高考数学 321精品系列专题08 圆锥曲线 理 （教师版2）.doc

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题08 圆锥曲线 理 （教师版2）17 (2011黄冈期末)过双曲线(a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为_19. (2011承德期末)双曲线的一个焦点为，顶点为，p是双曲线上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定（ b ） a相交 b相切 c相离 d以上情况都有可能20（2011佛山一检）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为(b)a b c d20（2011福州期末）若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ a ）ab5cd221（2011哈尔滨期末）抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是（ c ）a b c d22（2011哈尔滨期末）双曲线的离心率为2，则的最小值为（ a ）a b c d 24（2011哈尔滨期末）已知是椭圆上一点，两焦点为，点是的内心，连接并延长交于，则的值为（ a ）a b c d25（2011哈尔滨期末）是抛物线的一条焦点弦，若，则的中点到直线的距离为 则= .28、(2011锦州期末)双曲线=1（bn）的两个焦点、，为双曲线上一点，成等比数列，则=_1_ 29（2011金华十二校一联）若，则方程表示的曲线只可能是（ c ）30（2011金华十二校一联）设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为 31(2011南昌期末)设圆的圆心在双曲线的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于2，则( c )a b c d55（2011九江七校二月联考）设抛物线=2x的焦点为f，过点m（，0）的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线相交于c，=2，则与的面积之比=（ d ）a b c d解答题1（2011北京朝阳区期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）. （）求椭圆的方程；xoyqaf2f1 （）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；（）若实数满足，求的取值范围.设，则. 5分所以. =，.由于菱形对角线互相垂直，则. 6分所以.故.因为，所以. 所以即.所以解得. 即.因为，所以.故存在满足题意的点且的取值范围是. 8分（）当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程即. 所以.解得. 又，所以. 13分又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，所以.所以，即所求的取值范围是. 14分2. （2011北京丰台区期末）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点（）若，求直线的方程；（）若与的面积相等，求直线的斜率解：（）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线： 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于所以 ， 得，所以 直线的方程为或 （）因为与的面积相等，所以， 3 （2011北京西城区期末）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（）若，求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.解：（）由题意得，得. 2分结合，解得，.3分所以，椭圆的方程为4分（）由 得. 设.所以，6分依题意，易知，四边形为平行四边形，因为，所以，.11分所以，即. 4（2011巢湖一检）已知直线，椭圆e：（）若不论k取何值，直线与椭圆e恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式；（）当时，直线与椭圆e相交于a、b两点，与y轴交于点m，若,求椭圆e方程解：()直线恒过定点m(0，1)，且直线与椭圆e恒有公共点，点m(0，1)在椭圆e上或其内部，得，解得.(联立方程组，用判别式法也可)当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，. ()由，消去得.设，则，.m(0，1)，由得 . 由得 .将代入得， ，解得(不合题意，舍去).椭圆e的方程为. 5 (2011承德期末)椭圆的方程为，斜率为1的直线与椭圆交于两点.）若椭圆的离心率，直线过点，且，求椭圆的方程；（）直线过椭圆的右焦点f，设向量，若点在椭圆上，求 的取值范围.（）得 ，.=（，）, .点在椭圆上 ，将点坐标代入椭圆方程中得. , ,. 12分6（2011佛山一检）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.（）求椭圆的标准方程；（）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 （）设，其中由已知及点在椭圆上可得， 整理得，其中 当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段； 当时，方程变形为，其中， 当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆 7（2011福州期末）如图，为半圆，ab为半圆直径，o为半圆圆心，且，q为线段od的中点，已知|ab|=4，曲线c过q点，动点p在曲线c上运动且保持|pa|+|pb|的值不变。 （）建立适当的平面直角坐标系，求曲线c的方程；（）过点b的直线与曲线c交于m、n两点，与od所在直线交于e点，若为定值。解：（）以ab、od所在直线分别为x轴、y轴， o为原点，建立平面直角坐标系，动点p在曲线c上运动且保持|pa|+|pb|的值不变且点q在曲线c上,|pa|+|pb|=|qa|+|qb|=2|ab|=4曲线c是为以原点为中心，a、b为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1曲线c的方程为+y2=1 （）证法1：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点b在椭圆c内,故过点b的直线l必与椭圆c相（）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为且点b在椭圆c内,故过点b的直线l必与椭圆c相交显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得 8分 ，又 ，则，同理，由，10分 12分8（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点o，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以om为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设f是椭圆的右焦点，过点f作om的垂线与以om为直径的圆交于点n，求证：线段on的长为定值，并求出这个定值。（2）以om为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径6分因为以om为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 8分所以，解得所求圆的方程为10分（3）方法一：由平几知：直线om：，直线fn：12分由得所以线段on的长为定值。14分方法二、设，则 12分又所以，为定值 14分9（2011哈尔滨期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标以为直径的圆过椭圆的右顶点，且均满足，当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为10(2011湖北八校一联) 已知双曲线的左、右顶点分别为a1、a2，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 （i）求k的取值范围，并求的最小值； （ii）记直线是定值吗？证明你的结论。解： （）与圆相切, 由 , 得 , ,故的取值范围为.由于， 当时，取最小值. 6分（）由已知可得的坐标分别为， ，由，得 ， 为定值. 12分11（2011湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为 （i）判断直线与椭圆e交点的个数； （ii）直线过p点与直线垂直，点m（-1，0）关于直线的对称点为n，直线pn恒过一定点g，求点g的坐标。（2）直线的方程为即6分设关于直线的对称点的坐标为则 解得8分 直线的斜率为从而直线的方程为即从而直线恒过定点12分12. (2011惠州三调)（本题满分14分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，求、的值；若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或9分，解得或10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即12分。解或13分，得的取值范围为14分14分13、(2011锦州期末)（本小题12分） 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.（i）求曲线的方程；（ii）若过定点f（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.【解】（）np为am的垂直平分线，|na|=|nm|.2分又动点n的轨迹是以点c（1，0），a（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 5分曲线e的方程为6分（）当直线gh斜率存在时，设直线gh方程为得设8分，10分又当直线gh斜率不存在，方程为14（2011金华十二校一联）（本题满分15分）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点（i）求椭圆的方程； （ii）证明为定值（为坐标原点）解：（i）由题意，解三角形得，由椭圆定义得，从而又，则，所以椭圆的方程为 （6分）（ii）设交点，联立消去得由韦达定理得 （9分）又直线与圆相切，则有 （11分）从而 （14分）所以，即为定值 （15分）15（2011九江七校二月联考）（本小题满分13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件，得， 解得 .所以椭圆的方程为：.分（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得， 解得或 10分 故不妨取，即直线过点. 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、 （、为切点），能使直线过点.此时，两切线的方程分别为和. 11分抛物线与切线、所围成图形的面积为 . 16. (2011南昌期末)（本小题满分13分）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且.(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求椭圆的方程.（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立得到：即：6分记，则7分由a关于轴的对称点为，得，则直线的方程是：，过点得到： 9分即：所以：11分得到：，所以：12分所以所求椭圆方程为：13分17、 （2011三明三校二月联考）（本题满分14分） 已知椭圆的左、右焦点分别为f1、f2，其中f2也是抛物线的焦点，m是c1与c2在第一象限的交点，且（i）求椭圆c1的方程； （ii）已知菱形abcd的顶点a、c在椭圆c1上，顶点b、d在直线上，求直线ac的方程。解：（i）设由抛物线定义，3分， m点c1上，舍去.椭圆c1的方程为6分（ii）为菱形，设直线ac的方程为 在椭圆c1上，18. （2011泰安高三期末）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（）求椭圆的方程；（）设直线l：y=kx+m(k0，m0)与椭圆交于p，q两点，且以pq为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：opq面积的最大值及此时直线l的方程.解：（）e= c= a b2=a2-c2= a2故所求椭圆为：又椭圆过点（） a2 =4. b2 =1 ()设p（x1,y1）, q（x2,y2）,pq的中点为（x0,y0）将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0=分）当的面积取最大值1，此时k= 直线方程为y= omnf2f1yx（第18题）19. （2011苏北四市二调）（本小题满分16分）如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论解：（1），且过点， 解得 椭圆方程为。 设点 则， 又， 的最小值为 圆心的坐标为，半径.圆的方程为， ofxyp第22题整理得：. ， 令，得，. 圆过定点.20 （2011苏北四市二调）（本小题满分10分）已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.【一年原创】 原创试题及其解析一、选择题：1已知的顶点b、c在椭圆上，顶点a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc 边上，则的周长是（ c ）. a. b. 6 c. d. 12 2.已知双曲线的一条准线方程为，则该双曲线的离心率为（ d ）a b c d 3抛物线y=2x2的焦点坐标为（ d ）a（，0） b（，0） c（0，） d （0，）4已知双曲线中心在原点且一个焦点为,点位于该双曲线上，线段的中点坐标为，则双曲线的方程为 a b c d 5抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则的值是 a. b. c. d. .【解析】的右准线为，所以抛物线的开口向左， 6已知双曲线(a 0,b 0).它的两条渐近线截直线所得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（ c）a. b. c. 2 d 37.已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，为右准线上任意一点，则为（ a ）锐角直角钝角都有可能8. 设f是抛物线的焦点，与抛物线相切于点(-4,-4)的直线l与x轴的交点为q,则等于（ d ）a.300; b.450; c.600; d.900.9、椭圆=1上一点p与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为 （ c）a.20 b.22 c.24 d.2810、设e1.e2分别为具有公共焦点f1与f2的椭圆和双曲线的离心率，p为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为(c )a. b. 1c. 2d. 4二、填空题：11.来以椭圆的右焦点为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为 12设是双曲线的两个焦点，点p在双曲线上，且，则的值等于 2 ；13双曲线上一点p到右焦点的距离是实轴两端点到右焦源点距离的等差中项，则p点到左焦点的距离为 【答案】13【解析】由得设左焦点为，右焦点为,则，由双曲线的定义得：.14设f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为（6，4），则|pm|pf1|的最大值为 .15解析：|pf1| pf2|10，|pf1|10| pf2|，|pm|pf1|10|pm| pf2|易知m点在椭圆外，连结mf2并延长交椭圆于p点，此时|pm| pf2|取最大值|mf2|，故|pm|pf1|的最大值为10|mf2|.15.已知函数的图象恒过定点a. 若点a在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，当有最小值时，椭圆的离心率为 .，所以椭圆的离心率为=。三、解答题：16（本小题满分13分）若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段. （1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线交椭圆于不同两点、，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程. 解（1）由题意知，2分，3分5分（2）设直线,，即7分由（1）知，椭圆方程为当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为或12分又当时，由得椭圆方程为14分17. (本小题满分12分) 已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.解：设直线与椭圆的交点坐标为.（1）把代入可得：， （2分）则，当且仅当时取等号 （4分）（2）由得，（6分）所以 （3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.18. (本小题满分12分) 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）由， ，得，所以椭圆方程是：（2）设ef：（）代入，得，（3）将代入，得（*）记，pq为直径的圆过，则，即，又，得解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件19已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得，所以，故，所以椭圆的方程为（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即，又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，即，也就是，令，可得或2，故圆必过定点和（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆c直径的两端点直接写出圆的方程）20在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。 a b q o m n x y 9（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。（1）依题意，椭圆过点，故，解得。椭圆的方程为。（2）设，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，故点的坐标为。同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，设，则，。可得点的坐标为。若时，直线的方程为，与轴交于点；若，直线的方程为，令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。（14分）证明：设，则， p o m n x y 直线的方程为，代入，得，可求得。（16分）直线的方程为，令，得，即直线必过定点。21 (本小题满分13分) 如图，已知过的动直线与抛物线交于，两点，点（i）证明：直线与直线的斜率乘积恒为定值；（ii）以为底边的等腰三角形有几个？请说明理由，所以的中点坐标为，由已知得，即设，则，在上是增函数，又，故在内有一个零点，函数有且只有一个零点，即方程有唯一实根所以满足条件的等腰三角形有且只有一个【考点预测】 2013高考预测本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：1考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度； 4对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。3重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视.【母题特供】每个专题5道最典型试题母题一： 金题引路：已知