高中数学 第一章 数列 综合测试 北师大版必修5.doc

第一章 数列 综合测试（时间：120分钟满分：150分）第卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中）1.在等差数列an中，a3=-6,a7=a5+4,则a1等于（）a.-10b.-2c.2d.10答案a解析设公差为d,a7-a5=2d=4,d=2,又a3=a1+2d,-6=a1+4,a1=-10.2.在等比数列an中，a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8等于（）a.1b.-1c.1d.不能确定答案b解析由题意得,a4+a12=-30,a40,a120.a80,又a28=a4a12=1,a8=-1.3.（2011江西理，5）已知数列an的前n项和sn满足：sn+sm=sn+m，且a1=1，那么a10= ()a.1b.9c.10d.55答案a解析本题主要考查数列的求和公式和赋值法.令m=n=1,则s1+s1s2,即a1+a1=a1+a2,所以a2=a1=1；令n=1,m=2,所以s1+s2=s3.即a1+a1+a2=a1+a2+a3,则a3=a1a2=1,故a10=1,故选a.4.在等比数列an中，anan+1,且a2a11=6,a4+a9=5,则等于（）a.6b. c. d. 答案b解析a4a9=a2a11=6,又a4+a9=5,且an180,不合题意.n16.故选c.7.设an是公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+a97=50,则a3+a6+a9+a99的值为（）a.-78b.-82c.-148d.-182答案b解析a1+a4+a7+a97=50,d=-2,a3+a6+a9+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+(a97+2d)=(a1+a4+a7+a97)+332d=50+33(-4)=-82.8.已知等比数列an的前n项和为sn,sn=x3n-1-,则x的值为（）a. b.-c. d.-答案c解析a1=s1=x-,a2=s2-s1=3x-x+=2x,a3=s3-s2=9x-3x+=6x,an为等比数列，a22=a1a3,4x2=6x（x-）,解得x=.9.（2012浙江省金华十校）等差数列an中，sn是an前n项和，已知s6=2,s9=5,则s15=（）a.15b.30c.45d.60答案a s6=2解析解法1：由等差数列的求和公式及 知， s9=56a1+d=2 a1=- ， ，9a1+d=5 d=s15=15a1+d=15.解法2：由等差数列性质知，成等差数列，设其公差为d,则-3d=,d=,s15=15.10.各项都是正数的等比数列an中，a2, a3,a1成等差数列，则的值为（）a.b. c. d. 或答案b解析设an的公比为q,a1+a2=a3,a1+a1q=a1q2,即q2-q-1=0,q=,又an0,q0,q=,=q=.故选b.11.(2011四川理，8)数列an的首项为3，bn为等差数列且bn=an+1-an(nn+).若b3=-2，b10=12,则a8=（）a.0b.3c.8d.11 答案b解析本题主要考查等差数列的性质及累加法求通项，由b3=-2,b10=12，d=2b1=-6,bn=2n-8,bn=an+1-ana8=(a8-a7)+(a7-a6)+(a6-a5)+(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=b7+b6+b5+b4+b3+b2+b1+a1=33.12.(2012杭州模拟)有限数列a:a1,a2,an,sn为其前n项和，定义为a的“凯森和”，若有99项的数列a1,a2,a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，a1,a2,a99的“凯森和”为（）a.1001b.991c.999d.990答案b解析由定义知1000数列1，a1,a2,a99的“凯森和”为=991.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13.已知sn是等比数列an的前n项和，a5=-2,a8=16,则s6等于.答案解析an为等比数列，a8=a5q3,q3=-8,q=-2.又a5=a1q4,a1=-,s6=.14.设sn为等差数列an的前n项和，若s3=3,s6=24,则a9=.答案15解析设等差数列公差为d,则s3=3a1+d=3a1+3d=3,a1+d=1,又s6=6a1+d=6a1+15d=24,即2a1+5d=8.联立两式得a1=-1,d=2,故a9=a1+8d=-1+82=15.15.在等差数列an中，sn为它的前n项和，若a10，s160，s170， 则当n=时，sn最大.答案8 s16=8(a8+a9)0解析 ,s17=17a90a80而a10，数列an是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n=8时，sn最大.16.设an为公比q1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x2-8x+3=0的两根，则a2011a2012.答案18解析a2009和a2010是方程4x2-8x+3=0的两根，故有a2009 a2009 或 (舍)，q=3.a2010= a2010=a2011+a2012=a2010(q+q2)= （332）=18.三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）设等差数列an满足a3=5,a10=-9.（1）求an的通项公式；（2）求an的前n项和sn及使得sn最大的序号n的值. a1+2d=5 a1=9解析(1)由题意得 ,解得 .a1+9d=-9 d=-2an=a1+(n-1)d=9-2(n-1)=11-2n.(2)由（1）知，sn=na1+d=10n-n2=-(n-5) 2+25,当n=5时，sn取最大值.18.（本小题满分12分）(2011重庆文，16)设an是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.()求an的通项公式;()设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和sn.分析（1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式.（2）问用分组求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得sn.解析（1）设等比数列an的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，q=2an=a1qn-1=22n-1=2n（2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.19.(本小题满分12分)已知an是公差不为零的等差数列，a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.（1）求数列an的通项；（2）求数列2an的前n项和sn.解析(1)由题设知公差d0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列，得=,解得d=1或d=0(舍去).故an的通项an=1+(n-1)1=n.(2)由（1）知2an=2n,由等比数列前n项和公式，得sn=2+22+23+2n=2n+1-2.20.（本小题满分12分）(2010山东)已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为sn.（1）求an及sn；（2）令bn= (nn+)，求数列bn的前n项和tn.解析（1）设等差数列an的公差为d, a1+2d=7 a1=3由题意，得 ，解得 .2a1+10d=26 d=2an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1.sn=na1+n(n-1)d=3n+n(n-1)2=n2+2n.(2)由（1）知an=2n+1bn=tn=.21.（本小题满分12分）已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3,数列bn中，b1=1,且点(bn+1,bn)在直线y=x-1上.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式；（3）若cn=an+3,求数列bncn的前n项和sn.解析(1)an+1=2an+3,an+1+3=2(an+3),=2,a1+3=4,an+3是首项为4，公比为2的等比数列，an+3=42n-1=2n+1,an=2n+1-3.(2)(bn+1,bn)在直线y=x-1上，bn=bn+1-1,即bn+1-bn=1,又b1=1,数列bn是首项为1，公差为1的等差数列，bn=n.(3)cn=an+3=2n+1-3+3=2n+1,bncn=n2n+1.sn=122+223+324+n2n+1,2sn=123+224+(n-1)2n+1+n2n+2,两式相减，得-sn=22+23+24+2n+1-n2n+2=2n+2-4-n2n+2,sn=(n-1)2n+2+4.22.（本小题满分14分）如图所示，某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底,（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2009年累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85？分析本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构建等差数列和等比数列，利用等差数列和等比数列中的相关知识求解.解析（1）设中低价房面积构成数列an，由题意知：an是等差数列，其中a1=250,d=50sn=250n+令25n2+225n4750即n2+9n-1900解得n