高中数学 1.4数列在日常经济生活中的应用2学案 北师大版必修5.doc

4数列在日常经济生活中的应用思路方法技巧命题方向单利计算问题例1有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：本利和=每期存入金额存期+存期(存期+1)利率.(1)试解释这个本利公式.(2)若每月初存入100元，月利率5.1，到第12月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1，希望到第12个月底取得本利和2000元，那么每月应存入多少金额？分析存款储蓄是单利计息，若存入金额为a，月利率为p，则n个月后的利息是nap.解析(1)设每期存入金额a，每期利率p，存入期数为n，则各期利息之和为ap+2ap+3ap+nap=n(n+1)ap.连同本金，就得：本利和=na+n(n+1)ap=an+n(n+1)p.(2)当a=100,p=5.1,n=12时，本利和=100（12+12135.1）=1239.78(元).(3)将(1)中公式变形得a=161.32(元).即每月应存入161.32元.说明单利的计算问题，是等差数列模型的应用.变式应用1王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(2)若“教育储蓄”存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？（精确到1元）解析（1）设王先生每月存入a元，则有a(1+2.7)+a(1+22.7)+a(1+362.7)=20000,利用等差数列前n项和公式，得a（36+362.7+2.7）=20000,解得a529元.（2）由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入555（元），这样，3年后的本息和为：555(1+2.7)+555(1+22.7)+555(1+362.7)=555（36+362.7+2.7）20978（元）.命题方向复利计算问题例2某人参加工作后，计划参加养老保险.若第一年年末存入p元，第二年年末存入2p元，第n年年末存入np元，年利率为k.问第n+1年年初他可一次性获得养老金（按复利计算本利和）多少元？分析分期存款，应利用“本利和本金(1+利率)”分段计算.第1年年末存入的p元，到第n+1年年初，逐年获得的本利和构成公比为1+k的等比数列，即第一年的本利和为p(1+k) n-1；同理，第2年年末存入2p元，第n年年末存入np元的本利和依次为2p(1+k) n-2,np.解析设此人第n+1年年初一次性获得养老金为sn元，则sn=p(1+k) n-1+2p(1+k) n-2+(n-1)p(1+k) 1+np,把等式两边同时乘以1+k,得(1+k)sn=p(1+k) n+2p(1+k) n-1+(n-1)p(1+k) 2+np(1+k).-，得ksn=p(1+k) n+p(1+k) n-1+p(1+k)-np=-np.所以sn=.故第n+1年年初他可一次性获得养老金为元.说明“复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金.求所有n次的本利和，就转化为求等比数列的前n项和.复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现.复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用.变式应用2某家庭打算在2017年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2011年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到2017年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利率2.50并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？（不考虑利息税）解析设每年年初应存入x万元，那么20112017年年底本利和依次为：a1=1.025x,a2=(1.025+1.0252)x,a3=(1.025+1.0252+1.0253)x,a7=(1.025+1.0252+1.0257)x.若这笔款到2017年年底连本带利共有40万元，则有a7=(1.025+1.0252+1.0257)x=40,运用等比数列的前n项和公式，化简得x=5.171(万元)，所以每年年初大约应存入5.171万元.命题方向数列在分期付款中的应用例3小陆计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？（计算结果精确到1元）分析本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算.10万元在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10元.解析设每年还款x元，则第1次偿还x元，在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)9;第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)8;第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是有105(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+x.由等比数列求和公式，得1051.0410=x,1.0410=(1+0.04) 101.4802.x12330.答：每年约应还12330元.说明解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和.变式应用3某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需40万元，建新厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训需15万元，流动资金需40万元，该厂现有资金125万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元（不记利息仅在每年年底利润中分红），尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？（精确到0.1万元）解析因扩大生产急需的资金共有40+100+60+15+40=255（万元）.已知筹集到资金为125+0.430+0.1180=155(万元)，资金缺口为255-155=100（万元）.设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一共还清本金和利息共计100（1+9%）5万元.第一次还款到第五年年底的本利和为x(1+9%)4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为x(1+9%)3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为x(1+9%)2万元；第四次还款到第五年年底的本利和为x(1+9%)万元；第五次还款（无利息）为x万元.由题意得x+x(1+9%)+x(1+9%)2+x(1+9%)3+x(1+9%)4=100(1+9%)5.即=1001.095,所以x25.7.故该厂每年还款25.7万元.探索延拓创新命题方向数列在日常生活中其他方面的应用例4甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示.甲调查表明：由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答：（1）第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数；（2）到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.（3）哪一年的规模最大？请说明理由.分析审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数（单位：万只），图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数（单位：个）.解析（1）由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是s2=261.2=31.2(万只).(2)第1年总共出产鸡的只数是s1=301=30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是s6=210=20(万只)，由此得出s6s1,这说明规模缩小了.(3)由图可知：每年平均每个养鸡场出产的鸡的只数所满足的数列为an=1+(n-1)0.2=0.2n+0.8(1n6).每年的养鸡场的个数所满足的数列为bn=30-4(n-1)=-4n+34(1n6).第n年出产的鸡的只数满足的数列为sn=anbn= (-2n2+9n+68)=- （n-）+ (1n6).因为nn+,故当n=2时，sn最大，即第2年规模最大.说明依此图像建立等差数列模型，问题就能得到解决.每年的总出产量则要与二次函数联系，n为正整数不能忽略，利用数列与函数的关系解决，是本类问题的特色.名师辨误做答例5某工厂去年的产值为138万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长10%，从今年起计算，第5年这个工厂的产值是多少元？（精确到万元）误解依题意，该