高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1课件 新人教A版必修4.ppt

1 1 1任意角 一 二 三 思维辨析 一 角的概念问题思考1 1 初中所学的角是如何定义的 初中学过哪些角 初中学过的角的范围是什么 提示具有公共顶点的两条射线组成的图形 锐角 直角 钝角 平角 周角 0 360 2 在奥运会比赛中 跳水项目是极具观赏性的项目 其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称 比如说 107b 就表示向前翻腾3周半屈体 107c 就是向前翻腾3周半抱膝 第三位数字表示翻腾的周数 若一位跳水运动员做了一个 5253b 动作 你知道这位运动员翻腾的周数吗 怎样度量这种形式的角呢 提示5253b中第3位数是5 说明该运动员翻腾两周半 对这样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广 一 二 三 思维辨析 2 填空 1 角的概念 平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 2 角的分类 按旋转方向可将角分为三类 一 二 三 思维辨析 3 做一做 每周一早晨 光明中学都会在操场上举行升旗仪式 若升旗仪式需要15分钟 则15分钟的时间 钟表的分针走过的角度是 答案 90 一 二 三 思维辨析 二 象限角问题思考1 如果将一个角放到平面直角坐标系中 那么如何区分不同大小 不同范围的角呢 提示固定其顶点和始边的位置 根据其终边的位置来确定角的大小与范围 2 填空 象限角的定义 1 前提 角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 2 结论 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 角的终边在坐标轴上 就说这个角不属于任何一个象限 一 二 三 思维辨析 3 做一做 在平面直角坐标系中 指出下列各角分别是第几象限角 1 30 2 120 3 60 4 225 答案 1 第一象限角 2 第二象限角 3 第四象限角 4 第三象限角 一 二 三 思维辨析 三 终边相同的角问题思考1 在同一平面直角坐标系内作出30 390 330 750 角 观察它们的终边有什么关系 这些角之间相差多少度 提示终边在相同的位置 它们之间相差360 的整数倍 2 填空 一般地 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 s k 360 k z 即任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与周角的整数倍的和 3 做一做 与 40 角终边相同的角的集合是 a k 360 40 k z b k 360 40 k z c k 360 40 k z d k 360 80 k z 答案a 一 二 三 思维辨析 4 终边落在x轴的非负半轴 x轴的非正半轴 x轴 y轴的非负半轴 y轴的非正半轴 y轴 坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为 x x k 360 k z 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为 x x k 360 180 k z 终边落在x轴上的角的集合为 x x k 180 k z 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k z 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k z 终边落在y轴上的角的集合为 x x k 180 90 k z 终边落在坐标轴上的角的集合为 x x k 90 k z 一 二 三 思维辨析 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 第一象限的角都是锐角 2 小于90 的角一定是锐角 3 终边相同的角一定相等 4 第四象限角可以是负角 5 三角形的内角必是第一 二象限的角 6 第二象限的角都是钝角 7 435 是第三象限角 8 若角 是第一象限角 则角是第一 三象限的角 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 任意角的概念及其表示 例1 经过2个小时 钟表的时针和分针转过的角度分别是 a 60 720 b 60 720 c 30 360 d 60 720 解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转 因此转过的角度都是负的 而 360 60 2 360 720 故钟表的时针和分针转过的角度分别是 60 720 答案b 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 确定任意角的方法 1 定方向 明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的 由逆时针方向旋转形成的角为正角 顺时针方向旋转形成的角为负角 2 定大小 根据旋转角度的绝对量确定角的大小 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240 所形成的角是 a 120 b 120 c 240 d 240 解析一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240 所形成的角是 240 故选d 答案d 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 任意角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解 例2 写出与75 角终边相同的角的集合 并求在360 1080 范围内与75 角终边相同的角 分析根据与角 终边相同的角的集合为s k 360 k z 写出与75 角终边相同的角的集合 再取适当的k值 求出360 1080 范围内的角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解与75 角终边相同的角的集合为s k 360 75 k z 当360 1080 时 即360 k 360 75 1080 又k z 所以k 1或k 2 当k 1时 435 当k 2时 795 综上所述 与75 角终边相同且在360 1080 范围内的角为435 角和795 角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 求与已知角 终边相同的角时 要先将这样的角表示成k 360 k z 的形式 然后采用赋值法求解或解不等式 确定k的值 求出满足条件的角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2终边在某条直线上的角的集合 例3 写出终边在如图所示的直线上的角的集合 分析定0 360 范围内终边在所给直线上的两个角 分别写出与两个角终边相同的角的集合 写出两个集合的并集即可 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解 1 在0 360 范围内 终边在直线y 0上的角有两个 即0 和180 又所有与0 角终边相同的角的集合为s1 0 k 360 k z 所有与180 角终边相同的角的集合为s2 180 k 360 k z 于是 终边在直线y 0上的角的集合为s s1 s2 k 180 k z 2 由图形易知 在0 360 范围内 终边在直线y x上的角有两个 即135 和315 因此 终边在直线y x上的角的集合为s 135 k 360 k z 315 k 360 k z 135 k 180 k z 3 终边在直线y x上的角的集合为 45 k 180 k z 结合 2 知所求角的集合为s 45 k 180 k z 135 k 180 k z 45 2k 90 k z 45 2k 1 90 k z 45 k 90 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 求解终边在某条直线上的角的集合的基本原则1 若所求角 的终边在某条射线上 则集合的形式为 k 360 k z 2 若所求角 的终边在某条直线上 则集合的形式为 k 180 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度3区域角的求解 例4 如图所示 写出顶点在原点 终边重合于x轴的非负半轴 终边落在阴影部分内的角的集合 包括边界 分析 1 要注意角的起始边界与终止边界的书写 2 注意角的终边所出现的规律性是每隔180 就会重复出现 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解 1 对于阴影部分 先取 60 75 这一范围 再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为 60 k 360 75 k 360 k z 2 对于阴影部分 先取 60 90 这一范围 再结合其出现的规律性可知集合为 60 k 180 90 k 180 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角 其写法可分为三步 1 借助图形 在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界 2 按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的 360 360 范围内的角 和 3 分别将起始边界 终止边界的对应角 加上360 的整数倍 即可求得区域角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 变式训练2已知角 2018 1 把 改写成k 360 k z 0 360 的形式 并指出它是第几象限角 2 求 使 与 终边相同 且 360 720 解 1 由2018 除以360 得商为5 余数为218 取k 5 218 5 360 218 又 218 是第三象限角 为第三象限角 2 与2018 终边相同的角为k 360 2018 k z 令 360 k 360 2018 720 k z k 6 5 4 将k的值代入k 360 2018 中 得角 的值为 142 218 578 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 象限角及其应用角度1给定一个角判断它是第几象限角 例5 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 作出下列各角 指出它们是第几象限角 并指出在0 360 范围内与其终边相同的角 1 405 2 45 3 495 4 520 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解作出各角的终边如图所示 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 由图可知 1 405 是第一象限角 2 45 是第四象限角 3 495 是第二象限角 4 520 是第三象限角角 1 405 45 360 所以在0 360 范围内 与405 角终边相同的角是45 2 45 315 360 所以在0 360 范围内 与 45 角终边相同的角是315 角 3 495 135 360 所以在0 360 范围内 与495 角终边相同的角是135 角 4 520 200 2 360 所以在0 360 范围内 与 520 角终边相同的角是200 角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 1 作给定的各个角时 可先找出在0 360 范围内与其终边相同的角 然后根据角的表示方式 利用正角逆时针旋转相应的圈数 负角顺时针旋转相应的圈数 在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可 2 判断角 是第几象限角的常用方法为将 写成 k 360 其中k z 在0 360 范围内 的形式 观察角 的终边所在的象限即可 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2对 n n 所在象限的判定 例6 若角 是第二象限角 试确定角2 是第几象限角 分析 解 是第二象限角 90 k 360 180 k 360 k z 则 1 180 2k 360 2 360 2k 360 k z 2 可能是第三象限角 第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 2 由 所在象限 确定所在象限 也可用如下方法判断 1 画出区域 将坐标系每个象限二等分 得到8个区域 2 标号 自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上 如图所示 3 确定区域 找出与角 所在象限标号一致的区域 即为所求 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 案例 开放探究题 已知集合a 30 k 180 90 k 180 k z 集合b 45 k 360 45 k 360 k z 求a b 分析分别作出两集合中角的终边所在的区域 找公共部分 然后写出对应角的集合 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解 30 k 180 90 k 180 k z 当k为偶数 即k 2n n z 时 30 n 360 90 n 360 n z 当k为奇数 即k 2n 1 n z 时 210 n 360 270 n 360 n z 集合a中角的终边在图中阴影 区域内 又集合b中角的终边在图中阴影 区域内 集合a b中角的终边在阴影 和 的公共部分内 a b 30 k 360 45 k 360 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 点评解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素 其方法有 1 将集合中表示角的式子化为同一种形式 这种方法要用到整数分类的有关知识 即分类讨论 2 列举法把集合具体化 3 数形结合 即在平面直角坐标上分别作出这些角 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 对任意角的概念不清导致角的范围写错 典例 写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合 错解一终边为oa的角为k 360 30 k z 终边为ob的角为k 360 150 k z 所以终边在阴影部分内的角的集合为 k 360 30 k 360 150 k z 错解二终边为oa的角为k 360 30 k z 终边为ob的角为k 360 150 k z 所以终边在阴影部分内的角的集合为 k 360 150 k 360 30 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 怎么防范 提示错解一考虑了角的大小 但表示的是终边落在阴影部分以外的角 错解二没有注意到角的大小 写出的集合是空集 正解因为阴影部分含x轴正半轴 所以终边为oa的角为 30 k 360 k z 终边为ob的角为 210 k 360 k z 所以终边在阴影部分内的角的集合为 210 k 360 30 k 360 k z 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 1 用不等式表示区域角的范围时 要注意观察角的集合形式是否能够合并 能合并的一定要合并 2 对于区域角的书写 一定要看其区域是否跨越x轴的正方向 1 2 3 4 5 1 下列叙述正确的是 a 三角形的内角必是第一或第二象限角b 始边相同而终