高校自主招生数学试题中集合与函数问题的归类分析.pdf

2 0 1 3 年第期 中学数 学研究 一一 艺 作斜率为的直线 交双 曲线于 两点 线段 一 一 一 一 一 的垂直平分线交轴于 求证一长 长 专 为定值 一 一 一 一 一 一 一声 一 分析 由双 曲线方程知 万 取特殊位 置的直线可预知定值 如取 无二 则一 不 二 户 二为定值 例 已 知 在 椭 圆 专 上存在关于直线 且刀 不 刀 从而预测定值应该为 解 如 图 直线的方程 为了一 设 少 儿 中 点 为 二一 为 味一 少 司 二一无 劣 萨二 百 图 浮 爪 甘以 一 二一厄一一花 了 万 对称的不 同两点 求实数的取值 范围 分析 令 弦长趋于 则 弦变成 了切线 弦的垂 直平分线变成了法线 法线在轴上 的截距应为 取值 区间的端点 解 直 线的斜 率 为 从而 弦的斜 率为 一 李 直 线 是弦的 垂 直 平 分 线 将 超平 行 移 动 一一 一一 一 一 刀 嘴 一 使之成为椭 圆的切线 则 重合于切点 直 线 成为过点的法线 将椭圆方程化为 扩尹二 把看作 二的函数 两边对求导得 犷 八 二二一笋 令 一笋一于 则 由 了 一 二 一 一 犷介 十 八 一 又 石一刃 乃了一万了 生 刀 四 毋 且 十 分 玫 力 住 刀 凡一凡一 次卜 点 爪 一 带 一 篇 无 一 凡一 无 工 一 二 万 一百少 洲 护二仔 劣 凡一 丫 竹认竹 法 线 毛 丫 二屯 令 丫 令 无 无 护 二百 双 又 元 几 百 二无 得二 八 刀户 无 了万 一万一 之 或 三 义 互 了 矿 凡 一 二 一二 二 一 一 一 一 一 二 二 一 斗二 一 二 一 一 一 一 一 无 一 一 一 无一 俗 令 二 平 得二 厄 故二 一 一 厄 丁 下 一 一 一 一 乙 一 一无 一 从而 众 久 交 久 久 父 久 久 久 久 久 交 交 交 交 交 交 交 久 久 久 公 众父 众 众 久 久 久 众 久 久 众 久 久 父 父 父 久 交 久 欠 欠 久 久 久 久 众父 众 众 交 久 交 久 久 父 久 久 交 交 交穴 久 久 久 众 久 众 久 久 久 久 交 久 交 久 交 众 久 交 交 交 交 交 久 久 交 交 交 久 交 高校自主招生数学试题中集合与函数问题的归类分析 江西省南昌外国语学校梁鼓涛 在大学自主招生数学试题中 集合与函数的内 容 占据 了很重要的位置 这 不仅是 因为集合与函数 概念是现代数学中最基本 的概念之一 集合与函数 思想渗透于现代数学的所有领域 而且还 因为集合 与函数是高中数学的最核心 内容 是今后进一步 学 习高等数学的基础 本文对近年来各大名校 自主招 生及保送生考试中的有关集合与函数的试题进行 整 理归类 逐一分析 以期对考生有所帮助 一 集合个数问题 例年北京大学保送 生考题称 的某非空子集为奇子集 如果其中所有元 素之和为奇数 问该集合共有几个奇子集 解析一 将集合二 中的元素分 为奇数 和偶数 设集合的奇子 集为若 中的元素只能从奇数里 取 有以种 若二 中的元素只能从奇 数里取 个 从偶数里取个 以 以种 以此 类推 共计有个奇子集 中学数学研 究 年 第期 解析二 考虑集合 与集合 二 将集合的每个子集 包括空集并 上集合的奇数个元素 的子集 得到的集合都是奇 子集 所以 有二县个 点评 根据题 目的特点 对集合元素进行奇偶分 析 分类是解决这类问题的常用方法 二 集合的求解 问题 例年清华大 学 自主招生题求由正 整数组成 的集合 使中的元素之和等于元素之 积 解析 设 若 则显然满足条件 若 不妨设 则由一 蕊 得一 或 若二 二 此时 无解 若二 得 二 由 得二 综上分析 或 点评 此类 问题常利用放 缩法 缩小范围 再逐 个分析 三 定义集合的问题 例年复旦大学 自主招生考题设集 合是实数集的子集 如果点 满足 对任意 都存在二 使得一 那么称 为集合的聚点 用表示整数集 则在下列集 合 击 二 翻 青 一 笋 整数集 其中以 为聚点的集合有 解析 本题等价于对任意的 都存在集合 中的元素 使得川在 中 当 解析集合 一是开 集 二 二 一 取 为 到直线一的距离 则 尸 少二了一 集合 力二 不是开集 取 二 则二 买二 力 例 故它不是开集 点评 聚点 开集 等是 高等数 学中非常重 要的概念 常见于泛 函分析 拓扑 学等课 程 习惯 高 等数学的语言 仔细读懂 理解题 目的意义是解题 的 关键所在 四 含绝对值函数的问题 例年北约 自主招生试题求二 一一 一的最小值 解析 此题是函数二一 一 一 的最小值 问题 先考虑特殊情况 当 二时 易知当时 取得最小值 当 时 易知 当二 时关 二 取得最小值 以此 类推 可知 当一 任 冻 劝 在时 取得最小值 当无无 在二 介 时取得最小值 由人劣 一十 乙劣 一 二厂 易知 所 以在最中间的两个零点之间 取得 最 小 值重零 点 当成 是 不 同 的 零 点 由 一 晰蕊虹垂士功 得 一 即最 中 间 的两个零 点都 是 从 而 二 当时 一一 又 十乙 一 一 八 女妄 下 丁 乙 的元素 所 以 点评 此题 对思维能力的要求较高 对于此类题 目 可采取分步渐进 逐个试探 由简到繁 从 中寻找 规律 直到发现解题的方法 五 有关函数基本性质的问题 例年清 华大 学五校 联 考 题已知 是定义在上 的奇函数 且 当时 单 调递增爪 一 设沪二一 几一 一时 集合 中就不存在满足 选进一步分析 聚点含义相 当于以聚点为 圆心 以任 意半径画圆 无论 此圆的半径 多小 圆内都含有 集合 中的元素 显然 满足 例年清华大学 自主招生考题对于 集合矿 称 肛为开集 当且仅当二 日 使得 尸二矿 日 尸二判断集合二 一与 劣 是 否是开集 并证 明你的结论 集合二对任意的 令 沪 对 任 意 的 任 晋 门 解析 由二 是定义在上的奇函数 求 且 当 时 二 单调递增 一 知当二时 劝 20 1 3 年第期中学数学研究 也单调递增 于是二粼一 或在上 的 函 数尹满 足 对任意的二二 不戈 甲 戈 工 卫 劣 一 一 则 对任意的二 令 例一 或 解析令 令 得 得 由 中 所以对任意的 冬 二一 则 石 一 得 一 刀乙劣 一骨 对 一 卜乏 二 哀丽 二 知对求 二卜 一 恒成立骨一 江 例年浙江大学 自主招 生试题已 函数是定义在 一 十 二 上的单调增函数 二二双 一乙 二一 一恒成立 任 得加二 点评 本题的实质是函数方程 中的迭代问题 令 十二 七士 沂 则夙户气亡 示 所以 是周期为的迭代函数 一般地 定义 实数的取值范围 解答 洲二一 二一乙一骨二 犷 一一一 对恒成立 骨 卜 如果 笋 一 则称劝 具有周期 无所 以本题 等价 于 用代 式 中的 得 一 即 一 一劣 妻 乙 一一 利拓已恒成立 幼 尸 劣 劣 一 解得 关 一 内 争 劣一 二 二 言 一 担 言了 合 一 江 蕊 蕊 点评 求参数的取值范围 分离参数是较常见的 一缨 卜 上 海 交 通 大 学年 保 送 生 考 方法 六 有关抽象函数的问题 例年浙江大学保送 生考题设二 二 二工 二 求证 当单调递增时 是 否有并证 明 解析若必 则显然有互若笋 则对任意 从而力 飞 二 故 二 所以肛 二爪 当单调递增时 有以下用反证 法证 明 假设笋 由二 己 牟 即五八 尹 若 则由是单调递增可得 了 份 与五 矛盾 若 则由是单调递增可得 了 份丫 与兀二矛盾 综合 可知假设不成立 即一定有 点评 本题是一道抽象函数的问题 没有具体解 析式 条件简单是其特点 利用反证 法 创造 出新的 条件 使本题得 以顺利解答 七 有关函数迭代的问题 例年复旦大学 自主招 生试题定 义 例 题 人 二 黯 对 于 一 切 然 数 几 都 有 人吠 且九 求几 解析由条件解得人人比 二 人 二 是周期为的迭代函数 从而人 点评 自主招生与保送生考试 的试题 虽然立足 于中学数 学内容 但也 显然 高 广 深 于中学数 学内 容 一些竞赛 内容也屡见不鲜 另外 本题 中的条件 九二几是多余的 二次函数的问题 例北 京大学年保送 生考 题已知 为 一 个 二 次 函 数 且汀 了 份份丫成正等比数列 求证洲 解析一 设 二笋 数列 护 了 力 沙 份飞的公 比为 则叮 了 汀 力 了 拭 一 得 一叮 一叮 一 得 一 一 一 的 若二 显然成立 此时 若笋 化为一 与 中学数学研 究 年第期 叮 解析二由 比 数 列 解 吐 矛盾 二成立 了 飞了口勺丫成等 八八匹丑五旦 互 过 丫少 胃少 立 份诊 兴弩兴 若 了 汀 贝 必 斗 瓮俨 八了 了一 了 口 丈工 拭 了 仃汀三点满足 八了 飞一 了仃 口 仃飞 三点共 线 与 三点在抛物线上矛盾 二 例 知函数 上海交通大学 的年冬令营试题已 二笋且没 有实数根 那 么力 了是否有实数根 证明你 的结论 解析一 抓一二 一二 无 实数根 二一 一户了 劝一 旷 二 一二一二 一二占 因为一没有实数 根 且对于方程 一一 乙一 一 一 一 也无根 故了 口 飞 二没 有实数根 点评 本解法的难点是对了 叭一 准确地进 行因式 分解 其 关键是 对 的根 一 定是 了 口的根 所 以了八一一 定有 因式 一 性质的掌握详见例题 解析二 若旅的图像是开 口向上 的抛 物线 由没有实数根 知在直 线 的上方 所以对任意的 州巨成立 于是 只了 飞同理若 则有 于是户了动所 以了 拭没有实 数根 点评 对于函数的问题 利 用其图形的等点 数 形结合 是解题的捷径之一 久 久久 父 久 久 久众 众 众 又 久 久 交久 久 久 久 久久 交 久 久公 久 欠 久 交 久久 交 久 久久 久 父 众 会 交交 久 久 交久 久 久 交 久 久 会久 父 久父 父 众 久 久 久 父父 久 众 交 久众 父 众 欠久 久交 父 久众 久众 众 久 欠久 久 众 久 久久 众 会交 众 交 久 对年江西高考解几题的思考 江苏省苏州市第十中学朱云艳 年江西数学高考理科第题为 已知三点 一 曲线 上任意一点二 力 满足 丽耐丽 耐 求 曲线的方程 动点 少 一 在 曲线上 曲线在点处的切线为问 是否存在定点尸 使得与 都相交 交点分别为 且 伽与 的面积之比是常数 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 其答案为曲线的方程为扩存 在定点 一 这是一道与定 点 定值相关的问题 考查 了平面 向量运算 轨迹方程求法 抛物线的切线 直线位置 关 系 弦长公式 三角形面积求法 恒成立等 内容 考 查 了解析几何的基本思想 综合运算能力 探究意识 与创新意识 是近年来高考中的热点题型之一 能较 好地考查学生综合素质 渗透 了课标的课程理念 本试题 中的抛物线是具体的 是抛物线特殊 的弦 通径 而结论中点尸 一在抛物线准线 上 也是抛物线在点 处两切线的交点 所有这些 是否具有一般性 笔者对 问作些粗浅探讨 提供