高中数学 第一章 坐标系 1.1.1 平面直角坐标系与曲线方程课件 北师大版选修44.ppt

第一章坐标系 1平面直角坐标系 1 1平面直角坐标系与曲线方程 一 二 一 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中 对于任意一点 都有唯一的有序实数对 x y 与之对应 反之 对于任意的一个有序实数对 x y 都有唯一的点与之对应 即在平面直角坐标系中 点和有序实数对是一一对应的 一 二 名师点拨1 在平面上建立直角坐标系后 平面上的点与全体有序实数对之间就建立了一一对应关系 即在给定平面直角坐标系的情况下 平面上的任意一点唯一地确定一个有序实数对 反之 任意给定一个有序实数对 它也唯一地确定平面上的一个点 2 两点间的距离公式 在平面直角坐标系内 两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 之间的距离公式为 p1p2 3 中点坐标公式 在平面直角坐标系内 若两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 的中点为m x y 则x 一 二 做一做1点p 1 2 关于点a 1 1 的对称点p 的直角坐标为 a 3 4 b 3 4 c 3 4 d 3 4 解析 设点p 的坐标为 x y 答案 b 一 二 做一做2已知点p 1 2m 3 m 在第三象限 则m的取值范围是 解析 因为第三象限内点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0 一 二 二 平面直角坐标系与曲线方程在平面直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线c上的点的坐标都是方程f x y 0的解 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线c上 那么 方程f x y 0叫作曲线c的方程 曲线c叫作方程f x y 0的曲线 名师点拨求曲线方程一般有以下五个步骤 1 建立适当的平面直角坐标系 并用 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 写出方程f x y 0 4 化简方程f x y 0 必须等价 5 证明以 4 中方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地 方程的变形过程若是等价的 则步骤 5 可以省略 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若曲线c上的点都是方程f x y 0的解 则曲线c是方程f x y 0的曲线 2 以方程x2 y2 4的解为坐标的点都是曲线 在y轴右侧到原点的距离等于2的点的集合 上的点 3 已知等腰三角形abc的底边为ab 且a 1 1 b 3 7 则顶点c的轨迹方程为x 2y 7 0 4 方程 x a 2 y b 2 r2的曲线经过点 1 2 的充要条件是 1 a 2 2 b 2 r2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用坐标系解决几何问题 例1 已知 abcd 求证 ac 2 bd 2 2 ab 2 ad 2 分析 解答本题可以运用坐标方法即解析法 先在 abcd所在的平面内建立平面直角坐标系 设出点a b c d的坐标 再由距离公式完成证明 也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法一 解析法 以a为坐标原点o ab所在的直线为x轴 建立平面直角坐标系xoy 则a 0 0 设b a 0 c b c 则ac的中点e 由对称性知d b a c 所以 ab 2 a2 ad 2 b a 2 c2 ac 2 b2 c2 bd 2 b 2a 2 c2 ac 2 bd 2 4a2 2b2 2c2 4ab 2 2a2 b2 c2 2ab ab 2 ad 2 2a2 b2 c2 2ab 所以 ac 2 bd 2 2 ab 2 ad 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 证法二 向量法 反思感悟建立平面直角坐标系的原则1 如果图形有对称中心 那么可以选对称中心为原点 2 如果图形有对称轴 那么可以选对称轴为坐标轴 3 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在 abc中 ab ac bd ce分别为两腰上的高 求证 bd ce 证明 如图 以bc所在直线为x轴 bc的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 设b a 0 c a 0 a 0 h 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求轨迹方程 例2 设点a是单位圆x2 y2 1上的任意一点 l是过点a与x轴垂直的直线 点d是直线l与x轴的交点 点m在直线l上 且满足 dm m da m 0 且m 1 当点a在单位圆上运动时 记点m的轨迹为曲线c 求曲线c的方程 判断曲线c为何种圆锥曲线 并求其焦点坐标 分析 设出点m的坐标 x y 直接利用条件求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 如图 设m x y a x0 y0 则由 dm m da m 0 且m 1 可得x x0 y m y0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求轨迹的常用方法1 直接法 如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系 即可用求曲线方程的五个步骤直接求解 2 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 那么可根据定义写出轨迹方程 3 代入法 若动点p x y 依赖于另一动点q x1 y1 而动点q x1 y1 又在某已知曲线上 则可先列出关于x y x1 y1的方程组 利用x y表示x1 y1 把x1 y1代入已知曲线方程即为所求 4 参数法 动点p x y 的横纵坐标用一个或几个参数来表示 消去参数即得其轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2在 abc中 若bc的长度为4 中线ad的长度为3 求点a的轨迹方程 解 取b c所在直线为x轴 线段bc的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 则d 0 0 b 2 0 c 2 0 点a的轨迹方程为x2 y2 9 y 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用坐标系解决实际问题 例3 由甲导弹驱逐舰 乙导弹驱逐舰 丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务 对商船进行护航 某日甲舰在乙舰正东6km处 丙舰在乙舰北偏西30 两舰相距4km 某时刻甲舰发现商船的某种求救信号 由于乙 丙两舰比甲舰距离商船远 因此4s后乙 丙两舰才同时发现这一信号 此信号的传播速度为1km s 若甲舰赶赴救援 则行进的方位角应是多少 分析 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置 因此不妨用点a b c表示甲舰 乙舰 丙舰 建立适当的坐标系 求出商船与甲舰的坐标 解决问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 设点a b c p分别表示甲舰 乙舰 丙舰和商船 如图所示 以ab所在直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系 则a 3 0 b 3 0 c 5 2 由题意得 pb pc 则点p在线段bc的垂直平分线上 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 由于点a b c的相对位置一定 解决问题的关键是如何建系 将几何位置量化 根据直线与双曲线方程求解 2 运用坐标法解决实际问题的步骤 建系 设点 列关系式 求解数学结果 回答实际问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知某荒漠上有两个定点a b 它们相距2km 现准备在荒漠上开垦一片以ab为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园 按照规划 围墙总长为8km 1 问 农艺园的最大面积能达到多少 2 该荒漠上有一条水沟l恰好经过点a 且与ab成30 的角 现要对整条水沟进行加固改造 但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造 所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固 问 暂不加固的部分有多长 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 设平行四边形的另两个顶点为c d 由围墙总长为8km 得 ca cb 4 km ab 2 km 由椭圆的定义知 点c的轨迹是以点a b为焦点 长轴长2a 4 焦距2c 2的椭圆 去除落在直线ab上的两点 若以ab所在直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 易知点d也在此椭圆上 要使平行四边形acbd的面积最大 则c d为此椭圆短轴的端点 此时 面积s 2 km2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因忽视曲线方程的意义而致误典例已知两定点a b 且 ab 4 动点m满足 直线ma与mb斜率之积为常数 求点m的轨迹方程 并注明轨迹是什么曲线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 以ab所在直线为x轴 以ab的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系xoy 纠错心得1 在解本题时没有考虑到式子的意义 在中x 2 0 x 2 0 即x 2 没有去掉相应的两个点 2 在利用平面直角坐标系求轨迹问题时 往往会遇到去点或去掉图形的某一部分的情况 做这种题时要认真分析题目条件 求出准确的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知一条直线l和它上方的一个点a 点a到直线l的距离是2 一条曲线也在直线l的上方 它上面的每一点到a的距离减去到直线l的距离的差都是2 建立适当的坐标系 求这条曲线的方程 解 取直线l为x轴 过点a且垂直于直线l的直线为y轴 建立坐标系xoy 设点m x y 是曲线上任意一点 作mb x轴 垂足是点b 曲线在x轴的上方 y 0 根据题意得 ma mb 2 1234 1 已知曲线c的方程为y x 1 x 5 则下列四点在曲线c上的是 答案 d 1234 2 动点p到直线x y 4 0的距离等于它到点m 2 2 的距离 则点p的轨迹是 a 直线b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析