高考数学二轮复习 专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列课件 文.ppt

第1讲等差数列与等比数列 专题四数列 推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 热点一等差数列 等比数列的运算1 通项公式等差数列 an a1 n 1 d 等比数列 an a1 qn 1 2 求和公式 3 性质若m n p q 在等差数列中am an ap aq 在等比数列中am an ap aq 答案 解析 解析由题设可得log2a9 log2a2009 2 即b9 b2009 2 由等差数列的通项的性质 可得b9 b2009 b1 b2017 2 答案 解析 解析由于a3 a5 a7 a3 a3q2 a3q4 6 q4 q2 1 78 得q4 q2 12 0 得q2 3或q2 4 舍去 则a5 a3q2 6 3 18 故选b 思维升华 2 2017届四川省成都市诊断性检测 在等比数列 an 中 已知a3 6 a3 a5 a7 78 则a5等于a 12b 18c 24d 36 思维升华在进行等差 比 数列项与和的运算时 若条件和结论间的联系不明显 则均可化成关于a1和d q 的方程组求解 但要注意消元法及整体计算 以减少计算量 答案 解析 跟踪演练1 1 2017 河北省曲周县第一中学模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 4 s6 6 则s5等于a 0b 2c 4d 1 答案 解析 ln2 热点二等差数列 等比数列的判定与证明数列 an 是等差数列或等比数列的证明方法 1 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法 利用定义 证明an 1 an n n 为一常数 利用等差中项 即证明2an an 1 an 1 n 2 2 证明 an 是等比数列的两种基本方法 例2 2017届东北三省三校联考 已知数列 an 满足a1 3 an 1 2an n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 bn an n 1 证明 an n 为等比数列 证明 an 1 2an n 1 an 1 n 1 2 an n 又a1 1 2 an n 是以2为首项 2为公比的等比数列 证明 思维升华 思维升华判断一个数列是等差 比 数列 也可以利用通项公式及前n项和公式 但不能作为证明方法 解答 思维升华 解由 1 知an n a1 1 2n 1 2n bn 1 bn an n bn 1 bn 2n 当n 1时 b1 2 bn 2n 跟踪演练2 2017届吉林省长白山市模拟 在数列 an 中 设f n an 且f n 满足f n 1 2f n 2n n n 且a1 1 证明 证明由已知得an 1 2an 2n bn 1 bn 1 又a1 1 b1 1 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 解答 2 求数列 an 的前n项和sn 解由 1 知 bn n an n 2n 1 sn 1 2 21 3 22 n 2n 1 两边乘以2 得2sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n 两式相减得 sn 1 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n 1 n 2n 1 sn n 1 2n 1 热点三等差数列 等比数列的综合问题解决等差数列 等比数列的综合问题 要从两个数列的特征入手 理清它们的关系 数列与不等式 函数 方程的交汇问题 可以结合数列的单调性 最值求解 例3已知等差数列 an 的公差为 1 且a2 a7 a12 6 1 求数列 an 的通项公式an与前n项和sn 解由a2 a7 a12 6 得a7 2 a1 4 解答 2 将数列 an 的前4项抽去其中一项后 剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn 的前3项 记 bn 的前n项和为tn 若存在m n 使对任意n n 总有sn tm 恒成立 求实数 的取值范围 解答 思维升华 解由题意知b1 4 b2 2 b3 1 设等比数列 bn 的公比为q tm 为递增数列 得4 tm 8 故 sn max s4 s5 10 若存在m n 使对任意n n 总有sn2 即实数 的取值范围为 2 思维升华 1 等差数列与等比数列交汇的问题 常用 基本量法 求解 但有时灵活地运用性质 可使运算简便 2 数列的项或前n项和可以看作关于n的函数 然后利用函数的性质求解数列问题 3 数列中的恒成立问题可以通过分离参数 通过求数列的值域求解 跟踪演练3 2017 北京 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 解设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 解答 解答 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解设等比数列 bn 的公比为q 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 真题体验 1 2017 全国 改编 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 4 答案 解析 1 2 3 4 解析设 an 的公差为d 解得d 4 2 2017 浙江改编 已知等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 则 d 0 是 s4 s6 2s5 的 条件 充要 答案 解析 1 2 3 4 解析方法一 数列 an 是公差为d的等差数列 s4 4a1 6d s5 5a1 10d s6 6a1 15d s4 s6 10a1 21d 2s5 10a1 20d 若d 0 则21d 20d 10a1 21d 10a1 20d 即s4 s6 2s5 若s4 s6 2s5 则10a1 21d 10a1 20d 即21d 20d d 0 d 0 是 s4 s6 2s5 的充要条件 1 2 3 4 方法二 s4 s6 2s5 s4 s4 a5 a6 2 s4 a5 a6 a5 a5 d a5 d 0 d 0 是 s4 s6 2s5 的充要条件 1 2 3 4 3 2017 北京 若等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a4 b4 8 则 1 答案 解析 1 2 3 4 解析设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 则由a4 a1 3d q 2 32 解析设 an 的首项为a1 公比为q 1 2 3 4 答案 解析 押题预测 答案 解析 押题依据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点 也是高考的热点 可以考查学生灵活变换的能力 1 2 3 4 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 且a1 0 a3 a10 0 a6a70的最大自然数n的值为a 6b 7c 12d 13 押题依据 1 2 3 解析 a1 0 a6a70 a70 a1 a13 2a70 s130的最大自然数n的值为12 4 2 2017 安庆模拟 等比数列 an 中 a3 3a2 2 且5a4为12a3和2a5的等差中项 则 an 的公比等于a 3b 2或3c 2d 6 答案 解析 押题依据等差数列 等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性 是高考出题的重点 1 2 3 4 押题依据 解析设公比为q 5a4为12a3和2a5的等差中项 可得10a4 12a3 2a5 10a3q 12a3 2a3q2 得10q 12 2q2 解得q 2或3 又a3 3a2 2 所以有a2q 3a2 2 所以有q 2 故选c 1 2 3 4 答案 解析 押题依据本题在数列 方程 不等式的交汇处命题 综合考查学生应用数学的能力 是高考命题的方向 1 2 3 4 押题依据 解析由a7 a6 2a5 得a1q6 a1q5 2a1q4 整理得q2 q 2 0 解得q 2或q 1 不合题意 舍去 1 2 3 4 押题依据先定义一个新数列 然后要求根据定义的条件推断这个新数列的一些性质或者判断一个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一类问题 这类问题一般形式新颖 难度不大 常给人耳目一新的感觉 4 定义在 0 0 上的函数f x 如果对于任意给定的等比数列 an f an 仍是等比数列 则称f x 为 保等比