第9讲 1.古希腊三大几何作图难题的非尺规解法.doc

数学名题欣赏第9讲1 . 古希腊三大几何作图难题的非尺规解法公元前四世纪，古希腊的智人学派(也称巧辩学派)提出并研究了三大几何作图问题：立方倍积问题、三等分角问题和化圆为方问题.立方倍积问题: 已知一个立方体. 仅用圆规和直尺, 作一个立方体, 使其体积等于已知立方体的体积的两倍.三等分角问题: 任意给定一个角. 仅用圆规和直尺, 把该角三等份.化圆为方问题: 已知一个圆. 仅用圆规和直尺, 作一个正方形, 使其面积等于已知圆的面积.直到十九世纪, 人们才证明了, 用圆规和直尺不可能解决上述三个几何作图问题. 1837年，旺策尔(PWantzel)证明了立方倍积和三等分角的不可能性. 1882年，林德曼(C. Lindemann)证明了的超越性，从而推断，只用圆规和直尺不能化圆为方.虽然著名数学家克莱茵于1895年已经对三大作图问题作了总结，严格证明了, 仅用尺规绝不可解这些问题，彻底解决了两千多年的悬案，但用其他几何方法还是可以准确地(非测量地)解决这三个问题的. 一 立方倍积问题的丝线解法历史传说 关于立方倍积问题的提出，传说很多. 埃拉托塞尼(Eratosthenes，公元前226年公元前195年)在名著柏拉图一书中写道：太阳神阿波罗向提洛岛的人们宣布, 瘟疫即将流行. 为了摆脱灾难，必须把德里安祭坛的体积扩大，使之变为现在这个立方体祭坛的体积的两倍，而且要求仍然是一个立方体. 工匠们百般努力，百思不得其解，于是去请教柏拉图. 柏拉图提醒大家，神发布这个谕示，并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是以此难题来责难希腊人对数学的忽视和对几何学的冷淡. 埃拉托塞尼是国王托勒密(Ptolemy)之子的家庭教师，他把自己关于立方倍积的工作上报给托勒密国王，引起了国王的重视，并在全国悬赏征解.又有一个传说, 说的是古代一位希腊悲剧诗人, 他描述过一位名叫弥诺斯的匠人为皇族格劳科斯修坟的故事. 弥诺斯说，原来设计的每边都是百尺的立方体坟墓，对于殉葬者众多的皇家而言还嫌太小，皇家要求他把其体积加倍.当时古希腊关于立方倍积的传说满天飞，可见人们对这一问题的重视和兴趣.设是已知立方体的棱长，是所求立方体的棱长，于是, .解法一 希腊数学家梅纳奇马斯(Menaechmus，前375前325)考虑了两条抛物线和的交点. 由于，所以. 于是, 这两个抛物线的交点(非原点)的横坐标即为所求的立方体之棱长. 解法二 笛卡儿(Descartes，15961650)只用上面两条抛物线中的一条就求得了. 事实上，上述两条抛物线的交点满足, 此为中心在、半径为的圆. 此圆过两抛物线的交点，所以为求两抛物线的交点的横坐标，只需求上述圆与两条抛物线之一的交点即可(圆比抛物线容易作出). 解法三 在上述方法中要作抛物线，这件事用尺规不能完成. 下面介绍一种巧妙的“丝线作图法”.1. 作边长为的正三角形，延长到，使得;2. 作直线和;3. 取丝线一条, 在其上标出两点和，使;4. 拉直丝线，使其通过点，且点和分别落在和上. 于是可证: ，即为体积加倍的立方体的棱长. 注 的求法如下. 由上图, , 故. 在中使用余弦定理, 得, 即. 于是得. 故.二 用木工尺三等分任意角木工尺就是图中所示的直角尺. 设尺的拐角内点为, 在和垂直的尺边上取一点, 使等于尺宽. 任意给定一角. 用木工尺作一条与相距为尺宽的平行线. 令尺边上的点落在上, 落在上, 尺边过点, 则沿画出的直线与的夹角等于.事实上, , 于是. 三 用割圆曲线化圆为方割圆曲线是古希腊数学家希庇亚斯为解决化圆为方问题而发明的. 设点是已知圆的圆心, 为一条半径. 把线段绕点顺时针匀速旋转到的位置, 同时, 与平行的直线匀速平移到位置, 且和同时到达. 可以证明, 在运动过程中, 线段和直线始终相交. 它们的交点的轨迹称为割圆曲线(图中的粗实线). 由于此曲线把以为圆心、以为半径的圆切割成两块, 所以该曲线称为割圆曲线. 如图建立坐标系, 设, 则割圆曲线的方程为.于是. 由于我们利用割圆曲线, 所以是已知线段. 于是, 我们可用尺规作出线段和线段, 使得. 于是, 以为一边的正方形的面积等于已知圆的面积. 注1 证明: 在运动过程中, 线段和直线始终相交.设旋转的角速度为, 平移的速度为, 则因和同时到达, 所以. 于是.在时刻, 的纵坐标.的纵坐标今证. 令, 则要证 .当时, ; 当时, . 又在或时, , 所以. 即成立. 所以线段和直线始终相交.注2 由, 得, 所以, 于是割圆曲线的方程为.2 . 捆绑立方体若把橡皮筋套在一个立方体的顶点的近旁， 使此橡皮筋成一个三角形，那么只要一松手，则橡皮筋会向的方向滑过去而脱落. 再看与此立方体的一个面平行的平面, 它截得的正方形若是橡皮筋，我们将它弄成不与立方体的面平行，它仍然会凭它的“收缩成面积最小的特性”而恢复成一个与该立方体的面平行的正方形. 可见, 与立方体的面平行的正方形是稳定的捆绑. 上述这种与立方体的面平行的正方形橡皮筋共三族，每个面上有两族橡皮筋垂直地分布于该面上. 在立方体表面上的每个点处, 都通过两条稳定(最牢靠)捆绑的橡皮筋. 除此之外，是否还可能有牢靠捆绑的橡皮筋呢? 有! 设一个立方体的棱长为. 考虑其表面上的六边形, 并设其六边分别在立方体的六个面上. 若是一条橡皮筋且是稳定的捆绑，则其长度将在弹力作用下变为最短. 考虑立方体的侧面展开图. 由于达到了最短, 故、共线. 于是, 直线与夹角, 六边形的各边与所在面上的一条对角线平行. 这些对角线组成了展开图中的两条平行虚线, 它们是的两个极端位置. 对应在正方体上，这两个极端位置是和. 显然, 六边形的周长为(正方体的一个面的对角线长度的倍). 另外, , , , , , 且是每个角都是的平面六边形, 它所在的平面平行于平面和平面. 稳定的捆绑的位置是可变的, 它所在的平面可以平行于平面而在平面和平面之间平移(但的周长始终保持为常数), 而各边也在自身所在的面内平移且保持平行于同一条对角线. 在平面展开图上, 两条虚线之间的带状区域被缠绕在立方体上(三棱锥以外的各面上). 若把稳定捆绑的六边形的各边延长，则可形成两个中心重合且对应边平行的正三角形, 它们所围成的区域的公共部分的边界即六边形. 一共有四族捆绑六边形，每族所在的平面互相平行，且平行于立方体的三个面上的三条对角线. 这四族捆绑线和开头讲的三族捆绑线（平行于立方体的面）合起来, 共有七族捆绑线. 在立方体的表面上的每一点处, 恰有四条捆绑线通过. 于是, 在立方体的表面上，共编织了四层捆绑线.若要把棉纱绕在一个立方体上且不致使棉纱松脱，则应垂直于立方体的棱缠绕或缠在三棱锥以外的表面上，每圈线与所在的平面平行. 共有七种缠绕方式. 用垂直于棱的方式(三种)缠了两层之后改用平行于等三角形的方式(四种)再缠两层，以后周期性地重复进行，则可缠绕成一个十分别致而结实的线团.3 . 糕点售货员的打包技术 顾客买了一盒点心，要求售货员把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法. 二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形. 要使捆扎最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析. 在展开图上, 仅当、共线时, 封闭折线(尼龙绳)才最短. 设上述八点共线. 则直线可在一定的范围内平移. 图中的两条虚线是的极限位置, 可在这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为、, 则不论在上述范围内的哪个位置, 八边形的周长都是同一值(周长的最小值), 相应的捆扎都是牢固的. 这种别致、最优的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为. 另外, 该方法所用的绳子的长度小于正交十字法所用的绳子的长度. 绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置 绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上 在绳子的一般位置的图示中, 注意且, 且, 且, 且.如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图示如上. 把上述平面展开图中的两条虚线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.4 . 怎样判断一个自然数能否被，和整除？设是自然数, 则(1)可以被(或)整除的个位数可以被(或)整除. 换言之, 可以被(或)整除的个位数是偶数(或和之一).例如, 可以被整除, 但不能被整除. 和可以被整除, 但不能被整除.该方法的意义(实用价值)在于: 不需要实际做除法即可判断一个数能否被或整除, 这比计算和简便. (2)可以被(或)整除的各位数字之和可以被(或)整除.例如, 可被整除, 但不能被整除, 因为可被整除, 但不能被整除. 直接验证：，余.不能被整除, 因为不能被整除. 直接验证: 余.可被整除, 因为可以被整除. 直接验证: .该方法的意义(实用价值)在于: 用较小的计算量即可判断一个数能否被或整除, 这比计算和简便. 以下各方法的用处类此.(3)可以被整除的偶位数字之和与奇位数字之和的差可以被整除.例如，可以被整除，因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.(4)判断能否被(或, )整除的方法方法一 可以被(或, )整除的最后三位数字组成的数和其余各位数字组成的数的差可以被(或, )整除.例如, 可以被整除, 因为可被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断可否被整除时, 先求出, 然后, 对, 再计算, 它可以被整除, 从而也可以被整除, 于是, 可以被整除.方法二 从的个位起, 每位分为一段, (例如, 可以写成), 则能被(或, )整除奇数段数字之和与偶数段数字之和的差可以被(或, )整除.例如, 可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.可以被整除, 因为可以被整除.不能被整除, 因为不能被整除.注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断可以被整除时, 先计算出, 然后, 可以对, 计算, 它可以被整除, 所以也可以被整除, 从而可以被整除.5 . 消九验算法例1 对不对？ 利用下面讲的消九验算法可以简便地加以验证.对乘数，有余. 对乘数, 有余.两个余数的乘积为，余. 对乘积，有余.最后两个余数相同，我们可以基本断定是正确的(事实上, 此计算确实正确).说基本断定是正确的, 而不说肯定正确, 是因为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 显然是错的, 但余, 余, , 余, 余. 最后两个余数相同.由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例2 对不对?余, 余, , 余, 余. 因, 所以断定是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例中的是否正确.对: ,;对: ,;, ;对: ,.最后的两个计算结果相同, 可基本断定正确.道理: 被除所得的余数“”被除所得的余数“”被除所得的余数. 对，和有类似结果.我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!例4 检验例中的是否正确.对: , ;对: , 削去, 得;对: .最后的两个计算结果不同: , 于是可以断定是错的.6 . 素数的故事(1)名不符实的冠名 素数并不素(朴素). 它的定义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大学用Amdabl 1200超级计算机捕捉到一对孪生素数: . 可见素数名不符实.还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(JWilson，17411793)的名字冠名.威尔逊定理 若为自然数，则是素数整除. 事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(EWaring)在1770年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一定理，而且还宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时, 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着想了五分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.” 两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了. 威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数，我们虽然无力算出的值，但却知道被除的余数是. 由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称：“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.” (2)不能实施的素数判别法 从字面上看，威尔逊定理已经明白无误地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜太无情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空间(纸张或计算机内存)来弄清是几! 例如，1876年，法国数学家卢卡斯(ALucas)用手和笔发现了一个位的素数.若用威尔逊定理来判断是否是素数, 就需要计算，以每页书可排个阿拉伯数字计算，可以印成页的书至少本，这比全世界的总藏书量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的!可见，威尔逊定理只有理论价值，它是一个无实施价值的判别法，或者说，它是一个无效的坏算法.我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到. 所谓费马数，是指形如的数，其中. , , , , , . 从到, 容易判定它们都是素数，是亿多的大数，费马当年无力判断是否是素数，他只是大胆地猜想, 一切都是素数. 1732年，欧拉算出，从而否定了费马关于费马数素性的猜想. 1880年，法国数学家卢卡斯算出.1971年，有人对得出素因子分解. 1981年，有人得出的素因子分解. 1980年，有人得出的一个因子是. 1984年，有人得出的一个因子是. 1986年，有人用超级计算机连续运算十天, 得知是合数. 人们至今知道的素费马数还只是, , , , . 这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法. 也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样，本质上就不存在有效算法! (3)素数病毒越来越多 把的小数点删去，就改写成了一个阿拉伯数字的无穷序列. 问：长几的前缀是素数? 例如，与是素数；是第三个素前缀；1979年美国数学家贝利(RBaillie)等人发现上的第四个素前缀. 敢问：还有第五个素前缀吗? 第六个，第七个,呢? 把换成，换成，, , , , , 再问同类问题，又该怎么解答呢? 即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!.问: 当为素数时，是否是素数? 真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解决的问题去研究. (4)重要的问题是落实算术基本定理 算术基本定理告诉我们，任一大于的整数都可以唯一地表成某些素数的乘积，即, 其中, , , 是被唯一确定的素数. 问题是，如何由具体地求出, , , ? 这是一个有重要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一. 假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得中的, , , 的值，那么当是素数时，就是，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数是否为素数(是任意给定的自然数)，无理数(例如)的前缀是否是素数等问题. 这里说的“多项式时间”是指对一个问题，存在一个多项式，是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍数. 在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展. 如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例. 我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使这种算法存在，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!7 . 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使其行迹(所用时间)最短？ 设此砖为长方体. 蚂蚁欲从点