高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末综合检测 理（含解析）新人教A版选修21.doc

2013-2014学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末综合检测 理（含解析）新人教a版选修2-1(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值分别为()a.， b5,2c， d5，2解析：选a.ab，则存在mr，使得amb，又a(1,0,2)，b(6,21,2)，则有可得2已知a(1，2,11)，b(4,2,3)，c(6，1,4)三点，则abc是()a直角三角形 b钝角三角形c锐角三角形 d等腰三角形解析：选a.(3,4，8)，(2，3,1)，(5，1,7)，10370.bcca.abc是直角三角形3已知在空间四边形oabc中，a，b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc中点，则等于()a.abcbabcc.abcd.abc解析：选b.因()bca.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于()a3 b2c. d5解析：选a.|ab2c|，ab2c(1,0,1)(2，1,1)2(3,1,0)(9,3,0)，|ab2c|3.5给出下列命题：已知ab，则a(bc)c(ba)bc；a、b、m、n为空间四点，若、不能构成空间的一个基底，则a、b、m、n四点共面；已知ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；已知a，b，c是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量mac构成空间另一个基底其中正确命题的个数是()a1 b2c3 d4解析：选c.当ab时，ab0，a(bc)c(ba)abaccbcacbbc，故正确；当向量、不能构成空间的一个基底时，、共面，从而a、b、m、n四点共面，故正确；当ab时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b构成空间的一个基底，故错误；当a，b，c是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故正确6在下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是()a.2b.c.0d.0解析：选c.空间的四点m、a、b、c共面只需满足xyz，且xyz1，或存在实数x，y使得xy.7在空间直角坐标系oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()a30 b45c60 d90解析：选c.如图所示，设|a|m(m0)，a，pa平面xoy，则在rtpbo中，|pb|cosa，im，在rtpco中，|oc|cosa，j，|ab|，在rtpab中，|pa|，|od|，在rtpdo中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8已知点a(3,4,3)，o为坐标原点，则oa与坐标平面yoz所成角的正切值为()a. b.c. d1解析：选b.a点在面yoz上的射影为b(0,4,3)且|ob|5，所以oa与平面yoz所成角满足tan .9.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，以d为原点建立空间直角坐标系，e为bb1的中点，f为a1d1的中点，则下列向量中能作为平面aef的法向量的是()a(1，2,4)b(4,1，2)c(2，2,1)d(1,2，2)解析：选b.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，则a(1,0,0)，e(1,1，)，f(，0,1)故(0,1，)，(，0,1)由即所以当z2时，n(4,1，2)，故选b.10正方体abcda1b1c1d1中，二面角abd1b1的大小为()a90 b60c120 d45解析：选c.如图，以c为原点建立空间直角坐标系cxyz，设正方体的边长为a，则a(a，a,0)，b(a,0,0)，d1(0，a，a)，b1(a,0，a)，于是(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)设平面abd1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0.a0，y0，xz.令xz1，则n(1,0,1)，同理，平面b1bd1的法向量m(1，1,0)由于cosn，m，而二面角abd1b1为钝角，故为120.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11已知a(2，1,0)，b(k,0,1)，若a，b120，则k_.解析：cosa，b 0，k0，且k2.k.答案：12若a(2,3，1)，b(2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析：cosa，b，得sina，b，由公式s|a|b|sina，b可得结果答案：613.如图，空间四边形oabc，点m，n分别为oa，bc的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则_.解析：()abc.答案：abc14点p是棱长为1的正方体abcda1b1c1d1内一点，且满足，则点p到棱ab的距离为_解析：如图所示，过p作pq平面abcd于q，过q作qeab于e，连接pe.，pq，eq，点p到棱ab的距离为pe.答案：15如图所示，在棱长为4的正方体abcda1b1c1d1中，点e是棱cc1的中点，则异面直线d1e与ac所成的角的余弦值是_解析：如图，建立空间直角坐标系，则a(4,0,0)，c(0,4,0)，d1(0,0,4)，e(0,4,2)，(4,4,0)，(0,4，2)cos，.异面直线d1e与ac所成角的余弦值为.答案：三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，cm2ma，a1n2nd，且a，b，c，试用a，b，c表示向量.解：()()abc，abc.17在正方体abcda1b1c1d1中，p为dd1的中点，m为四边形abcd的中心求证：对a1b1上任一点n，都有mnap.证明：建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，p，m，n(1，y,1)，.(1)010，即a1b1上任意一点n都有mnap.18.如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，paad2，ab1，bmpd于点m.(1)求证：ampd；(2)求直线cd与平面acm所成角的余弦值解：(1)证明：pa平面abcd，ab平面abcd，paab.abad，adpaa，ab平面pad.pd平面pad，abpd，又bmpd，abbmb，pd平面abm.am平面abm，ampd.(2)如图所示，以点a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(1,0,0)，c(1,2,0)，d(0，2,0)ampd，paad，m为pd的中点，m的坐标为(0,1,1)(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面acm的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得，令z1，得x2，y1.n(2，1,1)设直线cd与平面acm所成的角为，则sin .cos ，即直线cd与平面acm所成角的余弦值为.19.如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为平行四边形，dab60，ab2ad，pd底面abcd.(1)证明：pabd；(2)若pdad，求二面角apbc的余弦值解：(1)证明：因为dab60，ab2ad，由余弦定理得bdad，从而bd2ad2ab2，故bdad.又因为pd底面abcd，可得bdpd.又因为adpdd，所以bd平面pad，故pabd.(2)如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，b(0，0)，c(1，0)，p(0,0,1)，(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面pab的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面pbc的法向量为m，则可取m(0，1，)，m，n等于二面角apbc的平面角，cosm，n.故二面角apbc的余弦值为.20.如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，侧棱papd，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，ad2ab2bc2，o为ad中点(1)求证：po平面abcd；(2)求异面直线pb与cd所成角的余弦值；(3)求点a到平面pcd的距离解：(1)证明：如图所示，以o为坐标原点，、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系oxyz.则a(0，1,0)，b(1，1,0)，c(1,0，0)，d(0,1,0)，p(0,0,1)所以(0,0,1)，(0,2,0)，0，所以，poad，又侧面pad底面abc