高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数课件1 新人教A版选修22.ppt

1 3 3函数的最大 小 值与导数 学习目标 理解函数最值的概念 了解函数最值与极值的区别和联系 会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值 最小值 自学导引1 最大值 如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有 则称f x0 为函数在 的最大值 f x f x0 定义域上 2 一般地 如果在区间 a b 上的函数的图象是一条 的曲线 那么f x 必有最大值和最小值 此性质包括两个条件 1 给定函数的区间是 2 函数图象在区间上的每一点必须 函数的最值是比较整个 的函数值得出的 函数的极值是比较 的函数值得到的 连续不断 闭区间 连续不间断 定义域 极值点附近 3 一般地 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的 2 将f x 的各极值与 比较 其中 的一个是最大值 的一个是最小值 端点处的函数值f a f b 极值 最大 最小 要点阐释1 根据定义辨 极 最 1 最值的定义 设函数f x 在区间 a b 上有定义 如果 a b 上有一点x0 使得对 a b 上所有的x 恒有f x f x0 f x f x0 则称函数f x 在 a b 上有最大值 最小值 最大值和最小值统称为最值 x0称为最值点 2 极值的定义 一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比附近所有点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称为极值 特别提示 极值通常是指连续函数在定义域或特定局部范围内的较 极 大值和较 极 小值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小 2 若点x0是可导函数f x 的极值点 则f x0 0 但反过来不一定成立 3 函数的极值不是唯一的 4 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 5 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 2 利用结论 判 与 求 结论1 极值的判别方法 当函数f x 在点x0处连续时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 结论2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤为 1 求f x 在 a b 内的极值点 并计算出其函数值 2 将极值点的函数值与f a f b 进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 结论3 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 则f x 在 a b 上能取到最大值与最小值 若连续函数在闭区间上只有一个极值点 则该极值点一定是函数的最值点 课堂讲练互动 例1 求下列各函数的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 课堂讲练互动 思路探索 先求f x 再令f x 0得到相应的x的值 通过列表 确定出极值点 求极值与端点值 从而比较大小确定最值 解 1 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 2 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 例2 已知函数f x ax3 6ax2 b在区间 1 2 上的最大值是3 最小值是 29 求a b的值 解 f x 3ax2 12ax 3ax x 4 在区间 1 2 上 令f x 0 得x 0 由题知a 0 当a 0时 函数f x 在x 0处取得极大值 比较f 1 f 2 得f 0 f 1 f 2 所以f 0 3 f 2 29 解得a 2 b 3 当a 0时 函数f x 在x 0处取得极小值 且f 0 f 1 f 2 所以f 0 29 f 2 3 解得a 2 b 29 例3 设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时g t g t 的变化情况如下表 对t 0 2 当t 1时 g t max 1 m h t 1 课堂总结1 正确理解函数的极值与最值概念