高考数学一轮复习 第二十二章 概率统计 22.3 离散型随机变量的均值和方差课件.ppt

高考数学 江苏省专用 22 3离散型随机变量的均值和方差 考点离散型随机变量的均值和方差1 2017浙江改编 8 5分 已知随机变量 i满足p i 1 pi p i 0 1 pi i 1 2 若0d 2 e 1 e 2 d 1 e 2 d 1 d 2 五年高考 统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题考查随机变量的概念及其分布列 随机变量的期望 方差的计算 考查推理运算能力 利用作差比较法比较两式的大小 构造函数 利用函数的单调性比较两式的大小 解法一 e 1 0 1 p1 1 p1 p1 同理 e 2 p2 又00 p1 p2 1 p1 p2 0 d 1 d 2 解法二 同解法一知e 1 e 2 d 1 p1 d 2 p2 令f x x x2 则f x 在上为增函数 0 p1 p2 f p1 f p2 即d 1 d 2 2 2014浙江 12 5分 随机变量 的取值为0 1 2 若p 0 e 1 则d 答案 解析设p 1 p 则p 2 p 从而由e 0 1 p 2 1 得p 故d 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 2017北京理 17 13分 为了研究一种新药的疗效 选100名患者随机分成两组 每组各50名 一组服药 另一组不服药 一段时间后 记录了两组患者的生理指标x和y的数据 并制成下图 其中 表示服药者 表示未服药者 1 从服药的50名患者中随机选出一人 求此人指标y的值小于60的概率 2 从图中a b c d四人中随机选出两人 记 为选出的两人中指标x的值大于1 7的人数 求 的分布列和数学期望e 3 试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小 只需写 出结论 解析本题考查古典概型 离散型随机变量的分布列与数学期望 方差等知识 1 由题图知 在服药的50名患者中 指标y的值小于60的有15人 所以从服药的50名患者中随机选出一人 此人指标y的值小于60的概率为 0 3 2 由题图知 a b c d四人中 指标x的值大于1 7的有2人 a和c 所以 的所有可能取值为0 1 2 p 0 p 1 p 2 所以 的分布列为 故 的期望e 0 1 2 1 3 在这100名患者中 服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差 方法总结 在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时 先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率 利用期望的公式求其数学期望 在比较数据的方差时 可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较 4 2017天津理 16 13分 从甲地到乙地要经过3个十字路口 设各路口信号灯工作相互独立 且在各路口遇到红灯的概率分别为 1 记x表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 求随机变量x的分布列和数学期望 2 若有2辆车独立地从甲地到乙地 求这2辆车共遇到1个红灯的概率 解析本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望 事件的相互独立性 互斥事件的概率加法公式等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 1 随机变量x的所有可能取值为0 1 2 3 p x 0 p x 1 1 1 1 1 p x 2 p x 3 所以 随机变量x的分布列为 随机变量x的数学期望e x 0 1 2 3 2 设y表示第一辆车遇到红灯的个数 z表示第二辆车遇到红灯的个数 则所求事件的概率为p y z 1 p y 0 z 1 p y 1 z 0 p y 0 p z 1 p y 1 p z 0 所以 这2辆车共遇到1个红灯的概率为 技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率 只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题 理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提 5 2016天津理 16 13分 某小组共10人 利用假期参加义工活动 已知参加义工活动次数为1 2 3的人数分别为3 3 4 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会 1 设a为事件 选出的2人参加义工活动次数之和为4 求事件a发生的概率 2 设x为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值 求随机变量x的分布列和数学期望 解析 1 由已知 有p a 所以 事件a发生的概率为 2 随机变量x的所有可能取值为0 1 2 p x 0 p x 1 p x 2 所以 随机变量x的分布列为 随机变量x的数学期望e x 0 1 2 1 评析本小题主要考查古典概型及其概率计算公式 互斥事件 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 6 2015安徽 17 12分 已知2件次品和3件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 2 已知每检测一件产品需要费用100元 设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用 单位 元 求x的分布列和均值 数学期望 解析 1 记 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 为事件a p a 2 x的可能取值为200 300 400 p x 200 p x 300 p x 400 1 p x 200 p x 300 1 故x的分布列为 ex 200 300 400 350 7 2015福建 16 13分 某银行规定 一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误 该银行卡将被锁定 小王到该银行取钱时 发现自己忘记了银行卡的密码 但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一 小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试 若密码正确 则结束尝试 否则继续尝试 直至该银行卡被锁定 1 求当天小王的该银行卡被锁定的概率 2 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为x 求x的分布列和数学期望 解析 1 设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为a 则p a 2 依题意得 x所有可能的取值是1 2 3 又p x 1 p x 2 p x 3 1 所以x的分布列为 所以e x 1 2 3 评析本题主要考查古典概型 相互独立事件的概率 随机变量的分布列 数学期望等基础知识 考查运算求解能力 应用意识 8 2014辽宁 18 12分 一家面包房根据以往某种面包的销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售量相互独立 1 求在未来连续3天里 有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率 2 用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数 求随机变量x的分布列 期望e x 及方差d x 解析 1 设a1表示事件 日销售量不低于100个 a2表示事件 日销售量低于50个 b表示事件 在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个 因此p a1 0 006 0 004 0 002 50 0 6 p a2 0 003 50 0 15 p b 0 6 0 6 0 15 2 0 108 2 x可能取的值为0 1 2 3 相应的概率为p x 0 1 0 6 3 0 064 p x 1 0 6 1 0 6 2 0 288 p x 2 0 62 1 0 6 0 432 p x 3 0 63 0 216 分布列为 因为x b 3 0 6 所以期望e x 3 0 6 1 8 方差d x 3 0 6 1 0 6 0 72 9 2014安徽 17 12分 甲 乙两人进行围棋比赛 约定先连胜两局者直接赢得比赛 若赛完5局仍未出现连胜 则判定获胜局数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立 1 求甲在4局以内 含4局 赢得比赛的概率 2 记x为比赛决出胜负时的总局数 求x的分布列和均值 数学期望 解析用a表示 甲在4局以内 含4局 赢得比赛 ak表示 第k局甲获胜 bk表示 第k局乙获胜 则p ak p bk k 1 2 3 4 5 1 p a p a1a2 p b1a2a3 p a1b2a3a4 p a1 p a2 p b1 p a2 p a3 p a1 p b2 p a3 p a4 2 x的可能取值为2 3 4 5 p x 2 p a1a2 p b1b2 p a1 p a2 p b1 p b2 p x 3 p b1a2a3 p a1b2b3 p b1 p a2 p a3 p a1 p b2 p b3 p x 4 p a1b2a3a4 p b1a2b3b4 p a1 p b2 p a3 p a4 p b1 p a2 p b3 p b4 p x 5 1 p x 2 p x 3 p x 4 故x的分布列为 ex 2 3 4 5 评析本题考查了独立事件同时发生 互斥事件至少有一个发生 分布列 均值等知识 考查应用意识 运算求解能力 准确理解题意是解题的关键 10 2013辽宁理 19 12分 现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 张同学从中任取3道题解答 1 求张同学至少取到1道乙类题的概率 2 已知所取的3道题中有2道甲类题 1道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答对与否相互独立 用x表示张同学答对题的个数 求x的分布列和数学期望 解析 1 设事件a 张同学所取的3道题至少有1道乙类题 则有 张同学所取的3道题都是甲类题 因为p 所以p a 1 p 6分 2 x所有的可能取值为0 1 2 3 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 所以x的分布列为 10分 所以e x 0 1 2 3 2 12分 1 2013课标全国 理 19 12分 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出1t该产品获利润500元 未售出的产品 每1t亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如下图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品 以x 单位 t 100 x 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 t 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 1 将t表示为x的函数 2 根据直方图估计利润t不少于57000元的概率 c组教师专用题组 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量x 100 110 则取x 105 且x 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求t的数学期望 2 2014天津 16 13分 某大学志愿者协会有6名男同学 4名女同学 在这10名同学中 3名同学来自数学学院 其余7名同学来自物理 化学等其他互不相同的七个学院 现从这10名同学中随机选取3名同学 到希望小学进行支教活动 每位同学被选到的可能性相同 1 求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率 2 设x为选出的3名同学中女同学的人数 求随机变量x的分布列和数学期望 解析 1 设 选出的3名同学是来自互不相同的学院 为事件a 则p a 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 2 随机变量x的所有可能值为0 1 2 3 p x k k 0 1 2 3 所以随机变量x的分布列是 随机变量x的数学期望e x 0 1 2 3 评析本题主要考查古典概型及其概率计算公式 互斥事件 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 3 2015北京 16 13分 a b两组各有7位病人 他们服用某种药物后的康复时间 单位 天 记录如下 a组 10 11 12 13 14 15 16 b组 12 13 15 16 17 14 a 假设所有病人的康复时间互相独立 从a b两组随机各选1人 a组选出的人记为甲 b组选出的人记为乙 1 求甲的康复时间不少于14天的概率 2 如果a 25 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 3 当a为何值时 a b两组病人康复时间的方差相等 结论不要求证明 解析设事件ai为 甲是a组的第i个人 事件bj为 乙是b组的第j个人 i j 1 2 7 由题意可知p ai p bj i j 1 2 7 1 由题意知 事件 甲的康复时间不少于14天 等价于 甲是a组的第5人 或者第6人 或者第7人 所以甲的康复时间不少于14天的概率是p a5 a6 a7 p a5 p a6 p a7 2 设事件c为 甲的康复时间比乙的康复时间长 由题意知 c a4b1 a5b1 a6b1 a7b1 a5b2 a6b2 a7b2 a7b3 a6b6 a7b6 因此p c p a4b1 p a5b1 p a6b1 p a7b1 p a5b2 p a6b2 p a7b2 p a7b3 p a6b6 p a7b6 10p a4b1 10p a4 p b1 3 a 11或a 18 4 2014湖南 17 12分 某企业有甲 乙两个研发小组 他们研发新产品成功的概率分别为和 现安排甲组研发新产品a 乙组研发新产品b 设甲 乙两组的研发相互独立 1 求至少有一种新产品研发成功的概率 2 若新产品a研发成功 预计企业可获利润120万元 若新产品b研发成功 预计企业可获利润100万元 求该企业可获利润的分布列和数学期望 解析记e 甲组研发新产品成功 f 乙组研发新产品成功 由题设知p e p p f p 且事件e与f e与 与f 与都相互独立 1 记h 至少有一种新产品研发成功 则 于是p p p 故所求的概率为p h 1 p 1 2 设企业可获利润为x 万元 则x的可能取值为0 100 120 220 因为p x 0 p p x 100 p f p x 120 p e p x 220 p ef 故所求的分布列为 数学期望为e x 0 100 120 220 140 5 2013重庆理 18 13分 某商场举行的 三色球 购物摸奖活动规定 在一次摸奖中 摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球 再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球 根据摸出4个球中红球与蓝球的个数 设一 二 三等奖如下 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 1 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率 2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望e x 解析设ai表示摸到i个红球 bj表示摸到j个蓝球 则ai i 0 1 2 3 与bj j 0 1 独立 1 恰好摸到1个红球的概率为p a1 2 x的所有可能的值为0 10 50 200 且p x 200 p a3b1 p a3 p b1 p x 50 p a3b0 p a3 p b0 p x 10 p a2b1 p a2 p b1 p x 0 1 综上知x的分布列为 从而有e x 0 10 50 200 4 元 解答题 共50分 1 2017江苏苏北四市联考 甲 乙 丙分别从a b c d四道题中独立地选做两道题 其中甲必选b题 1 求甲选做d题 且乙 丙都不选做d题的概率 2 若随机变量x表示d题被甲 乙 丙选做的次数 求x的概率分布列和数学期望e x 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 50分 解析 1 设 甲选做d题 且乙 丙都不选做d题 为事件e 甲选做d题的概率为 乙 丙不选做d题的概率均为 则p e 故甲选做d题 且乙 丙都不选做d题的概率为 2 x的所有可能取值为0 1 2 3 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 所以x的概率分布列为 故x的数学期望e x 0 1 2 3 2 2017扬州高三上学期期末 为了提高学生学习数学的兴趣 某校决定在每周的同一时间开设 数学史 生活中的数学 数学与哲学 数学建模 四门校本选修课程 甲 乙 丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习 假设三人选择课程时互不影响 且每人选择每一门课程都是等可能的 1 求甲 乙 丙三人选择的课程互不相同的概率 2 设x为甲 乙 丙三人中选修 数学史 的人数 求x的分布列和数学期望e x 解析 1 甲 乙 丙三人从四门校本课程中各任选一门 共有43 64种不同的选法 记 甲 乙 丙三人选择的课程互不相同 为事件m 事件m共包含 24个基本事件 则p m 所以甲 乙 丙三人选择的课程互不相同的概率为 2 解法一 x的可能取值为0 1 2 3 p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 所以x的分布列为 所以x的数学期望e x 0 1 2 3 解法二 甲 乙 丙三人从四门校本课程中任选一门 可以看成三次独立重复试验 x为甲 乙 丙三人中选修 数学史 的人数 则x b 所以p x k k 0 1 2 3 所以x的分布列为 所以x的数学期望e x 3 3 2016江苏南通二模 22 一个摸球游戏 规则如下 在一不透明的纸盒中 装有6个大小相同 颜色各异的玻璃球 参加者交费1元可玩1次游戏 从中有放回地摸球3次 参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球 然后摸球 当所指定的玻璃球不出现时 游戏费被没收 当所指定的玻璃球出现1次 2次 3次时 参加者可相应获得游戏费的0倍 1倍 k倍的奖励 k n 且游戏费仍退还给参加者 记参加者玩1次游戏的收益为x元 1 求概率p x 0 的值 2 为使x的数学期望不小于0 求k的最小值 解析 1 事件 x 0 表示 有放回地摸球3回 所指定的玻璃球只出现1次 则p x 0 3 2 依题意知 x的可能取值为k 1 1 0 且p x k p x 1 p x 1 3 结合 1 知 参加游戏者的收益x的数学期望e x k 1 1 0 因为x的数学期望不小于0 所以k 110 即kmin 110 答 k的最小值为110 4 2016江苏无锡期末 22 甲 乙 丙三名射击运动员射中目标的概率分别为 a a 0 a 1 三人各射击一次 击中目标的次数为 1 求 的分布列及数学期望 2 在概率p i i 0 1 2 3 中 若p 1 的值最大 求实数a的取值范围 解析 1 p i i 0 1 2 3 表示 i个人命中 3 i 个人未命中 的概率 所以p 0 1 a 2 1 a 2 p 1 1 a 2 a 1 a 1 a2 p 2 a 1 a a2 2a a2 p 3 a2 所以 的分布列为 的数学期望为e 0 1 a 2 1 1 a2 2 2a a2 3 2 p 1 p 0 1 a2 1 a 2 a 1 a p 1 p 2 1 a2 2a a2 p 1 p 3 1 a2 a2 由和0 a 1 得0 a 即a的取值范围是 解答题 共60分 1 2017江苏扬州 泰州 南通 淮安 宿迁 徐州六市联考 22 某乐队参加一户外音乐节 准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱 1 求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率 2 假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a a为常数 演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a 求观众与乐队的互动指数之和x的概率分布列及数学期望 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 50分钟分值 60分 解析 1 设 至少演唱1首原创新曲 为事件a 则事件a的对立事件为 没有1首原创新曲被演唱 所以p a 1 p 1 故该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为 2 设随机变量 表示被演唱的原创新曲的首数 则 的所有可能取值为0 1 2 3 依题意得x a 2a 4 故x的所有可能取值依次为8a 7a 6a 5a 则p x 8a p 0 p x 7a p 1 p x 6a p 2 p x 5a p 3 所以x的概率分布列为 所以x的数学期望e x 8a 7a 6a 5a a 2 2017江苏苏州高三期中调研测试 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试 共设置了a b c三个测试项目 假定张某通过项目a的概率为 通过项目b c的概率均为a 0 a 1 且这三个测试项目能否通过相互独立 1 用随机变量x表示张某在测试中通过的项目个数 求x的概率分布和数学期望e x 用a表示 2 若张某通过一个项目的概率最大 求实数a的取值范围 解析 1 随机变量x的可能取值为0 1 2 3 p x 0 1 a 2 1 a 2 p x 1 1 a 2 a 1 a 1 a2 p x 2 a 1 a a2 2a a2 p x 3 a2 a2 所以x的分布列为 故x的数学期望e x 0 1 a 2 1 1 a2 2 2a a2 3 2 p x 1 p x 0 1 a2 1 a 2 a 1 a p x 1 p x 2 1 a2 2a a2 p x 1 p x 3 1 a2 a2 由结合0 a 1 得0 a 即a的取值范围是 3 2016南京第三次模拟 23 从0 1 2 3 4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数 记x为所组成的三位数各位数字之和 1 求x是奇数的概率 2 求x的概率分布列及数学期望 解析 1 记 x是奇数 为事件a 从0 1 2 3 4这五个数中任选三个不同的数 能组成的三位数的个数是 2 48 x是奇数的个数有 20 所以p a 2 x的可能值为3 4 5 6