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一道面积加倍题的作图方法探究 江苏省姜堰市第四中学 （225500） 陈宏圣 一、问题的提出某村有一个如图（1）所示的四边形的池塘，四个角上栽有四棵桃树。现要将池塘面积扩大一倍，并且要求扩大后的池塘为平行四边形，四棵桃树在扩大后的平行四边形的边上。请你设计扩挖方案。 二、问题的解决分析：我们由平行四边形的定义知道过如图（1）所示的四个点A、B、C、D作一个平行四边形，只要过A、C和 B、D分别作两组平行线即可得到。但是不是任意画两组平行线得到的平行四边形的面积都恰好是原来四边形的面积两倍呢？如图（2）所示，四边形EFGH为经过A、B、C、D四点的平行四边形，我们怎么知道它的面积是否是四边形ABCD的面积的2倍呢？ 现在我们过A、B、C、D分别作四条直线AA1、BB1、CC1、DD1使AA1EH，CC1EH，BB1EF、DD1EF（如图（3）。由平行线的传递性及平行四边形的性质和判定，得到以下五个平行四边形：AFBQ，BGCP，DNCH，AMDE，MNPQ 因为平行四边形的对角线将平行四边形分为面积相等的两部分，AB，BC，CD，DA分别为AFBQ，BGCP，DNCH，AMDE的对角线，所以 SAFB=SABQ=SAFBQ SBGC=SBCP=SBGCP SDHC=SDCN=SDNCHSAED=SAMD=SAMDE 以上四式左右两边分别相加，则左边四个三角形面积的和就是扩大部分的面积，所以S扩大部分=SAFB+SBGC+SAED+SDHC=SABQ+SBCP+SAMD+SDCN =S四边形ABCD+SMNPQ （注意：中间平行四边形MNPQ是AFBQ和DNCH的重叠部分） 可以看出：这时扩大部分的面积多于原来四边形ABCD的面积。 那会不会少于原来的面积呢？ 同理，请看图（4）。在 AFBM、BGCN、DHCP、AQDE中 有 SAFB=SAMB =SAFBM SBGC=SBNC =SBGCNSDHC=SDPC =SDHCPSAED=SAQD=SAQDE所以S扩大部分=SAFB+SBGC+SAED+SDHC= SAMB +SBNC+SAQD+SDPC=S四边形ABCD-SMNPQ 这时扩大部分的面积少于原来四边形ABCD的面积。由、两式可知：如果过A、B、C、D四点任意画两组平行线得到的平行四边形EFGH，那么扩大部分的面积可能不是比四边形ABCD的面积多就是比四边形ABCD的面积少。那么，我们如何才能使扩大部分的面积恰好等于原来图形的面积呢？观察式和式，我们可以发现：扩大部分的面积不论是多还是少都恰好是中间的平行四边形MNPQ的面积。因此如果SMNPQ=0，那么扩大部分的面积就等于原来图形的面积。我们又知道平行四边形的面积等于一条边长与这条边上的高的乘积，“边长”与“高”这两个因数中只要有一个等于零，就可使得SMNPQ=0成立。比如在图（4）中，我们使得MN=0，就可以得到SMNPQ=0。要使MN=0，我们只要直线AA1与直线CC1重合就可以了。因此在画图时我们只要连接AC，过D，B两点分别画AC的平行线就可以使MN=0，这样就可以使扩大后的图形的面积等于原来图形的面积（如图（5）所示）。 同样如果连接BD，过A，C作BD的平行线，这样就可以使图（4）中的MQ=0，也可以使SMNPQ=0。因此我们对池塘扩挖方案是：过D，B两点作出AC的平行线l1，l2，再过A，C两点作两条平行线l3，l4，它们分别交于E，F，G，H四点，则EFGH即为所求作平行四边形。特例：（1）分别连接两条对角线AC和BD，然后分别过A，B，C，D四点作对角线的平行线交于四点E，F，G，H得到一个平行四边形EFGH，则这个EFGH即为所求作四边形（如图（6）。（2）在过B、D画两条与对角线AC平行的直线l1、l2后，只要过A、C再画两条与l1垂直的直线l3，l4，那么由l1、l2 、l3、l4所围成的四边形EFGH即为将四边形ABCD面积扩大一倍的矩形。三、思考如果有一个特殊点O（如图7）所示，我们在画图时能否考虑使这个O点也在扩大后的平行四边形的边上？请你试试看。 后记： 这道题在很多课外书上都能找到，但这些辅导书上一般只是给出这样的答案：连接两条对角线，过四个顶点分别作两条对角线的平行