山东省青岛五十八中高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年山东省青岛五十八中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共5*10）1若直线方程，那么直线的倾斜角是（）a30b150c60d1202设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则3直线x+aya=0与直线ax（2a3）y1=0互相垂直，则a的值是（）a2b3或1c2或0d1或04如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）a2+bcd1+5在abc中，ab=2，bc=2.5，abc=120，若使abc绕直线bc旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）abcd6若一个高为4，底面边长为2的正四棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ab16c9d7已知a（1，0）、b（2，1），若点p（x，y）满足x+y+1=0，则|pa|+|pb|的最小值为（）ab2cd8已知ab0，点m（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）al与圆相交bl与圆相切cl与圆相离d不确定9平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：m1n1mn；mnm1n1m1与n1相交m与n相交或重合m1与n1平行m与n平行或重合其中不正确的命题个数是（）a1b2c3d410已知圆（x3）2+（y+5）2=36和点a（2，2）、b（1，2），若点c在圆上且abc的面积为，则满足条件的点c的个数是（）a1b2c3d4二、填空题（5*5）11圆心在原点且被直线3x+4y+15=0截得弦长为3的圆的方程12将长ab=4，宽bc=的矩形abcd，卷成圆柱的侧面，则所得圆柱的体积最大值为13直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆c：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=14三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，则=15关于方程x2+y2+2ax2ay=0表示的圆，下列叙述中关于直线x+y=0对称；其圆心在x轴上；过原点；半径为其中叙述正确的是（要求写出全部正确叙述的序号）三、解答题16分别求适合下列条件的直线方程：（1）经过点p（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点a（1，1）与已知直线l：2x+y6=0相交于b点，且|ab|=517某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积、体积18已知圆m：x2+（y2）2=1，q是x轴上的动点，qa、qb分别切圆m于a，b两点（1）若点q的坐标为（1，0），求切线qa、qb的方程；（2）求四边形qamb的面积的最小值；（3）若，求直线mq的方程19如图，在三棱柱abca1b1c1中（1）若bb1=bc，b1ca1b，证明：平面ab1c平面a1bc1；（2）设d是bc的中点，e是a1c1上的一点，且a1b平面b1de，求的值20若过点a（0，1）和b（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，求实数m的值和这圆的方程21如图，在四棱锥pabcd中，paabcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，点e为棱pc的中点（1）证明bedc；（2）求二面角eabp的值；（3）求直线be与平面pbd所成角的正弦值2014-2015学年山东省青岛五十八中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共5*10）1若直线方程，那么直线的倾斜角是（）a30b150c60d120【考点】直线的倾斜角 【专题】计算题；函数思想；方程思想；直线与圆【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可【解答】解：直线方程，直线的斜率为：，直线的倾斜角为：，则tan=，则=120故选：d【点评】本题考查直线的斜率一直线的倾斜角的关系，基本知识的考查2设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，m，n，则mnb若，m，n，则mnc若mn，m，n，则d若m，mn，n，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【解答】解：选项a，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故a错误；选项b，若，m，n，则mn，或m，n异面，故b错误；选项c，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故c错误；选项d，若m，mn，则n，再由n可得，故d正确故选d【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题3直线x+aya=0与直线ax（2a3）y1=0互相垂直，则a的值是（）a2b3或1c2或0d1或0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【专题】直线与圆【分析】当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直；当a0时，由斜率之积等于1求得a的取值的集合，再把a的取值的集合取并集，即得所求【解答】解析：当a=0时，两直线为x=0或3y=1，则两直线垂直，当a0时，两直线的斜率分别为和，可得，解得a=2，此时两直线垂直，故a的取值为0或2，故选c【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于1，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题4如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）a2+bcd1+【考点】斜二测法画直观图 【专题】计算题；作图题【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，s=（1+1）2=2+故选a【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查5在abc中，ab=2，bc=2.5，abc=120，若使abc绕直线bc旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）abcd【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】空间位置关系与距离【分析】如图，大圆锥的体积减去小圆锥的体积就是旋转体的体积，结合题意计算可得答案【解答】解：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以oa=absin60=，ob=1，所以旋转体的体积： （）2（ocob）= （）2bc=，故选：c【点评】本题考查圆锥的体积，考查空间想象能力，是基础题6若一个高为4，底面边长为2的正四棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）ab16c9d【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】正四棱锥pabcd的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高po1上，记为o，如图求出ao1，oo1，解出球的半径，求出球的表面积【解答】解：正四棱锥pabcd的外接球的球心在它的高po1上，记为o，po=ao=r，po1=4，oo1=4r，在rtao1o中，ao1=，由勾股定理r2=2+（4r）2得r=，球的表面积s=故选：a【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径需具有良好空间形象能力、计算能力7已知a（1，0）、b（2，1），若点p（x，y）满足x+y+1=0，则|pa|+|pb|的最小值为（）ab2cd【考点】点到直线的距离公式 【专题】数形结合；综合法；直线与圆【分析】设a关于直线x+y+1=0的对称点为a（x，y），由对称的知识可知|pa|+|pb|的最小值为ab，求出点的坐标，计算可得【解答】解：设a（1，0）关于直线x+y+1=0的对称点为a（x，y），则，解得，即a（1，2），由对称的知识可知|pa|+|pb|的最小值为ab=故选：c【点评】本题考查点到直线的距离，涉及对称的知识，属基础题8已知ab0，点m（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，直线l的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是（）al与圆相交bl与圆相切cl与圆相离d不确定【考点】点与圆的位置关系 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】由已知条件推导出0a2+b2r2，从而圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离：d=r，由此能判断直线ax+by=r2与该圆的位置关系【解答】解：ab0，点m（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，0a2+b2r2，圆心（0，0）到直线ax+by=r2的距离：d=r，直线ax+by=r2与该圆的位置关系是相离故选：c【点评】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查点到直线的距离公式的运用，比较基础9平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：m1n1mn；mnm1n1m1与n1相交m与n相交或重合m1与n1平行m与n平行或重合其中不正确的命题个数是（）a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】本题考查的知识点判断命题的真假，根据空间中特定的线线关系，分析它们在平面中射影的位置关系，或是由射影的位置关系，分析原直线的位置关系，根据直线的放置特点，逐一进行判断，可以得到正确结论【解答】解：因为一个锐角在一个平面上的投影可以为直角，反之在平面内的射影垂直的两条直线所成的角可以是锐角，故不正确两条垂直的直线在一个平面内的射影可以是两条平行直线，也可以是一条直线和一个点等其他情况，故不正确两条异面直线在同一平面上的射影可以相交，所以射影相交的两条直线可以是异面直线，故不正确两条异面直线在同一平面内的射影也可以平行，所以两直线的射影平行不一定有两直线平行或重合故不正确故选d【点评】投影角度不同，空间中两直线在射影面上的位置关系就有变化，思考问题时应从多方面加以考虑10已知圆（x3）2+（y+5）2=36和点a（2，2）、b（1，2），若点c在圆上且abc的面积为，则满足条件的点c的个数是（）a1b2c3d4【考点】圆的标准方程 【分析】由已知得|ab|=5，c到ab距离是1，直线ab的方程为4x3y2=0，圆心到ab距离d=56，直线ab和圆相交，由此能求出满足条件的点c的个数【解答】解：点a（2，2）、b（1，2），若点c在圆上且abc的面积为，|ab|=5，abc的高h=1，即c到ab距离是1，直线ab的方程为，即4x3y2=0，圆心到ab距离d=56，直线ab和圆相交，过ab做两条距离1的平行线，65=1，一条相切，满足条件的点c的个数有3个故选：c【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用二、填空题（5*5）11圆心在原点且被直线3x+4y+15=0截得弦长为3的圆的方程【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；转化思想；直线与圆【分析】根据已知，利用，求出圆的半径，可得圆的方程【解答】解：圆心到直线3x+4y+15=0的距离d=3，若直线3x+4y+15=0被圆截得弦长l=3，则圆的半径=，故圆的方程为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，难度不大，属于基础题目12将长ab=4，宽bc=的矩形abcd，卷成圆柱的侧面，则所得圆柱的体积最大值为42【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【专题】计算题；分类讨论；分类法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】分类讨论不同情况下，圆柱的体积，综合讨论结果，可得答案【解答】解：若以ab=4为圆柱的高，则圆柱的底面周长为bc=，则圆柱的底面半径r=，此时圆柱的体积v=r2h=2，若以bc=为圆柱的高，则圆柱的底面周长为ab=4，则圆柱的底面半径r=2，此时圆柱的体积v=r2h=42，故圆柱体积的最大值为42，故答案为：42【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆柱的体积公式，分类讨论思想，难度中档13直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆c：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；直线与圆【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即=cos45，由此求得a2+b2的值【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，=cos45=，a2+b2=2，故答案为：2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到=cos45是解题的关键，属于基础题14三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，记三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，则=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】空间位置关系与距离；立体几何【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥pabc中，d，e分别为pb，pc的中点，三棱锥dabe的体积为v1，pabc的体积为v2，a到底面pbc的距离不变，底面bde底面积是pbc面积的=，=故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题15关于方程x2+y2+2ax2ay=0表示的圆，下列叙述中关于直线x+y=0对称；其圆心在x轴上；过原点；半径为其中叙述正确的是（要求写出全部正确叙述的序号）【考点】圆的一般方程 【专题】直线与圆【分析】由已知得圆心坐标为（a，a），半径为r=|，由此能求出结果【解答】解：方程x2+y2+2ax2ay=0表示的圆，圆心坐标为（a，a），半径为r=|，正确，错误故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用三、解答题16分别求适合下列条件的直线方程：（1）经过点p（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）过点a（1，1）与已知直线l：2x+y6=0相交于b点，且|ab|=5【考点】直线的一般式方程；直线的截距式方程 【专题】直线与圆【分析】（1）当直线过原点时，符合题意；当直线不过原点时设方程为+=1，代点求a可得；（2）当直线斜率不存在时，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x1），联立方程组解交点，由距离公式可得k的方程，解方程可得【解答】解：（1）当直线过原点时方程为y=x，即2x3y=0，符合题意；当直线不过原点时设方程为+=1，代入点p（3，2）坐标可得+=1，解得a=5，直线方程为x+y5=0综上可得所求直线方程为：2x3y=0或x+y5=0；（2）当直线斜率不存在时，方程为x=1，与直线l：2x+y6=0相交于b（1，4），由距离公式可得|ab|=5，符合题意；当直线有斜率时，设直线方程为y+1=k（x1），联立方程组可得，解得b（，），由距离公式可得（1）2+（+1）2=25，解得k=，所求直线的方程为y=x，即3x+4y+1=0综上可得所求直线方程为：x=1或3x+4y+1=0【点评】本题考查直线的一般式方程的求解，涉及截距式和分类讨论的思想，属中档题17某几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积、体积【考点】由三视图求面积、体积 【专题】作图题；数形结合；分割补形法；立体几何【分析】由三视图还原原图形，求出各面面积作和得表面积；由原直三棱柱的体积减去所截三棱锥的体积求得几何体的体积【解答】解：由三视图还原原图形如图：该几何体的表面积s=+35=60；该几何体的条件v=【点评】本题考查由三视图求原几何体的表面积和体积，关键是由三视图还原原图形，是中档题18已知圆m：x2+（y2）2=1，q是x轴上的动点，qa、qb分别切圆m于a，b两点（1）若点q的坐标为（1，0），求切线qa、qb的方程；（2）求四边形qamb的面积的最小值；（3）若，求直线mq的方程【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程 【专题】计算题；直线与圆【分析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线qa、qb的方程；（2）求出四边形qamb的面积的表达式，利用|mq|mo|求出面积的最小值；（3）设ab与mq交于点p，通过mpab，mbbq，求出|mp|，求出|mq|，即可求直线mq的方程【解答】解：（1）设过点q的圆m的切线方程为x=my+1，则圆心m到切线的距离为1，或0，切线qa、qb的方程分别为3x+4y3=0和x=1（2）maaq，smaqb=|ma|qa|=（3）设ab与mq交于点p，则mpab，mbbq，在rtmbq中，|mb|2=|mp|mq|，解得|mq|=3设q（x，0），则，直线mq的方程为或【点评】本题考查圆的切线方程的求法，四边形面积的求法，两点间的距离公式的应用，考查转化思想与计算能力19如图，在三棱柱abca1b1c1中（1）若bb1=bc，b1ca1b，证明：平面ab1c平面a1bc1；（2）设d是bc的中点，e是a1c1上的一点，且a1b平面b1de，求的值【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】计算题；证明题【分析】（1）通过证明b1ca1b，b1cbc1，a1bbc1=b，证明bc1平面a1bc1，然后证明平面ab1c平面a1bc1；（2）设d是bc的中点，设b1d交bc1于点f，连接ef，则平面a1bc1平面b1de=ef利用=求出的值【解答】（本题满分14分）解：（1）因为bb1=bc，所以侧面bcc1b1是菱形，所以b1cbc1 又因为b1ca1b，且a1bbc1=b，所以b1c平面a1bc1，又b1c平面ab1c，所以平面ab1c平面a1bc1（2）设b1d交bc1于点f，连接ef，则平面a1bc1平面b1de=ef因为a1b平面b1de，a1b平面a1bc1，所以a1bef 所以=又因为=，所以= 【点评】主要考查直线与平面的位置关系特别是平行与垂直的关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查画图、读图、用图的能力20若过点a（0，1）和b（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，求实数m的值和这圆的方程【考点】直线与圆的位置关系 【专题】直线与圆【分析】设出圆心的坐标，由圆心到a、b及x轴的距离相等列两式a2+（b1）2=b2，（4a）2+（mb）2=b2，消去b后得关于a的方程，然后分二次项系数等于0和二次项系数不等于0时判别式等于0求解m的值，进一步求出a，b的值，则圆的方程可求【解答】解：圆过点a（0，1）和b（4，m），并且与x轴相切，圆心必在ab的垂直平分线上，且圆心到a，b及x轴的距离相等，设圆心为（a，b），则有：a2+（b1）2=b2 （4a）2+（mb）2=b2 联立消去b得：（1m）a28a+m2m+16=0 过点a（0，1）和b（4，m），并且与x轴相切的圆只有一个，方程有唯一解，当1m=0，即m=1时方程有唯一解，把m=1代入，得a=2，把a=2代入，得b=圆的方程为：（x2）2+=；当1m0时，需=（8）24（1m）（m2m+16）=4m38m2+68m