高考数学 真题分类汇编 第二章数列（含解析）新人教版必修5.doc

数列1.（2012重庆高考卷t15分）在等差数列中，则的前5项和= a.7 b.15 c.20 d.25 答案b解析从点评考查等差数列的前n项和公式及性质，属基础题.2.（2012四川高考卷t125分）设函数，是公差为的等差数列，则（ ）a、 b、 c、 d、答案d解析数列an是公差为的等差数列，且 即 得点评本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.3.（2012安徽高考卷t45分）公比为2的等比数列 的各项都是正数，且=16，则（ ）（a）4 （b）5 （c）6 （d）7【答案】b【解析】利用等比数列性质.设等比数列的公比为，则，所以，故.【技巧点拨】等比数列运算是注意整体运算和等比数列的运用，这样可以提高解题效率，同时还应该注意运用选择题的题型特征，广开思路采用多种方法和技巧，快速突破.3（2011年四川）数列的首项为，为等差数列且若，则a0 b3 c8 d11【答案】b【解析】由已知知由叠加法4（2011年四川）已知定义在上的函数满足，当时，设在上的最大值为，且的前项和为，则a3 b c2 d【答案】d【解析】由题意,在上，5（2011年上海）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为a是等比数列。 b或是等比数列。c和均是等比数列。d和均是等比数列，且公比相同。【答案】d6（2011年全国大纲）设为等差数列的前项和，若，公差，则a8 b7 c6 d5【答案】d7（2011年江西） 已知数列的前n项和满足：，且=1那么=a1 b9 c10 d55【答案】a8（2011年福建）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点a,b,c，给出以下判断：abc一定是钝角三角形abc可能是直角三角形abc可能是等腰三角形abc不可能是等腰三角形其中，正确的判断是a b c d【答案】b9.（2012北京高考卷t105分）已知an为等差数列，sn为其前n项和，若a1= ，s2=a3，则a2=_，sn=_.答案1，解析本题考查等差数列的基本计算，难度不大，因为，所以点评等差、等比数列的通项公式、前n项和公式是必须要掌握的内容，并会熟练应用.10（2011年湖南）设是等差数列，的前项和，且，则= 【答案】2511（2011年重庆）在等差数列中，则_【答案】7412（2011年北京）在等比数列an中，a1=，a4=-4，则公比q=_；_。2 【答案】13（2011年安徽）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_.【答案】14.（2012四川高考卷t2012分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。解析取n=1,得 取n=2,得 又-，得 （1）若a2=0, 由知a1=0, (2)若a2, 由得： （2）当a10时,由（i）知，当 , (2+)an-1=s2+sn-1所以，an=所以令所以，数列bn是以为公差，且单调递减的等差数列.则 b1b2b3b7=当n8时，bnb8=所以，n=7时，tn取得最大值，且tn的最大值为t7= 点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.15.（2012湖南高考卷t1912分）已知数列an的各项均为正数，记a（n）=a1+a2+an，b（n）=a2+a3+an+1，c（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， 来&源:中教网%（1） 若a1=1，a2=5，且对任意nn，三个数a（n），b（n），c（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2） 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数a（n），b（n），c（n）组成公比为q的等比数列.【解析】解（）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为，公差为的等差数列.于是（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.（）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nn，三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.16.（2012重庆高考卷t2112分）设数列的前项和满足，其中. （i）求证：是首项为1的等比数列； （ii）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.解析 （）证明：（ii）证明：当n=1或n=2时，易知成立，当时，成立；当时，当时，上面不等式可化为设当时，由已证结论得：综上所述，当当且仅当n=1,2或时等号成立.点评考查数列的通项与前n项和的关系、等比数列的证明，求和公式及不等式的证明，考查学生的运算能力和转化能力，以及对分类讨论思想、函数思想等常用数学思想方法的熟练程度，充分体现了数列的函数性，难度很大，平时复习中不宜过多涉及.17.（2012安徽高考卷t2113分）数列满足：.（i）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；（ii）求的取值范围，使数列是单调递增数列.【解题指导】本题考查数列概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解的能力.【解析】（i）必要条件当时，数列是单调递减数列； 充分条件数列是单调递减数列.得：数列是单调递减数列的充分必要条件是.（ii）由（i）得：.当时，不合题意；当时，.当时，与同号，由，.当时，存在，使与异号.与数列是单调递减数列矛盾，得：当时，数列是单调递增数列.【规律总结】安徽高考理科对数列的考查一般以等差等比数列求通项、求前项和为主要形式，淡化递推公式的运用，有时也结合函数性质、不等式强化综合性，增加难度，运用数学归纳法解题.十分注重推理能力的考察，但推理能力不再是数列递推，而是常用逻辑中的充分必要条件，安徽高考已经不止一次这样考察了，2010年对数列的考查是这样的，今年也是，这一点要引起我们的重视.18（2011年江苏）设部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数km，当整数都成立 （1）设的值； （2）设的通项公式本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当， 即， 从而 所以的值为8。 （2）由题设知，当 ， 两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）且，即成等差数列，从而，故由（*）式知当时，设当，从而由（*）式知故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为19（2011年安徽）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（i）设构成等比数列，其中则 并利用（ii）由题意和（i）中计算结果，知另一方面，利用得所以20（2011年北京）若数列满足，数列为数列，记=（）写出一个满足，且0的数列；（）若，n=2000，证明：e数列是递增数列的充要条件是=2011；（）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的e数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的e数列；如果不存在，说明理由。 解：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的e数列a5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的e的数列a5）（）必要性：因为e数列a5是递增数列，所以.所以a5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2011.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。（）令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在e数列an，使得21（2011年福建） 已知等比数列an的公比q=3，前3项和s3=。（i）求数列an的通项公式；（ii）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。 解：（i）由解得所以（ii）由（i）可知因为函数的最大值为3，所以a=3。因为当时取得最大值，所以又所以函数的解析式为22（2011年广东） 设b0,数列满足a1=b，（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，解： （1）由令，当当时，当 （2）当时，（欲证），当综上所述23（2011年湖北）已知数列的前项和为，且满足：，n*，（）求数列的通项公式；（）若存在n*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的n*，且，是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。（满分13分） 解：（i）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （ii）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（i）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（i）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列。24（2011年辽宁） 已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10（i）求数列an的通项公式；（ii）求数列的前n项和解： （i）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 （ii）设数列，即，所以，当时， 所以 综上，数列 25（2011年全国大纲） 设数列满足且（）求的通项公式；（）设解： （i）由题设 即是公差为1的等差数列。 又 所以 （ii）由（i）得 ， 26（2011年全国新课标） 已知等比数列的各项均为正数，且（i）求数列的通项公式（ii）设，求数列的前n项和解：（）设数列an的公比为q，由得所以由条件可知c0，故由得，所以故数列an的通项式为an=（）故所以数列的前n项和为27（2011年山东） 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前n项和解：（i）当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 （ii）因为所以 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，28（2011年上海） 已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。（1）求；（2）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（3）求数列的通项公式。解： ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。29（2011年四川） 设为非零实数，（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（ii）设，求数列的前n项和解析：（1）因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2）（2）（1）30（2011年天津） 已知数列与满足：， ，且（）求的值；（）设，证明：是等比数列；（iii）设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （i）解：由 可得又（ii）证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.（iii）证明：由（ii）可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意31（2011年浙江）已知公差不为0的等差数列的首项为a（）,设数列的前n项和为，且，成等比数列（1）求数列的通项公式及（2