高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题课件 北师大版选修11.ppt

1 1命题 1 理解命题的概念及其构成 会判断一个命题的真假 2 理解四种命题及其关系 掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断 3 体会通过反例判断一个命题真假的方法 会用一个命题的逆否命题来间接证明原命题为真命题的方法 1 命题可以判断真假 用文字或符号表述的语句叫作命题 其中判断为真的语句叫作真命题 判断为假的语句叫作假命题 名师点拨1 并不是任何语句都是命题 只有能判断真假的语句才是命题 2 在数学或其他领域 有一类语句 如 每一个不小于6的偶数都是两个奇素数的和 目前不能判断它的真假 但以后总能确定它的真假 人们把它仍算作命题 3 命题都可以改写成 若p 则q 的形式 其中p叫作命题的条件 q叫作命题的结论 数学中一些命题虽然表面上不是 若p 则q 的形式 但把它的表述适当改变 都可以写成 若p 则q 的形式 同时 一个命题改写成 若p 则q 形式时 改法不一定是唯一的 做一做1 1 下列语句中 不能称为命题的是 a 5 12b x 0c 若a b 则a b 0d 三角形的三条中线交于一点解析 分析各语句能否判断出真假 选项a能判断为假 选项c d能判断为真 而选项b中 在给x赋值之前 不能判断x 0的真假 所以x 0不是命题 答案 b 做一做1 2 有下列命题 关于x的方程mx2 2x 1 0是一元二次方程 抛物线y ax2 2x 1与x轴至少有一个交点 互相包含的两个集合相等 空集是任意集合的真子集 其中真命题有 a 1个b 2个c 3个d 4个解析 命题 中 当m 0时 方程是一元一次方程 命题 中 由题设知a 0 则 4 4a 的值可能为正数 可能为负数 也可能为零 故交点个数可能为0 1 2 命题 为真命题 命题 中 空集不是空集的真子集 答案 a 做一做1 3 判断下列语句是不是命题 并说明理由 1 若x y是有理数 则x y均为有理数 2 一条直线l与平面 的位置关系有平行和相交两种 3 x2 2x 3 0 4 作 a b c 使 a b c abc 5 这是一棵大树 6 抛物线太美了 7 4是集合 1 2 3 中的元素 分析 判断一个语句是否是命题 就是要看是否可以判断它的真假 解 1 是命题 理由 当 x y是有理数 可以判断为假 2 是命题 理由 直线l与平面 的位置关系有三种 平行 相交和在平面内 可以判断为假 3 不是命题 理由 在给x赋值之前 不能判断其真假 4 不是命题 理由 这是一个祈使句 5 不是命题 理由 由于 大树 没有标准 因此不能判断 这是一棵大树 的真假 6 不是命题 理由 这是一个感叹句 7 是命题 理由 由于4 1 2 3 因此 4是集合 1 2 3 中的元素 为假 2 四种命题对 若p 则q 形式的命题中的p和q进行 换位 即交换位置 或 换质 即分别否定 后 可以构成其他三种不同形式的命题 设原命题 若p 则q 则逆命题 将条件和结论 换位 即 若q 则p 否命题 将条件和结论都 换质 即分别否定 逆否命题 将条件和结论 换位 又 换质 即分别否定 且位置互换 名师点拨1 一个命题的四种形式是相对而言的 其中任何一个命题都可以看作原命题 而其他三个命题分别是它的逆命题 否命题和逆否命题 2 对于表面上不是 若p 则q 形式的命题 要写出其他三种命题 应将其改写成 若p 则q 的形式 这样 便于分清原命题的条件和结论 3 当一个命题含有大前提时 要写出其他三种命题 大前提不变 仍作大前提 3 四种命题之间的关系互为逆命题 互为否命题 互为逆否命题都是两个命题之间的关系 四种命题之间的关系如下图 名师点拨下面给出一些常见的关键词及其否定形式 做一做2 写出命题 若x2 4 则x4 否命题 若x2 4 则x 2 逆否命题 若x 2 则x2 4 题型一 题型二 题型三 题型四 命题的判断 例1 判断下列语句是不是命题 若是 判断其真假 1 矩形是平行四边形 2 垂直于同一条直线的两条直线平行吗 3 一个数不是合数就是质数 4 大角所对的边大于小角所对的边 分析 根据命题的定义进行判断 解 1 是真命题 2 是疑问句 没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断 不是命题 3 是假命题 1既不是合数也不是质数 4 是假命题 必须在同一个三角形或全等三角形中才有 大角所对的边大于小角所对的边 题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断一个语句是不是命题 关键在于能否判断其真假 一般地 祈使句如 可得抓紧时间啊 疑问句如 是无理数吗 感叹句如 向英雄致敬 都不是命题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 判断下列语句是不是命题 1 y sinx是三角函数吗 2 空集是任何非空集合的真子集 3 当底数a大于1时 指数函数是增函数 解 1 不是 2 是 3 是 题型一 题型二 题型三 题型四 四种命题之间的关系 例2 分别写出下列命题的逆命题 否命题及逆否命题 1 若 ab 0 则 a b 0 2 若x y 2 则x2 y2 4 3 全等三角形是相似三角形 分析 根据四种命题间的相互关系 写出对应的命题 对于不是 若p 则q 形式的命题 应先改写成 若p 则q 的形式 以便分清原命题的条件和结论 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 否命题 若 ab 0 则 a b 0 逆命题 若 a b 0 则 ab 0 逆否命题 若 a b 0 则 ab 0 2 否命题 若x y4 则x y 2 逆否命题 若x2 y2 4 则x y 2 3 命题改写成 若两个三角形全等 则这两个三角形相似 否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不相似 逆命题 若两个三角形相似 则这两个三角形全等 逆否命题 若两个三角形不相似 则这两个三角形不全等 反思写出一个命题的逆命题 否命题及逆否命题的关键是先正确找出命题的条件和结论 再根据定义来改写命题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 有下列三个命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 对顶角相等 的逆命题 其中真命题的个数是 a 0b 1c 2d 3解析 三个命题都是错误的 故而选a 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 等价命题的应用 例3 判断命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 则a 1 的逆否命题的真假 分析 先分析已知命题 写出逆否命题 再判断真假 先判断原命题的真假 再判断逆否命题的真假 题型一 题型二 题型三 题型四 解 方法一 原命题的逆否命题 已知a x为实数 若a 1 则关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 真假判断过程如下 抛物线y x2 2a 1 x a2 2开口向上 2a 1 2 4 a2 2 4a 7 若a 1 则4a 7 0 抛物线y x2 2a 1 x a2 2与x轴无交点 关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集是空集 故逆否命题为真命题 题型一 题型二 题型三 题型四 方法二 先判断原命题的真假 a x为实数 且关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集不是空集 2a 1 2 4 a2 2 0 4a 7 0 解 原命题为真命题 又原命题的真假与其逆否命题的真假等价 逆否命题为真命题 反思因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性 即互为逆否命题的两个命题的真假具有等价性 所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时 可以通过证明它的逆否命题为真命题 进而间接地证明原命题为真命题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 证明 若a2 4b2 2a 1 0 则a 2b 1 的逆否命题为 若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0 a 2b 1 a2 4b2 2a 1 2b 1 2 4b2 2 2b 1 1 4b2 1 4b 4b2 4b 2 1 0 命题若a 2b 1 则a2 4b2 2a 1 0为真命题 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知 结论正确 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点因不能正确地否定条件或结论而致误 例4 命题 若x21或x1 错因分析 x2 1的否定应为x2 1 1 x 1的否定应为x 1或x 1 正解 若x 1或x 1 则x2 1 1 2 3 4 5 6 1 已知下列语句 你准备考北京大学吗 斜率相同的直线平行 x23 5 5 其中不是命题的是 a b c d 解析 是疑问句 是感叹句 无法判断真假 答案 b 1 2 3 4 5 6 2 有下列四个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 全等三角形的面积相等 的否命题 若q 1 则x2 2x q 0有实根 的逆否命题 不等边三角形的三个内角相等 的逆命题 其中真命题为 a b c d 解析 若三角形不全等 则面积不相等 为假命题 三个内角相等的三角形为不等边三角形 为假命题 而 为真命题 故选c 答案 c 1 2 3 4 5 6 3 设a b是向量 命题 若a b 则 a b 的否命题是 a 若a b 则 a b b 若a b 则 a b c 若 a b 则a bd 若 a b 则a b解析 否命题是把原命题的条件 结论的否定作为条件和结论 这个命题的否命题为 若a b 则 a b 答案 a 1 2 3 4 5 6 4 命题 若a b 则a 1 b 的逆否命题是 a 若a 1 b 则a bb 若a 1bc 若a 1 b 则a bd 若a 1 b 则a b答案 c 1 2 3 4 5 6 5 一个命题与它的逆命题 否命题 逆否命题 这四个命题中 a 真命题的个数一定是奇数b 真命题的个数一定是偶数c 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数d 以上判断均不正确解析 根据四种命题间的相互关系 原命题 与它的 逆否命题 同真假 原命题的 逆命题 与它的 否命题 同真假 故真命题是成对出现的 答案 b 1 2 3 4 5 6 6命题 已知a b为实数 若关于x的