“浅议四步骤程式法提高学生数学解题能力”.doc

浅议利用“四步骤程式法”提高学生数学解题能力王建武（甘肃省白银市实验中学，甘肃 白银 730900）摘要：笔者结合罗增儒教授的解题理论和新课程中新增的算法思想，从简单模仿、变式练习、自发领悟和自觉分析等四个方面依次入手，结合例题，展示了“四步骤程式法”提高学生数学解题能力的操作过程。关键词：算法思想；四步骤程式法；解题能力美国数学家哈尔莫斯认为，问题是数学的心脏。数学的发展就是依托于一个个数学问题的解决而实现的，一些形式简洁美妙但蕴含道理深邃的数学问题，一直以来引领着数学向纵深方向的发展，我们耳熟能详的经典数学问题如 “费马大定理”、“哥德巴赫猜想”等都曾一度甚至仍然困扰着数学家的思考。可以这样说：“数学的真正组成部分是问题和解”。 对高中生而言，所谓的数学问题则显得更直接具体，就是表现为一个个具体的数学题目或是与实际结合的实践问题。培养学生的解题能力是高中数学教学的一项重要任务，通过考察学生的问题解决能力，从而有效地评价一个学生对数学基本知识、基本解题方法、基本思想的理解与掌握，是学生评价的最重要、最有效手段。陕西师范大学罗增儒教授在他的著作数学解题学引论一书中提到，“回顾从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师的30年），我们看到了一条清晰的学解题线路：由简单模仿、变式训练开始，经过长期的自发领悟，已经进入到自觉分析的阶段，我们将其作为一个中国解题者的学习案例，或一个中国学习者的解体案例总结为学会解题的四步骤程式”。“算法是数学内容以及数学思想方法的重要组成部分，也是计算机应用的重要基础，在信息技术高度发达的现代社会，算法思想应该是公民具备的科学素养之一。作为新课程标准增加的新内容，在中学数学课程的学习中，要让学生体会和应用算法思想”。 “中学数学中有许多问题在解决思路和方法上具有很强的共性，并且其解题过程的步骤性也很明显。我们可以将这些问题归类，将解题过程有条理性的表达出来，当遇到同类问题时能够立刻套用，提高问题解决速度。”结合算法思想和罗教授提出的“四步骤程式法”，在教学实践中，通过反复操作和不断调整，总结出一套训练解题能力的有效方法。其基本操作流程分简单模仿、变式练习、自发领悟和自觉分析四步，下面结合直线与圆锥曲线相交形成图形面积的最值问题来论述四步程序法的具体操作过程。一、简单模仿“模仿是学习的开始”。学生通过观察教师或教科书提供的一些例题的解答过程，模仿解决同类型、低难度的题目，此时要着重加强学生解题过程的规范性，以及引导学生尝试自主总结题目具体考察了哪些知识点，简单模仿是数学解题能力训练的开始。例1、 直线与椭圆相交于两点，到直线的距离为 ，求面积的最大值。简解如下：解：分弦所在直线是否垂直与轴讨论。A（1）当轴时，；（2）当与轴不垂直时，设所在直线方程为，B直线与圆锥曲线方程联立得，则有，当且仅当时等号成立。所以，三角形面积的最大值为。接着可以用适量的同类题目练习，使得学生对于解决此类问题有直观感受。同时注意题目的细节变化，顺势由简单模仿导入下一环节。教学过程中要引导学生初步体会解题的基本步骤，并利用算法思想进行初步总结。二、变式练习“变式练习是在简单模仿的基础上迈出的主动实践的一步”，通过做数量足够、形势变化的的习题，进行操作性练习与初步应用。其作用首先是通过变换方式和添加次数来巩固记忆、熟练技能，其次是通过必要的实践来积累理解所需的经验和体会。在此阶段题目可做适度变化，难度也需有所提高。使得学生可以通过变化的条件总结同类题目的共性，凝练方法。例2在例1的基础上做了调整，求面积的图形由三角形变为四边形，增加了问题的难度。NMPQ例2、椭圆上有四点，为椭圆在轴正半轴的焦点，已知三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最值。解：（1） 当，不是两坐标轴时，设直线方程为；则的直线方程为。PQ直线方程与椭圆方程联立得：，有，同理有，则，得，当且仅当时取最小值。（2）当为坐标轴时，。所以，。题目的主干信息大致不变，难度加大，使学生对变化的条件学会把握，并体会到虽然条件变化了，难度加大了，但问题的本质仍然保持不变，则求解方法大同小异，教学过程中引导学生体会万变不离其宗的解题基本套路。三、自发领悟“即在模仿法练习与干扰性练习的基础上产生理解解题知识的内化”，形成一些主动地、浅显的认识与经验，慢慢体会同类问题的共性与各自的不同特点。由于两个步骤已经做了大量的变式练习，学生在老师的引导下一对该类问题的解答通法有了直观印象，接着要做的工作便是运用算法思想自己总结套路，摸索解法。此步骤题目仍可稍做变型，力图在老师的有效引导下由学生自主探索。例3、已知椭圆的左焦点分别为，过的直线交椭圆与两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为，求四边形面积的最小值。分析：设直线的斜率为。联立方程利用韦达定理有，下面利用均值不等式求最值。（略）四、自觉分析“对解题过程进行自觉反思，使理解进入深层结构”，利用第三步已经形成的基本感性经验，在此基础上自觉分析，总结问题的一般模型，解决此类问题的一般思路与步骤，进而升华为一种基于固定的解题模式。这时学生对此类问题的认识已到了理性分析的阶段，解答问题的过程中是利用已有的程式进行有效分析，而不是瞎撞。同时，问题的编排仍要适度拔高难度，增加分析过程中的思维量，使学生能够体会到即使同类的数学问题仍然有各自的特点，但同时又万变不离其宗，是一种辩证的统一。教学中要利用算法思想，不断适时的总结和调整此类问题的一般解题套路：联立方程 将面积表示为函数关系 面积最值问题化归为函数值域问题 求函数值域。F2F1PQ例4、椭圆方程为，直线过椭圆右焦点交椭圆于两点，求三角形的最大值。分析：此题若设直线方程为，则联立方程难以计算，而且化归最后得到的函数形式最值比较难求。故将直线方程设为，与椭圆方程联立得，显然，则由，换元令，求得。例5、椭圆方程为，直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值。法一：以为两三角形底边，高分别为到的距离和E到ABEF的距离。则，当且仅当时取最值。 此法的主要困难在于 两个三角形的高不易求得。于是转换思路为分别以为底构造三角形。法二：“四步骤程式法“操作的关键在于教师在备课中要大量研究习题，找出共同点，总结凝练出重要题型，再按照上述要求将题目由易到难整理顺序。在操作过程中则要注意教师的主导作用，教师要引导学生自己感触、领悟、最后到总结分析，最后凝练出同类问题解决的一般套路和模式。参考文献罗增儒. 数学解题学引论M.西安：陕西师范大学出版社，2009罗增儒. 解题分析，应该有“第二过程”的