两点边值问题的差分求解__课程设计.docx

两点边值问题的差分求解摘 要：本文给出了一种二阶微分方程的差分格式，通过 Taylor 级数展开给出其截断误差， 数值例子验证了其误差。 关键词：有限差分方法，两点边值问题，泰勒级数展开1. 引言考虑二阶常微分方程边值问题：最简型：变系型守恒型其中上的连续函数，和为给定的常数。2. 格式推导 网格剖分（区域剖分）取空间步长为，其中N为整数。用直线，将区间分割成网格，网格节点为。 截断误差（Taylor级数展开）在处有：将，在点Taylor展开令，由，得：(6)式+(7)式，得：由此可得：其中表示方括号内的函数在点取值。于是方程（1）可以写成：其中 即为截断误差。 差分格式（差分方程+定解条件）当h是足够小时，是h的二阶无穷小量，舍去可得差分方程：用数值解代替精确解，并给定方程的边值条件，可得如下差分格式： 格式求解可将差分格式改写为矩阵形式：其系数矩阵为：3. 数值实验以如下方程为例：该问题的精确解为：将作N等分，Matlab 程序求出 4 个结点处的精确解和取不同步长所得的数值解如表1所示；表2 给出了这些结点处取不同步长时所得数值解和精确解差的绝对值；表3给出了取不同步长时所得数值解的大误差；图1给出取不同步长时所得数值解的误差曲线图。hx/8/43/8/2/80.5302666780044581.4769078545821052.8904724669013884.670383463077574/160.5575815230009981.5323253912848552.9732612091361384.775437842498060/320.564450501580948 1.5462398306857092.9940125594574964.801716796879448/640.5661702382846571.5497221120376452.9992036080894514.808287196123813表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解0.20.40.60.8/80.0364770267775140.0739753423359200.1104617720891270.140093917887778/160.0091621817809740.0185578056331710.0276730298543760.035039538467291/320.0022932032010240.0046433662323160.0069216795330180.008760584085904/645.734664973148229e-040.0011610848803800.0017306309010630.002190184841539精确解0.5667437047819721.5508831969180263.0009342389905154.810477380965351表2 不同步长下部分节点处数值解的误差的绝对值h/80.153198983646914/160.038238096454454/320.009555226076214/640.002388530748541表3 不同步长时数值解的最大误差图1 取不同步长时所得数值解的误差曲线图4. 结论由表1，表2对比可知，数值解与精确解高度越接近，由图1可知步长对误差的影响，因此我们可以认为本文接近二阶常微分方程的查分格式。参考文献：1 孙志忠. 偏微分方程数值解法M. 北京:科学出版社, 2005.