薛晋子 “格点与面积” 的推想.doc

第二届“摇篮杯”初中学生数学小论文县（市、区）： 温州市 学校（全称）： 温州市实验中学 作 者： 薛晋子 指 导 师： 论文题目： 多面体中“皮克公式”的猜想 二 O O 七 年 十 一月多面体中“皮克公式”的猜想摘要：格点多边形面积计算有皮克公式SQ+ P21，线段长度存在着有如皮克公式的关系LP1（“格点”数P），一些特殊“格点多面体”存在着体积V=R+Q2+ Q41（棱上点数P、面上点数Q 、体内点数R）。“格点多面体”存在着有如皮克公式的关系V=R+X1（X为未知式）。一、格点与面积一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。一个多边形的顶点如果在格点上，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。那么格点与面积间有什么公式呢？奥地利数学家皮克(Georg Pick，1859-1943年)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式：SQ+ P21，其中多边形面积S，内部格点数Q，边上格点数P。例1：下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。分析：这是一个组合图形，面积可分为两个三角形和一个长方形三部分，每一部分面积的求法，因图而异。如：解答：三角形面积=3322=9，长方形的面积为47=28，所以礼盒面积为928=37我们若用皮克公式直接计算：Q28，P 20，S28202137，简单。例2：求下图中梯形的面积。这个梯形图的一周共有16个格点，中间共有32个格点，运用格点图形的面积公式，SQ+ P21 =321621=39。例3：计算下面三角形格点中多边形的面积。这个六边形图的一周共有14个格点，中间共有57个格点，运用皮克公式计算面积，SQ+ P21 =571421=63。二、线段中存在“皮克公式”既然平面多边形可用皮克公式计算面积，线段中是否存在这样的关系呢？线段上有一些均分点，可称为线段上的“格点”。如图，格点数与线段长度存在着有如皮克公式的关系，LP1。 线段长度L 格点数PA1 A2 A3 2 3 A1 A2 A3 A4 A5 4 5 A1 A2 A3 A4 An-1 An n-1 n 三、多面体中“皮克公式”的猜想点、线、面、体组成应该有规律。建立“格点三维模型”，我们把顶点在格点上的多面体称为“格点多面体”。既然格点数与线段长度存在着有如皮克公式的关系L P1，格点数与格点多边形面积间存在着皮克公式SQ+ P21，那么多面体的体积V与棱上点数P、面上点数Q 、体内点数R之间应该有一种关系。可能是：V=R+Q2+ P41。如图1、2、3，V=R+Q2+P41成立。 图1 图2 图3体内点数R面上点数Q棱上点数P多面体体积VR+Q2+Q41图1162088图2210241212图3314281616再看图4，R=2，Q=8，P=20，V=R+Q2+P4-1=10，公式成立图4但是，在图5、6中，V=R+Q2+P41不成立。 图5 图6 体内点数R面上点数Q棱上点数P多面体体积VR+Q2+P41图5141976.75图61619567 7.75猜想：“格点多面体”存在着有如皮克公式的关系V=R+X1（X为特殊未知式）。总之，点、线、面、体与“格点”应有如下关系：点线：