高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 2用二分法求方程的近似解 主题二分法及二分法求函数零点的步骤在一档娱乐节目中 主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 若猜中了 就把物品奖给选手 某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机 选手开始报价 选手说 800 主持人说 高了 选手说 400 主持人说 低了 1 如果是你 你知道接下来该如何竞猜吗 提示 接下来应该猜 600 即区间 400 800 的中点 2 通过这种方法能猜到具体价格吗 提示 可以 通过不断地缩小价格所在的区间 直至猜到手机的价格 3 同样 上节课我们已经知道f x lnx 2x 6的零点在区间 2 3 内 那么如何缩小零点所在区间 2 3 呢 提示 取区间 2 3 的中点x0 2 5 验证f 2 f 2 5 0是否成立 若成立 则函数f x 的零点在区间 2 2 5 内 否则在 2 5 3 内 结论 1 二分法的定义对于在区间 a b 上 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的 逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法 连续不断 f a f b 0 两个端点 2 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点 f a f b 0 c 3 计算f c 若f c 0 则 就是函数的零点 若 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令 此时零点x0 c f a f c 0 a c a c c b 4 判断是否达到精确度 即 a b 则得到零点近似值 否则重复 2 4 a 或b 微思考 1 所有函数的零点都可以用二分法求出吗 提示 不是 例如函数y x 2的零点 就无法用二分法求出 2 当 a b 时 为什么说区间 a b 内的任意实数x都可以作为零点x0的近似值 提示 因为 x x0 a b 所以以x作为零点x0的近似值满足精确度的要求 3 用二分法如何求方程f x g x 在区间 a b 上的近似解 提示 构造 令f x f x g x 定区间 确定区间 a b 使f a f b 0 求解 用二分法求f x 在区间 a b 上的零点的近似值 预习自测 1 下列函数中 不能用二分法求零点的是 解析 选b 观察图象与x轴的交点 若交点附近的函数图象连续且在交点两侧函数值符号相异 则可用二分法求零点 2 用二分法求函数f x 3x x 4的零点时 其参考数据如下 据此数据 可得f x 3x x 4的一个零点的近似值 精确度0 01 为 a 1 55b 1 56c 1 57d 1 58 解析 选b 根据零点存在性定理 可知只有f 1 5562 f 1 5625 0 所以函数的零点必在区间 1 5562 1 5625 那么近似值是1 56 3 已知f x x3 3x 用二分法求方程f x 1的近似解时 在下列哪一个区间内至少有一解 a 3 2 b 0 1 c 2 3 d 1 0 解析 选d 令f x f x 1 x3 3x 1 因为f 1 1 3 3 1 1 0 f 0 1 0 所以f 1 f 0 0 类型一二分法的定义 典例1 1 2017 沧州高一检测 下列函数中不能用二分法求零点近似值的是 a f x 3x 1b f x x3c f x x d f x lnx 2 2017 唐山高一检测 利用计算器 列出自变量和函数值的对应值如下表 那么方程2x x2一定有一个根位于区间 a 0 6 1 0 b 1 4 1 8 c 1 8 2 2 d 2 6 3 0 解题指南 1 根据二分法判断函数零点的条件 即判断函数图象是否穿过x轴 2 根据二分法判断零点的方法 看函数值之差在哪个区间内的符号相反 解析 1 选c 对于选项c而言 令 x 0 得x 0 即函数f x x 存在零点 但当x 0时 f x 0 当x0 所以f x x 的函数值非负 即函数f x x 有零点 但零点两侧函数值同号 所以不能用二分法求零点的近似值 2 选c 判断函数f x 2x x2在各个区间两端点的符号 若满足条件f a f b 0 f 1 0 2 0 1 0 0 故排除a 由于f 1 4 2 639 1 96 0 f 1 8 3 482 3 24 0 故排除b 由于f 1 8 3 482 3 24 0 f 2 2 4 595 4 84 0 故可确定方程2x x2一定有一个根位于区间 1 8 2 2 方法总结 利用二分法求函数零点必须满足的两个条件 1 图象 函数图象在零点附近是连续不断的 2 函数值 函数在该点两侧的函数值符号相反 巩固训练 1 如图所示 下列函数的图象与x轴均有交点 但不能用二分法求交点横坐标的是 2 用二分法求方程f x 0在 1 2 内近似解的过程中得到f 1 0 f 1 25 0 则方程的根所在的区间为 a 1 25 1 5 b 1 1 25 c 1 5 2 d 不能确定 解题指南 1 观察所给函数的图象 根据图象特点判断能否利用二分法求交点横坐标 2 按照二分法判断零点的方法 看函数值在哪个区间内符号相反 解析 1 选a 因a不满足二分法的条件 在零点的两侧函数值都是正值 故应选a 2 选a 由题意知f 1 25 f 1 5 0 所以方程的根在区间 1 25 1 5 内 故选a 补偿训练 已知函数f x 的图象如图 其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为 a 4 4b 3 4c 5 4d 4 3 解析 选d 图象与x轴有4个交点 所以零点的个数为4 左右函数值异号的零点有3个 所以可以用二分法求解的零点个数为3 故选d 类型二用二分法求方程的近似解 典例2 2017 冷水江高一检测 某方程在区间d 2 4 内有一无理根 若用二分法求此根的近似值 要使所得的近似值的精确度达到0 1 则应将区间d等分的次数至少是 解题指南 根据二分法的步骤 逐步判断 直到达到精确度要求 从而得出等分次数 解析 本题考查二分法求方程的近似解 第一次等分 则根在区间 2 3 内或 3 4 内 此时精确度 0 1 不妨设根在 2 3 内 第二次等分 则根在区间 2 2 5 内或 2 5 3 内 此时精确度 0 1 不妨设根在 2 2 5 内 第三次等分 则根在区间 2 2 25 内或 2 25 2 5 内 此时精确度 0 1 不妨设根在 2 2 25 内 第四次等分 则根在区间 2 2 125 内或 2 125 2 25 内 此时精确度 0 1 不妨设根在 2 2 125 内 第五次等分 则根在区间 2 2 0625 内或 2 0625 2 125 内 此时精确度 0 1 满足题目要求 故至少要等分5次 答案 5次 方法总结 利用二分法求方程近似解的过程步骤 巩固训练 用二分法求方程2x3 3x 3 0的一个正实数近似解 精确度0 1 解题指南 构造函数f x 2x3 3x 3 利用零点的存在性定理找出函数f x 的正零点所在的区间 然后利用二分法求该函数的近似零点 即为原方程的近似解 解析 令f x 2x3 3x 3 经计算 f 0 30 f 0 f 1 0 所以方程2x3 3x 3 0在 0 5 1 内有解 如此继续下去 得到方程的正实数根所在的区间 如表 由于 0 6875 0 75 0 0625 0 1 所以0 75可作为方程的一个正实数近似解 拓展类型 二分法的实际应用 典例 2017年1月18日 意大利中部发生4次5级以上地震 地震发生后 停水断电 交通受阻 已知a地到b地的电话线路发生故障 假设线路只有一处发生故障 这是一条10km长的线路 每隔50m有一根电线杆 如何迅速查出故障所在 解题指南 可以参照二分法求函数零点近似值的方法 以减少工作量并节省时间 解析 如图 可首先从中点c开始检查 若ac段正常 则故障在bc段 再从bc段中点d检查 若cd段正常 则故障在bd段 再从bd段中点e检查 如此这般 每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半 经过7次查找 即可将故障范围缩小到50 100m之间 即可迅速找到故障所在 方法总结 1 现实生活中 有很多问题可