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4 3定积分的简单应用 2 函数f x x a b 的图像围绕x轴旋转一周 所得到的几何体的体积v 答案 d 做一做2 由y x2 x 0和y 1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的几何体的体积可以表示为 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在题后的括号内画 错误的画 3 曲线y sinx x 0 与x轴围成的平面图形和曲线y cosx x 0 与x轴围成的平面图形面积相等 探究一 探究二 思维辨析 利用定积分求平面图形的面积 例1 计算由直线y x 4 曲线y 以及x轴所围成的图形的面积 分析 先作出草图 由图形的形状确定求面积的方法 探究一 探究二 思维辨析 直线y x 4与x轴的交点为 4 0 因此 所求图形的面积为s s1 s2 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟求由两条曲线所围成图形的面积的步骤 1 画出图形 确定图形的范围 即借助几何直观将所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题 2 确定积分上限和积分下限 即通过解方程组求出交点的横坐标确定积分上限和积分下限 3 确定被积函数 特别要注意分清被积函数的上 下位置 4 写出平面图形的定积分表达式 运用微积分基本定理计算积分 从而求出平面图形的面积 探究一 探究二 思维辨析 答案 a 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 简单的旋转几何体的体积 例2 试求曲线y 和直线x 0 x a y 0围成的图形 如图 绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积 分析 虽然曲线y 形式比较复杂 但由于已给出图形 根据图形可用公式直接求解 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟简单旋转体的体积求解步骤 1 画出旋转前的平面图形和旋转体的图形 2 确定轴截面图形的范围 即求交点坐标 确定积分上限和积分下限 3 确定被积函数 4 确定旋转体体积的积分表达式 5 求出定积分 即旋转体的体积 探究一 探究二 思维辨析 变式训练3求由曲线y 与y x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 探究一 探究二 思维辨析 因不能正确确定积分上 下限而致误 典例 如图 阴影部分是由曲线y y2 x与直线x 2 y 0围成 则其面积为 易错分析 将阴影部分分为两部分 两部分所对应的被积函数是不同的 利用数形结合可较易判断 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得1 要根据图形的特点选择适当的被积函数 如y2 x 要把它变为y 2 要正确确定积分区间 通常将两曲线方程联立方程组得交点坐标 以便于确定积分上 下限 探究一 探究二 思维辨析 变式训练如图所示 求阴影部分的面积 1234 答案 b 1234 2 曲线y x2和y2 x所围成的平面图形 绕x轴旋转一周后 所形成的旋转体的体积为 答案 a 1234 3 曲线y x2 4与直线y 5x x 0 x 4所围成
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