高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修2.ppt

1 2 2同角三角函数的基本关系 第一章 1 2任意角的三角函数 学习目标1 能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式 2 理解同角三角函数的基本关系式 3 能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简 求值和证明 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点同角三角函数的基本关系式 思考1计算下列式子的值 1 sin230 cos230 2 sin245 cos245 3 sin290 cos290 由此你能得出什么结论 尝试证明它 答案3个式子的值均为1 由此可猜想 对于任意角 有sin2 cos2 1 下面用三角函数的定义证明 设角 的终边与单位圆的交点为p x y 则由三角函数的定义 得sin y cos x sin2 cos2 x2 y2 op 2 1 思考2由三角函数的定义知 tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系 梳理 1 同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 2 同角三角函数基本关系式的变形 sin2 cos2 1的变形公式sin2 cos2 tan 的变形公式sin cos sin2 cos2 1 1 cos2 1 sin2 cos tan 思考辨析判断正误 1 sin2 cos2 1 提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是 同角 才成立 即sin2 cos2 1 答案 提示 题型探究 类型一利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1已知角 的某一三角函数值及 所在象限 求角 的其余三角函数值 答案 解析 答案 解析 反思与感悟 1 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系 其常用的用途是 知一求二 即在sin cos tan 三个值之间 知道其中一个可以求其余两个 解题时要注意角 的象限 从而判断三角函数值的正负 2 已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题 我们可利用平方关系或商数关系求解 其关键在于运用方程的思想及 sin cos 2 1 2sin cos 的等价转化 分析解决问题的突破口 跟踪训练1已知tan 且 是第三象限角 求sin cos 的值 解答 又sin2 cos2 1 又 是第三象限角 命题角度2已知角 的某一三角函数值 未给出 所在象限 求角 的其余三角函数值 解答 是第二或第三象限角 1 当 是第二象限角时 则 2 当 是第三象限角时 则 反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时 若没有给出角 是第几象限角 则应分类讨论 先由已知三角函数的值推出 的终边可能在的象限 再分类求解 是第一或第四象限角 1 当 是第一象限角时 则 解答 类型二齐次式求值问题 解答 例3已知tan 2 求下列代数式的值 反思与感悟 1 关于sin cos 的齐次式 可以通过分子 分母同除以cos 或cos2 转化为关于tan 的式子后再求值 2 假如代数式中不含分母 可以视分母为1 灵活地进行 1 的代换 由1 sin2 cos2 代换后 再同除以cos2 构造出关于tan 的代数式 解答 所以tan 3 解答 2 sin2 2sin cos 1 类型三三角函数式的化简与证明 解答 证明 原等式成立 反思与感悟 1 三角函数式的化简技巧 化切为弦 即把正切函数都化为正 余弦函数 从而减少函数名称 达到化繁为简的目的 对于含有根号的 常把根号里面的部分化成完全平方式 然后去根号达到化简的目的 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 2 证明三角恒等式的过程 实质上是化异为同的过程 证明恒等式常用以下方法 证明一边等于另一边 一般是由繁到简 证明左 右两边等于同一个式子 左 右归一 比较法 即证左边 右边 0或 1 右边 0 证明与已知等式等价的另一个式子成立 从而推出原式成立 解答 解因为 是第二象限角 所以sin 0 cos 0 达标检测 答案 1 2 3 4 5 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 证明 1 2 3 4 5 证明方法一 比较法 作差 1 2 3 4 5 方法二 比较法 作商 规律与方法 1 利用同角三角函数的基本关系式 可以由一个角的一个三角函数值 求出这个角的其他三角函数值 2 利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简 结果要求 1 项数尽量少 2 次数尽量低 3 分母 根式中尽量不含三角函数 4 能求值的尽可能求值 3 在三角函数的变换求值中 已知sin cos sin cos sin cos 中的一个 可以利用方程思想 求出另外两个的值 4 在进行三角函数式的化简或求值时 细心观察题目的特征 灵活 恰当地选用公式 统一角 统一函数 降低次数是三角函数关系式变形的出发点 利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数 要掌握 切化弦 和 弦化切 的方法 5 在化简或恒等式证