高考数学 真题分类汇编 圆锥曲线与方程（含解析）.docVIP

圆锥曲线与方程1.（2012浙江高考卷t85分）如图，f1,f2分别是双曲线c：（a,b0）的在左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m。若|mf2|=|f1f2| ，则c的离心率是a. b c. d. 【解析】如图：|ob|b，|o f1|ckpq，kmn直线pq为：y(xc)，两条渐近线为：yx由，得：q(，)；由，得：p(，)直线mn为：y(x)，令y0得：xm又|mf2|f1f2|2c，3cxm，解之得：，即e【答案】b【点评】本题主要考察双曲线的标准方程和简单的几何性质，求离心率一般要先列出关于2.（2012四川高考卷t85分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）a、 b、 c、 d、答案b 解析设抛物线方程为y2=2px(p0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, 点评本题旨在考查抛物线的定义: |mf|=d,(m为抛物线上任意一点，f为抛物线的焦点，d为点m到准线的距离).3.（2012山东高考卷t115分）已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 (a) (b) (c)(d)【答案】d【解析】双曲线的一条渐近线为， 即，抛物线的焦点为，抛物线焦点到渐近线距离为，故而抛物线方程为.【点评】本题考查圆锥曲线的性质，点的直线的距离公式等解析几何知识，属于知识的综合考察.预测明年结合抛物线的概念与性质考查.4.（2012山东高考卷t105分）已知椭圆c：的离心率为，双曲线x-y1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为【答案】d【解析】双曲线x-y1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，于是.椭圆方程为，答案应选d.【点评】本题考察了双曲线与椭圆的基本性质,属于运算能力的考察,求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值5.（2012新课标卷t45分）设是椭圆e：的左、右焦点，p为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则e的离心率为（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】：coffpm【解析】：由题意得（如图所示）， 在直角中， 又，且， 所以，故选c.【点评】：本题考查了圆锥曲线的几何性质离心率的计算，正确把握条件是解题的关键.6.（2012新课标卷t85分）等轴双曲线c的中心在原点，焦点在x轴上，c与抛物线的准线交于a，b两点，则c的实轴长为（a） （b） （c）4 （d）8【答案】：c【解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为，又抛物线的准线方程为. 代入双曲线的方程得，所以， 解得，所以双曲线的实轴长为，故选c.【点评】：本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识，计算相交弦长，确定圆锥曲线的几何性质.7.（2012湖南高考卷t515分）已知双曲线c ：-=1的焦距为10 ，点p （2,1）在c 的渐近线上，则c的方程为a-=1 b.-=1 c.-=1 d.-=1w#ww.zz&step.【答案】a【解析】设双曲线c ：-=1的半焦距为，则.又c 的渐近线为，点p （2,1）在c 的渐近线上，即.又，c的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.8.（2011年四川）在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为a b c d【答案】c【解析】由已知的割线的坐标,设直线方程为，则又9.（2011年陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 a b c d【答案】b10.（2011年山东）已知双曲线的两条渐近线均和圆c:相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为a b c d【答案】a11.（2011年全国新课标）已知直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，为c的实轴长的2倍，c的离心率为（a） （b） （c） 2 （d） 3【答案】b12.（2011年全国大纲）已知抛物线c：的焦点为f，直线与c交于a，b两点则= a b c d【答案】d13.（2011年江西）若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 a（，） b（，0）（0，） c， d（，）（，+）【答案】b14.（2011年湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为a4 b3 c2 d1【答案】c15.（2012四川高考卷t154分）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。答案 解析根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.16.（重庆理15）设圆c位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆c的半径能取到的最大值为_【答案】17.（全国新课标理14）（14） 在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为过点的直线l交c于a，b两点，且的周长为16，那么c的方程为_【答案】18.（2011年安徽）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，19.（2012浙江高考卷t2115分）如图，椭圆c：(ab0)的离心率为，其左焦点到点p(2，1)的距离为不过原点o的直线l与c相交于a，b两点，且线段ab被直线op平分()求椭圆c的方程；() 求abp的面积取最大时直线l的方程【解析】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点p(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆c的方程为：()易得直线op的方程：yx，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，r(x0，y0)其中y0x0a，b在椭圆上，设直线ab的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|ab|点p(2，1)到直线l的距离为：sabpd|ab|m2|，当|m2|，即m3 or m0(舍去)时，(sabp)max此时直线l的方程y【答案】 () ；() y【点评】该题综合考察椭圆的概念标准方程、直线和椭圆（曲线与方程）的，此类问题解决的方法是相通的，注意学习.20.（2012四川高考卷t2112分） 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。 解析（1）设m的坐标为（x,y），显然有x0,.当mba=90时，点m的坐标为（2，, 3）当mba90时；x2.由mba=2mab,有tanmba=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,3）综上可知，轨迹c的方程为3x2-y2-3=0（x1） (ii)由方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设所以解得，m1,且m2设q、r的坐标分别为，由有所以由m1，且m2，有所以的取值范围是点评本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。21.（2012新课标卷t2012分）设抛物线的交点为f，准线为l，a为c上的一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点.（i）若的面积为，求p的值及圆f的方程；（ii）若a，b,f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点m，n距离的比值.【命题意图】：本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离.【点评】：本题考查了抛物线与圆的结合点，并且在第二问中体现了分类讨论的数学思想方法，对学生的深度思维有一定的考查.22.（2012湖南高考卷t2113分） 在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在c2：（x-5）2y2=9外，且对c1上任意一点m，m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值.（）求曲线c1的方程；（）设p(x0,y0)（y03）为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x=4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值.【解析】（）解法1 ：设m的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点m到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（）当点p在直线上运动时，p的坐标为，又，则过p且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得 设过p所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 由得 设四点a,b,c,d的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，当p在直线上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.23.（2012山东高考卷t2113分）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形abcd的面积为8.()求椭圆m的标准方程；() 设直线与椭圆m有两个不同的交点与矩形abcd有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.【解析】(21)(i)矩形abcd面积为8，即由解得：，椭圆m的标准方程是.(ii)，设，则，由得.当过点时，当过点时，.当时，有，其中，由此知当，即时，取得最大值.由对称性，可知若，则当时，取得最大值.当时，由此知，当时，取得最大值.综上可知，当和0时，取得最大值.一是点明本题体现了今年考纲中的哪一点，二是本题对明年高考命题的指导意义.【点评】本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系问题.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理估计明年还会这样考查.24.（2011年江苏）在平面直角坐标系中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k（1）当直线pa平分线段mn，求k的值；（2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；（3）对任意k0，求证：papb本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。解：（1）由题设知，所以线段mn中点的坐标为，由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标 原点，所以（2）直线pa的方程解得于是直线ac的斜率为（3）解法一：将直线pa的方程代入则故直线ab的斜率为其方程为解得.于是直线pb的斜率因此解法二：设.设直线pb，ab的斜率分别为因为c在直线ab上，所以从而因此25.（2011年安徽）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知q，m，p三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设 再设解得 将式代入式，消去，得 又点b在抛物线上，所以，再将式代入，得故所求点p的轨迹方程为26（2011年北京） 已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线i交椭圆g于a，b两点.（i）求椭圆g的焦点坐标和离心率；（ii）将表示为m的函数，并求的最大值.解：（）由已知得所以所以椭圆g的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点a、b的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设a、b两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|ab|=2，所以|ab|的最大值为2.27.（2011年福建）已知直线l：y=x+m，mr。（i）若以点m（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点p，且点p在y轴上，求该圆的方程；（ii）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线c：x2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（i）依题意，点p的坐标为（0，m）因为，所以，解得m=2，即点p的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为（ii）因为直线的方程为所以直线的方程为由（1）当时，直线与抛物线c相切（2）当，那时，直线与抛物线c不相切。综上，当m=1时，直线与抛物线c相切；当时，直线与抛物线c不相切。解法二：（i）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为依题意，所求圆与直线相切于点p（0，m），则解得所以所求圆的方程为（ii）同解法一。28.（2011年广东） 设圆c与两圆中的一个内切，另一个外切。（1）求c的圆心轨迹l的方程;（2）已知点m，且p为l上动点，求的最大值及此时点p的坐标 （1）解：设c的圆心的坐标为，由题设条件知化简得l的方程为 （2）解：过m，f的直线方程为，将其代入l的方程得解得因t1在线段mf外，t2在线段mf内，故，若p不在直线mf上，在中有故只在t1点取得最大值2。29.（2011年湖北） 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。 解：（i）设动点为m，其坐标为， 当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线c的方程为当曲线c的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为，c是圆心在原点的圆；当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线c的方程为c是焦点在x轴上的双曲线。（ii）由（i）知，当m=-1时，c1的方程为当时，c2的两个焦点分别为对于给定的，c1上存在点使得的充要条件是由得由得当或时，存在点n，使s=|m|a2；当或时，不存在满足条件的点n，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在c1上，存在点n，使得当时，在c1上，存在点n，使得当时，在c1上，不存在满足条件的点n。30.（2011年湖南） 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于c1的长半轴长。（）求c1，c2的方程；（）设c2与y轴的焦点为m，过坐标原点o的直线与c2相交于点a,b,直线ma,mb分别与c1相交与d,e（i）证明：mdme;（ii）记mab,mde的面积分别是问：是否存在直线l,使得?请说明理由。解 ：（）由题意知故c1，c2的方程分别为（）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.由得.设是上述方程的两个实根，于是又点m的坐标为（0，1），所以故mamb，即mdme.（ii）设直线ma的斜率为k1，则直线ma的方程为解得则点a的坐标为.又直线mb的斜率为，同理可得点b的坐标为于是由得解得则点d的坐标为又直线me的斜率为，同理可得点e的坐标为于是.因此由题意知，又由点a、b的坐标可知，故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为31.（2011年辽宁） 如图，已知椭圆c1的中心在原点o，长轴左、右端点m，n在x轴上，椭圆c2的短轴为mn，且c1，c2的离心率都为e，直线lmn，l与c1交于两点，与c2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为a，b，c，d（i）设，求与的比值；（ii）当e变化时，是否存在直线l，使得boan，并说明理由解：（i）因为c1，c2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与c1，c2的方程联立，求得 4分当表示a，b的纵坐标，可知 6分 （ii）t=0时的l不符合题意.时，bo/an当且仅当bo的斜率kbo与an的斜率kan相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得bo/an；当时，存在直线l使得bo/an. 12分32.（2011年全国大纲） 已知o为坐标原点，f为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过f且斜率为的直线与c交于a、b两点，点p满足（）证明：点p在c上；（）设点p关于点o的对称点为q，证明：a、p、b、q四点在同一圆上解：（i）f（0，1），的方程为，代入并化简得 设则由题意得所以点p的坐标为经验证，点p的坐标为满足方程故点p在椭圆c上。 （ii）由和题设知， pq的垂直平分线的方程为设ab的中点为m，则，ab的垂直平分线为的方程为由、得的交点为。 故|np|=|na|。又|np|=|nq|，|na|=|nb|，所以|na|=|np|=|nb|=|mq|，由此知a、p、b、q四点在以n为圆心，na为半径的圆上 33.（2011年全国新课标） 在平面直角坐标系xoy中， 已知点a（0，-1），b点在直线上，m点满足，m点的轨迹为曲线c（i）求c的方程；（ii）p为c上动点，为c在点p处的切线，求o点到距离的最小值解：()设m(x，y)，由已知得b(x，-3)，a(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由题意可知（+）=0， 即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲线c的方程式为y=x-2.()设p(x，y)为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x因此直线的方程为，即则o点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2.34.（2011年山东） 已知动直线与椭圆c: 交于p、q两不同点，且opq的面积=,其中o为坐标原点.（）证明和均为定值;（）设线段pq的中点为m，求的最大值；（）椭圆c上是否存在点d,e,g，使得?若存在，判断deg的形状；若不存在，请说明理由.（i）解：（1）当直线的斜率不存在时，p，q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此又因为所以由、得此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即（*）又所以因为点o到直线的距离为所以又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。 （ii）解法一： （1）当直线的斜率存在时，由（i）知因此 （2）当直线的斜率存在时，由（i）知所以 所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|om|pq|的最大值为解法二：因为 所以即当且仅当时等号成立。因此 |om|pq|的最大值为 （iii）椭圆c上不存在三点d，e，g，使得证明：假设存在，由（i）得因此d，e，g只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆c上不存在满足条件的三点d，e，g.35.（2011年陕西） 如图，设p是圆上的动点，点d是p在x轴上的摄影，m为pd上一点，且（）当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被c所截线段的长度解：（）设m的坐标为（x,y）p的坐标为（xp,yp）由已知得p在圆上，即c的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与c的交点为将直线方程代入c的方程，得 即 线段ab的长度为注：求ab长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。36.（2011年上海） 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。 。 。解： 设是线段上一点，则，当时，。 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。 选择， 选择。 选择。37.（2011年四川） 椭圆有两顶点a（-1，0）、b（1