高中数学 325利用向量知识求距离同步检测 新人教B版选修21.doc

3.2第5课时 利用向量知识求距离一、选择题1正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是a1c1的中点，则o到平面abc1d1的距离为()a.b.c.d.答案b解析以、为正交基底建立空间直角坐标系，则a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，平面abc1d1的法向量(1,0,1)，点o到平面abc1d1的距离d.2已知长方体abcda1b1c1d1中，棱a1a5，ab12，那么直线b1c1和平面a1bcd1的距离是()a5b.c. d8答案c解析解法一：b1c1bc，且b1c1平面a1bcd1，bc平面a1bcd1，b1c1平面a1bcd1.从而点b1到平面a1bcd1的距离即为所求过点b1作b1ea1b于e点bc平面a1abb1，且b1e平面a1abb1，bcb1e.又bca1bb，b1e平面a1bcd1，在rta1b1b中，b1e，因此直线b1c1和平面a1bcd1的距离为.解法二：以d为原点，、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则c(0,12,0)，d1(0,0,5)，设b(x,12,0)，b1(x,12,5)(x0)设平面a1bcd1的法向量n(a，b，c)，由n，n得n(a，b，c)(x,0,0)ax0，a0，n(a，b，c)(0，12,5)12b5c0，bc，可取n(0,5,12)，(0,0，5)，b1到平面a1bcd1的距离d.3将锐角为60，边长为a的菱形abcd沿较短的对角线折成60的二面角，则ac与bd间的距离为()a.ab.ac.ad.a答案c解析折起后如图，取bd中点m，则ambd，cmbd，取ac中点n，则bnac，dnac故ac平面bdn，bd平面amc.连结mn则mnac且mnbd，mn即为ac与bd间的距离，可求得mna.4正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则平面ab1d1与平面bdc1的距离为()a.b.c.d.答案d解析以a为原点，ab、ad、aa1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(1,0,0)，d(0,1,0)，c1(1,1,1)，b1(1,0,1)，d1(0,1,1)设平面ab1d1的法向量为n(x，y，z)，则，令z1，则n(1,1，1)，显然n0，n0，n也是平面bdc1的法向量，平面ab1d1平面bdc1，其距离为d.5正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为bb1的中点，则|mn|的长为()a.a b.ac.a d.a答案a解析设a，b，c，则|a|b|c|a，abbcca 0，由条件知，()()()(2ac)(cab)abc，|22(2abc)2(4|a|2|b|2|c|24ab2acbc)，|a.6二面角l等于120，a、b是棱l上两点，ac、bd分别在半平面、内，acl，bdl，且abacbd1，则cd的长等于()a.b.c2d.答案c解析如图二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|222232cos604，|2.7abc中，c90，点p在abc所在平面外，pc17，点p到ac、bc的距离pepf13，则点p到平面abc的距离等于()a7 b8c9 d10答案a解析解决本题的关键在于找点p在平面abc内的射影易知点p在平面abc内的射影在c的角平分线上8已知夹在两平行平面、内的两条斜线段ab8 cm，cd12 cm，ab和cd在内的射影的比为35，则、间的距离为()a.cm b.cmc.cm d.cm答案c解析设、间距离为d，ab、cd在内的射影长分别为3x,5x，由解得d.二、填空题9矩形abcd中，bca30，ac20，pa平面abcd，且pa5，则p到bc的距离为_答案5解析由已知得ab20sin3010，又pa5，pb5.10在正三棱柱abca1b1c1中，所有棱长均为1，则点b1到平面abc1的距离为_答案解析解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a，b(0,1,0)，b1(0,1,1)，c1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面abc1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d.h.11在底面是直角梯形的四棱锥pabcd中，侧棱pa底面abcd，bcad，abc90，paabbc2，ad1，则ad到平面pbc的距离为_答案解析由已知ab，ad，ap两两垂直以a为坐标原点建立空间直角坐标系，a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，p(0,0,2)，(2,0，2)(0,2,0)，设平面pbc的法向量为n(a，b，c)，则，n(1,0,1)，又ab(2,0,0)，d.三、解答题12三棱柱abca1b1c1是各条棱长均为a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点(1)求证：平面ab1d平面abb1a1；(2)求点c到平面ab1d的距离解析(1)证明：取ab1中点m，则，又.2.2()0,2()()|2|20，dmaa1，dmab.dm平面abb1a1.dm平面ab1d，平面ab1d平面abb1a1.(2)解：a1bdm，a1bab1.a1b平面ab1d.是平面ab1d的一个法向量点c到平面ab1d的距离为da.13如图所示，ab和cd是两条异面直线，bd是它们的公垂线，abcda，点m，n分别是bd，ac的中点(1)求证：mnbd；(2)若ab与cd所成的角为60，求mn的长解析(1)证明：由点m，n分别是bd、ac的中点可知，0，()()()，()()，0，0.0，mnbd.(2)证明：()，|2()2(222)a22a2cos60a2a2.所以|a.14如图所示，已知边长为4的正三角形abc中，e、f分别为bc和ac的中点，pa平面abc，且pa2，设平面过pf且与ae平行，求ae与平面间的距离解析设、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取e1，e2，e3作为空间向量的一组基底，易知e1e2e2e3e3e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，设nxe1ye2e3是平面的一个法向量，则n，n，ne1e3直线ae与平面间的距离为d.15如图，在长方体abcda1b1c1d1中，adaa11，ab2，点e在棱ab上移动(1)证明：d1ea1d；(2)当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离；(3)ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为.解析以d为坐标原点，直线da，dc，dd1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设aex，则a1(1,0,1)，d1(0,0,1)，e(1，x,0)，a(1,0,0)，c(0,2,0)(1)因为(1,0,1)(1，x，1)0，所以.(2)因为e为ab的中点，则e(1,1,0)，从而(1,1，1)，(1,2,0)，(1,0,1)，设平面acd1的法向量为n(a，b，c)，