高中数学 第三章 概率 3.1 事件与频率 3.1.4 概率的加法公式课件 新人教B版必修3.ppt

3 1 4概率的加法公式 1 掌握互斥事件的概念及概率的加法公式 2 掌握对立事件的概念及概率的加法公式 3 理解互斥事件与对立事件的异同及概率加法公式的使用条件 4 能利用互斥事件与对立事件的概率公式求事件的概率 一般地 如果事件a1 a2 an两两互斥 那么事件 a1 a2 an 发生的概率 等于这n个事件分别发生的概率和 即p a1 a2 an p a1 p a2 p an 做一做1 从1 9这九个数字中任意取两个数 分别有下列事件 恰有一个是奇数和恰有一个是偶数 至少有一个是奇数和两个数都是奇数 至少有一个是奇数和两个数都是偶数 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 以上事件中是互斥事件的是 a b c d 答案 c 互斥事件与对立事件的异同剖析 1 从概念上区别 互斥事件 和 对立事件 都是就两个事件而言的 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件 因此 对立事件必须是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 对立 是所研究的互斥事件中两个事件的非此即彼的关系 对立事件的两个必要条件是 a与b互斥 a与b在一次试验中必有一个发生 2 从集合的角度区别 a和b互斥是指这两个事件所含的结果组成的集合不相交 即a b 也就是没有公共部分的基本事件 易知 必然事件与不可能事件是互斥的 如果事件a1 a2 an中的任何两个都是互斥事件 那么我们就说 事件a1 a2 an彼此互斥 从集合角度看 n个事件彼此互斥 是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交 例如 从一堆产品 其中正品和次品都多于2个 中任取2件 其中 恰有一件次品和恰有两件次品 就是互斥事件 至少一件次品和全是次品 就不是互斥事件 至少有一件次品和全是正品 是对立事件 事件a与事件b对立是指由事件b所含的结果组成的集合 是全集u中由事件a所含的结果组成的集合的补集 即满足条件a b 且a b u 归纳总结互斥事件与对立事件都是两个事件的关系 互斥事件是不可能同时发生的两个事件 而对立事件除要求这两个事件不同时发生外 还要求二者之中必须有一个发生 因此 对立事件是互斥事件 是互斥中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 题型一 题型二 题型三 互斥事件与对立事件的判断 例1 判断下列各对事件是否为互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有1名男生 和 恰有2名男生 2 至少有1名男生 和 至少有1名女生 3 至少有1名男生 和 全是男生 4 至少有1名男生 和 全是女生 分析 判断两个事件是否互斥 就是研究代表两个事件的集合有无公共部分 若有 则一定不互斥 若没有 则一定互斥 互斥是对立的前提 若两个事件互斥 且它们的集合互为补集 则两个事件是对立事件 如果两个事件不是互斥事件 则它们一定不是对立事件 题型一 题型二 题型三 解 1 是互斥事件 但不是对立事件 理由是 所选的2名同学中 恰有1名男生 实质选出的是 1名男生和1名女生 它与 恰有2名男生 不可能同时发生 所以是一对互斥事件 同时 不能保证其中必有一个发生 因为还可能选出 恰有2名女生 因此二者不对立 2 不是互斥事件 也不是对立事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 2名都是男生 两种情况 至少有1名女生 包括 1名女生 1名男生 和 2名都是女生 两种情况 它们共同含有 1名男生 1名女生 能够同时发生 因此不互斥也不对立 题型一 题型二 题型三 3 不是互斥事件 也不是对立事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 2名都是男生 这和 全是男生 能同时发生 因此不互斥也不对立 4 是互斥事件 同时也是对立事件 理由是 至少有1名男生 包括 1名男生 1名女生 和 2名都是男生 两种结果 它和 全是女生 不可能同时发生 且其中必有一个发生 故它们既是互斥的 又是对立的 反思从集合的角度来看 互斥事件就是交集为空集的事件 对立事件不仅交集为空集而且并集为全集 故对立一定互斥 互斥不一定对立 题型一 题型二 题型三 变式训练1 一个人打靶时连续射击两次 事件 至少有一次中靶 的互斥事件是 a 至多有一次中靶b 两次都中靶c 只有一次中靶d 两次都不中靶解析 至少有一次中靶 即 一次中靶或两次中靶 a b c中的事件都有可能与 至少有一次中靶 同时发生 因此不是互斥事件 答案 d 题型一 题型二 题型三 互斥事件 概率加法公式的应用 例2 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表 已知同种血型的人可以输血 o型血可以输给任一种血型的人 ab型血的人可以接受任一种血型的血 其他不同血型的人不能互相输血 小明是b型血 若小明因病需要输血 问 1 任找一个人 其血可以输给小明的概率是多少 2 任找一个人 其血不能输给小明的概率是多少 分析 从事件之间的关系入手 将事件进行分解 用互斥事件的概率加法公式求解 1 题型一 题型二 题型三 解 1 对任一人 其血型为a b ab o型血的事件分别记为a b c d 它们是互斥的 由题意可知p a 0 28 p b 0 29 p c 0 08 p d 0 35 因为b o型血可以输给b型血的人 所以 可以输给b型血的人 为事件b d 根据互斥事件的加法公式 有p b d p b p d 0 29 0 35 0 64 2 由于a ab型血不能输给b型血的人 则 不能输给b型血的人 为事件a c 且p a c p a p c 0 28 0 08 0 36 故任找一人 其血可以输给小明的概率为0 64 其血不能输给小明的概率为0 36 1 题型一 题型二 题型三 反思应用互斥事件的概率加法公式求概率的步骤 1 确定各事件彼此互斥 2 各事件中有一个发生 3 先求出各事件分别发生的概率 再求和 值得注意的是 1 2 两点是公式的使用条件 不符合这两点 是不能运用互斥事件的概率加法公式的 变式训练2 假设向三个相邻的军火库投一个炸弹 炸中第一个军火库的概率为0 025 炸中第二 第三个军火库的概率各为0 1 只要炸中一个 另两个也会发生爆炸 求军火库发生爆炸的概率 解 设事件a b c分别表示炸弹炸中第一 第二 第三个军火库这三个事件 则p a 0 025 p b p c 0 1 又设事件d为 军火库爆炸 则d a b c 其中a b c互斥 故p d p a b c p a p b p c 0 225 1 题型一 题型二 题型三 对立事件的概率公式的应用 例3 一名射手在某次射击训练中 射中10环 9环 8环 7环的概率分别为0 21 0 23 0 25 0 28 计算这个射手在这次射击中 1 射中的环数不低于9环的概率 2 射中的环数低于7环的概率 分析 1 射中的环数不低于9环 即射中10环或9环 因此可用互斥事件的概率加法公式计算 2 射中的环数低于7环 从正面考虑有以下几种情况 射中6环 5环 4环 3环 2环 1环 0环 但由于这些概率都未知 故不能直接求解 可考虑从反面入手 射中的环数低于7环 的反面是 射中的环数大于或等于7环 即 7环 8环 9环 10环 由于这两个事件必有一个发生 故是对立事件 因此 可用对立事件的概率公式计算 1 题型一 题型二 题型三 解 1 设 射中10环 为事件a 射中9环 为事件b 由于在这次射击中 事件a与事件b不可能同时发生 则事件a与事件b是互斥事件 射中的环数不低于9环 的事件为a b 由p a b p a p b 0 21 0 23 0 44 故射中的环数不低于9环的概率为0 44 1 题型一 题型二 题型三 反思若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时 需要分类太多 而其对立面的分类较少或唯一 则可考虑利用对立事件的概率公式 即 正难则反 当所求的事件中含有 至少 至多 等词语时 常用对立事件的概率公式计算 1 1 随堂演练 即时巩固1下列各组事件中 不是互斥事件的是 a 一个射手进行一次射击 命中环数大于8与命中环数小于6b 统计一个班级数学期中考试成绩 平均分数不低于90分与平均分数不高于90分c 播种菜籽100粒 发芽90粒与发芽80粒d 检查某种产品 合格率高于70 与合格率为70 解析 由互斥事件的定义作出判断 a c d项中描述的两个事件都不能同时发生 为互斥事件 b项中当平均分为90分时 描述的两个事件能同时发生 答案 b 2从一批羽毛球产品中任取一个 其质量小于4 8g的概率为0 3 质量小于4 85g的概率为0 32 那么质量在 4 8 4 85 单位 g 范围内的概率是 a 0 62b 0 38c 0 02d 0 68解析 设质量小于4 8g的事件为a 质量小于4 85g的事件为b 质量在 4 8 4 85 g 的事件为c 则a c b 且a c为互斥事件 故p b p a c p a p c 因此 p c p b p a 0 32 0 3 0 02 答案 c 3从装有3个红球和4个白球的口袋 不透明 中任取3个球 除颜色外其他均相同 则事件 取出的3个球中至少有1个红球 的对立事件是 a 取出的3个球中恰有1个红球b 取出的3个球中至多有2个红球c 取出的3个球全是白球d 取出的3个球全是红球解析 取出的3个球中至少有1个红球 与 取出的3个球全是白球 是互斥事件 也是对立事件 答案 c 6某人去外地开会 他乘火车 轮船 汽车 飞机去的概率分别为0 3 0 2 0 1 0 4 1 求他乘火车或乘飞机去的概率 2 求他不乘轮船去的概率 3 如果他乘上面的交通工具去的概率为0 5 请问他有可能是乘何种交通工具去的 解 1 记 他乘火车去 为事件a1 他乘