2015届高考理科数学一轮-第九章-计数原理、概率复习题及答案解析9.9离散型随机变量的均值与方差.doc

第9课时离散型随机变量的均值与方差、正态分布1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题3了解正态分布曲线的特点及正态分布的规律应用对应学生用书P188【梳理自测】一、离散型随机变量的均值与方差1已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A.B4C1 D12设随机变量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，则()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.453篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分的期望是()A0.2 B0.8C1 D04若随机变量的分布列如下表，则E()的值为_012345P2x3x7x2x3xx答案：1.A2.A3.B4.以上题目主要考查了以下内容：(一)离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称D(X)xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差(二)均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)(三)两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)二、正态分布、正态曲线1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)e，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A10与8 B10与2C8与10 D2与102若XN(0,1)，且P(X1.54)0.938 2，则P(|X|1.54)_.答案：1.B2.0.876 4以上题目主要考查了以下内容：(一)正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示(二)正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作XN(，2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.【指点迷津】1一个原则3原则(1)服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，简称为3原则(2)正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生2两个防范在记忆D(aXb)a2D(X)时要注意：(1)D(aXb)aD(X)b，(2)D(aXb)aD(X)3三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)n.4三个概率(1)P(X)0.682 6.(2)P(2X2)0.954 4.(3)P(3X3)0.997 4.适合于任意的正态分布5六条性质(1)E(C)C(C为常数)；(2)E(aXb)aE(X)b(a，b为常数)；(3)E(X1X2)EX1EX2；(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)E(X2)；(5)D(X)E(X2)(E(X)2；(6)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数)对应学生用书P189考向一求离散型随机变量的分布列(2014云南省昆明市调研)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：)t2222t282832天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t(单位：)t2222t282832日销售额x(单位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32时，求日销售额不低于5千元的概率【审题视点】根据频率估计天数Z及Y，再利用频率作为概率写分布列，根据分布列由条件概率计算不低于5千元的概率【典例精讲】(1)由已知得：P(t32)0.9，P(t32)1P(t32)0.1，Z300.13，Y30(6123)9.(2)P(t22)0.2，P(22t28)0.4，P(28t32)0.3，P(t32)0.1，六月份西瓜日销售额X的分布列为X2568P0.20.40.30.1E(X)20.250.460.380.15，D(X)(25)20.2(55)20.4(65)20.3(85)20.13.(3)P(t32)0.9，P(22t32)0.40.30.7，由条件概率得：P(X5|t32)P(22t32|t32).【类题通法】(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解1设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和数学期望解析：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2；Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依题意，有P(A1)2，P(A2)，P(B0)，P(B1)2.故所求的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2).(2)由题意知X的可能值为0,1,2,3，故有P(X0)()3，P(X1)C()2，P(X2)C()2，P(X3)()3.从而，X的分布列为X0123P数学期望E(X)0123.或E(X)3.考向二均值与方差的实际应用(2012高考福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11x2x20x2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由【审题视点】根据古典概型求概率，写分布列，并比较期望值来确定生产方案【典例精讲】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A).(2)依题意得，X1的分布列为X1123PX2的分布列为X21.82.9P(3)由(2)得E(X1)1232.86(万元)，E(X2)1.82.92.79(万元)因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车【类题通法】(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定2(2014贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料解析：E(X)80.290.6100.29，D(X)(89)20.2(99)20.6(109)20.20.4；E(Y)80.490.2100.49；D(Y)(89)20.4(99)20.2(109)20.40.8.由此可知，E(X)E(Y)9，D(X)D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料考向三正态分布在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分(1)试求考试成绩位于区间(80,120内的概率(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数【审题视点】100，10，区间80,120，即2X2，区间90,110，即X.【典例精讲】(1)由N(100,100)知100，10.P(80120)P(1002010020)0.954 4，即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954 4.(2)P(90110)P(1001010010)0.682 6，P(110)(10.682 6)0.158 7，P(90)0.682 60.158 70.841 3.及格人数为2 0000.841 31 683(人)【类题通法】关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相同P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa)3(2014安徽怀远期末)在正态分布N中，数值落在(，1)(1，)内的概率为()A0.097B0.046C0.03 D0.002 6解析：选D.0，P(x1或x1)1P(1x1)1P(3x3)10.997 40.002 6.对应学生用书P191 (2013高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【审题视点】根据互斥事件的概率公式及分布列的性质、数学期望公式及方差的意义求解【思维流程】设出事件符号，求其概率用符号表示事件“此人到达当日空气质量重度污染”的关系，求其概率列举X可能值，并计算各个概率写分布列并计算EX.观察图示，指明方差最大的三天【解答过程】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij).1分(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).4分(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).10分所以X的分布列为：X012P11分故X的数学期望EX012.12分(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.13分【规范建议】(1)为了使解答过程简明有条理，便于叙述，应把所涉及的事件用符号及运算关系来表示(2)求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能的值列举出来，逐个求对应的概率；可利用分布列的性质求其中一个较复杂的概率(如本题的P(X0)(3)“连续三天，指数方差”最大，是指波动变化最大1(2013高考广东卷)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)()A.B2C. D3解析：选A.把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可E(X)123，选A.2.(2013高考湖北卷)如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)()A. B.C. D.解析：选B.先求出随机变量X的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故E(X)0123.3(2013高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望解析：(1)所种作物总株数N1234515，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3328(种)故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物