2+4t0化简整理可得：（st）（s+t4）0以s为横坐标、t为纵坐标，建立如图直角坐标系，则不等式表示的平面区域如图所示即abc及其内部，其中a（2，2），b（2，6），c（2，2）设z=f（s，t）=3t+s，将直线l：z=3t+s进行平移，可得当l经过点b时，z达到最大值zmax=f（s，t）=36+（2）=16故答案为：16点评：本题以函数的奇偶性和不等式等价变形为载体，考查了函数的图象与基本性质、二元一次不等式表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题12（5分）已知圆m：（x1）2+（y3）2=4，过x轴上的点p（a，0）存在一直线与圆m相交，交点为a、b，且满足pa=ba，则点p的横坐标a的取值范围为13，1+3考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆分析：由题意可得圆的半径为2，动点p到圆m的最近的点的距离小于或等于4，p到圆心m（1，3）的距离小于或等于6，即6，由此求得a的范围解答：解：由题意可知：圆的半径为2，直径为4；故弦长ba的范围是（0，4又pa=ba，所以动点p到圆m的最近的点的距离小于或等于4，由于圆与x轴相离，故p到圆上的点的距离恒大于0进而分析得到：p到圆心m（1，3）的距离小于或等于6，根据两点间的距离公式有：6，解得 13a1+3，故所求的a的范围是：13，1+3，故答案为13，1+3点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题13（5分）已知非零向量与满足（）（2）=0，则的最小值为1考点：平面向量数量积的运算；向量的模.专题：计算题；平面向量及应用分析：由已知结合向量的数量积的定义可求，结合1cos1可求的范围，进而可求最小值解答：解：（）（2）=0，cos令m=|，n=|1cos111解不等式可得即的最小值为1故答案为：1点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及性质的简单应用，二次不等式的求解，属于基础试题14（5分）已知，点p（x，y）的坐标满足，则的取值范围为）考点：简单线性规划的应用.专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用；平面向量及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，p（x，y）为内部一点，设a（，），可得向量、的夹角（，由向量的夹角公式可得=2cos，由此结合余弦函数的单调性即可得到本题的答案解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中b（2，0），c（1，）设a（，），p（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为|=，=x+ycos=当p运动到c点时，达到最小值；p运动到与x轴负半轴上一点重合时，达到最大值aocaob，由直线oa、oc的倾斜角分别为、，可得（，由此可得：cos，即，即的取值范围为）故答案为：）点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求式子的取值范围，着重考查了余弦函数的单调性、向量的夹角公式和简单线性规划的应用等知识，属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤来）15（14分）（2013镇江一模）在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列（1）若=，b=，求a+c的值；（2）求2sinasinc的取值范围考点：余弦定理的应用；数列的应用；向量在几何中的应用.专题：计算题分析：（1）通过a，b，c成等差数列，求得b的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c（2）通过两角和公式对2sinasinc，再根据c的范围和余弦函数的单调性求出2sinasinc的取值范围解答：解：（1）a，b，c成等差数列，b=，accos（b）=，ac=，即ac=3b=，b2=a2+c22accosb，a2+c2ac=3，即（a+c）23ac=3（a+c）2=12，所以a+c=2（2）2sinasinc=2sin（c）sinc=2（cosc+sinc）sinc=cosc0c，cosc（，）2sinasinc的取值范围是（，）点评：本题主要考查了余弦定理的应用解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质16（14分）在三棱柱abca1b1c1中，已知底面abc是边长为a的正三角形，侧棱aa1=a，点d，e，f，o分别为边ab，a1c，aa1，bc的中点，a1o底面abc（）求证：线段de平面bb1c1c；（）求证：fo平面bb1c1c考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离分析：（i）根据平行四边形对角线互相平分可得e也为ac1的中点，由中位线定理可得debc1，再由线面平行的判定定理可得线段de平面bb1c1c；（）由a1o底面abc可得a1oao，求出a1o，ao长，可由等腰三角形三线合一得到ofaa1，即ofbb1由线面垂直的判定定理可得bc平面aoa1，即bcfo，再由线面垂直的判定定理可得fo平面bb1c1c解答：证明：（）e为a1c的中点，e也为ac1的中点，又d为ab的中点，（2分）debc1，（4分）又de平面bb1c1c，bc1平面bb1c1cde平面bb1c1c （6分）（）因为abc是边长这a的正三角形，所以ao=a又a1o底面abc，ao底面abc，所以a1oao，（8分）又aa1=a，所以a1o=ao=a又f为aa1的中点，所以ofaa1，又bb1aa1，ofbb1 （10分）又bcao，bca1o，aoa1o=0，ao，a1o平面aoa1，bc平面aoa1，又fo平面aoa1，bcfo，（12分）又bcbb1=b，bc，bb1平面bb1c1c所以fo平面bb1c1c （14分）点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的判定定理是解答的关键17（14分）（2013泗阳县模拟）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3x与t+1成反比例若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等（利润=收入生产成本促销费用）（1）求出x与t所满足的关系式；（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？考点：函数模型的选择与应用.专题：应用题分析：（1）根据题意，3x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值（2）通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大解答：解 （1）设比例系数为k（k0）由题知，有（2分）又t=0时，x=1（4分）（5分）（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：（）元/件（8分）于是，进一步化简，得（11分）因此，工厂2010年的年利润万元（3）由（2）知，（15分）所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元（16分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，属于中档题18（16分）如图，椭圆c：过点m（1，），n（），梯形abcd（abcdy轴，且abcd）内接于椭圆，e是对角线ac与bd的交点（）求椭圆c的方程；（）设ab=m，cd=n，oe=d，试求的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）把m、n两点坐标代入椭圆方程解方程组即可；（）易判断点e在x轴上，则e（d，0），设bd的方程为x=ky+d（k0），与椭圆方程联立消x得关于y的一元二次方程，设b（x1，y1），d（x2，y2），由韦达定理可得y1+y2，进而可把mn、用k表示出来，再利用基本不等式即可求得其最大值解答：解：（）由题意得，解得a2=9，b2=4，所以椭圆c的方程为：（）根据对称性可知点e在x轴上，则e点的坐标为（d，0），设bd的方程为x=ky+d（k0），由得（9+4k2）y2+8dky+4d236=0，设b（x1，y1），d（x2，y2），则y1+y2=，mn=2y12y2=，从而=，等号当且仅当k=取得的最大值为点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，考查基本不等式在求最值中的应用，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，（）问关键是表示为k的函数19（16分）已知函数，且f（1）=1，f（2）=4（1）求a、b的值；（2）已知定点a（1，0），设点p（x，y）是函数y=f（x）（x1）图象上的任意一点，求|ap|的最小值，并求此时点p的坐标；（3）当x1，2时，不等式恒成立，求实数a的取值范围考点：函数恒成立问题；函数最值的应用.专题：计算题；函数的性质及应用分析：（1）由f（1）=1，f（2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，则0m1或m2法一：问题化为对x1，2恒成立，mxmx2mx+m对x1，2恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，0m1或m2问题转化为x|xm|m对x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（2）=4得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t0，则=因为x1，所以t0，所以，当，所以，（8分）即ap的最小值是，此时，点p的坐标是（9分）（3）问题即为对x1，2恒成立，也就是对x1，2恒成立，（10分）要使问题有意义，0m1或m2法一：在0m1或m2下，问题化为对x1，2恒成立，即对x1，2恒成立，mxmx2mx+m对x1，2恒成立，当x=1时，或m2，当x1时，且对x（1，2恒成立，对于对x（1，2恒成立，等价于，令t=x+1，x（1，2，则x=t1，t（2，3，t（2，3递增，结合0m1或m2，m2对于对x（1，2恒成立，等价于令t=x1，x（1，2，则x=t+1，t（0，1，t（0，1递减，m4，0m1或2m4，综上：2m4（16分）法二：问题即为对x1，2恒成立，也就是对x1，2恒成立，（10分）要使问题有意义，0m1或m2故问题转化为x|xm|m对x1，2恒成立，令g（x）=x|xm|若0m1时，由于x1，2，故g（x）=x（xm）=x2mx，g（x）在x1，2时单调递增，依题意g（2）m，舍去；若m2，由于x1，2，故，考虑到，再分两种情形：（），即2m4，g（x）的最大值是，依题意，即m4，2m4；（），即m4，g（x）在x1，2时单调递增，故g（2）m，2（m2）m，m4，舍去综上可得，2m4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的 值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用20（16分）（2013昌平区二模）设数列an，对任意nn*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2+an），（其中k、b、p是常数）（1）当k=0，b=3，p=4时，求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列an的通项公式；（3）若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”当k=1，b=0，p=0时，设sn是数列an的前n项和，a2a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”an，使得对任意nn*，都有sn0，且若存在，求数列an的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由考点：数列与不等式的综合；数列递推式.专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列分析：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+an；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），再写一式，两式相减，可得数列an是等差数列，从而可求数列an的通项公式；（3）确定数列an的通项，利用an是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列an的首项a1的所有取值解答：解：（1）当k=0，b=3，p=4时，3（a1+an）4=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，3（a1+an+1）4=2（a1+a2+an+an+1），得，3（an+1an）=2an+1，an+1=3an，（2分）在中令n=1得，a1=1，则an0，数列an是以首项为1，公比为3的等比数列，a1+a2+a3+an=（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2+an），用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2+an+an+1），得，（n1）an+1nan+a1=0，（6分）用n+1去代n得，nan+2（n+1）an+1+a1=0，得，nan+22nan+1+nan=0，即an+2an+1=an+1an，（8分）数列an是等差数列a3=3，a9=15，公差，an=2n3（10分）（3）由（2）知数列an是等差数列，a2a1=2，an=a1+2（n1）又an是“封闭数列”，得：对任意m，nn*，必存在pn*使a1+2（n1）+a1+2（m1）=a1+2（p1），得a1=2（pmn+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，故一方面，当时，sn=n（n+a11）0，对任意nn*，都有另一方面，当a1=2时，sn=n（n+1），则，取n=2，则，不合题意（14分）当a1=4时，sn=n（n+3），则，当a16时，sn=n（n+a11）n（n+3），又，a1=4或a1=6或a1=8或a1=10（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题三、加试部分21（10分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有a、b两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选a菜的，下周星期一会有20%改选b，而选b菜的，下周星期一则有30%改选a，若用aan、bn分别表示在第n个星期一选a、b菜的人数（1）若，请你写出二阶矩阵m；（2）求二阶矩阵m的逆矩阵考点：二阶矩阵.专题：计算题分析：（1）由二阶矩阵的运算法则可知；（2）设矩阵m的逆矩阵为，则由，能求出二阶矩阵m的逆矩阵解答：解：（1）；（2）设矩阵m的逆矩阵为，则由：，得：，解之得：，点评：认真阅读题目，理解题意，得到an、bn、an+1、bn+1之间的关系式，再用矩阵形式表示，根据逆矩阵的定义求之22（10分）（附加题选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线c的参数方程为，0，2），曲线d的极坐标方程为（1）将曲线c的参数方程化为普通方程；（2）曲线c与曲线d有无公共点？试说明理由考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.专题：计算题分析：（1）先由，0，2），利用三角函数的平方关系消去参数即得x2+y=1，x1，1（2）由利用三角函数的和角公式展开，得曲线d的普通方程为x+y+2=0，欲曲线c与曲线d有无公共点，主要看它们组成的方程有没有实数解即可解答：解：（1）由，0，2），得x2+y=1，x1，1（2）由得曲线d的普通方程为x+y+2=0得x2x3=0解x=，故曲线c与曲线d无公共点点评：本小题主要考查简