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第三章函数的应用 培优课 六 一元二次方程根的分布 函数与方程有着密切的联系 有些方程问题可以转化为函数问题进行求解 同样 函数问题有时也可以转化为方程问题 这正是函数与方程思想的基础 解决有关一元二次方程根的分布问题应关注以下几点 1 转化为相应的二次函数问题 并画出符合题意的函数的大致图象 2 结合图象考虑以下四个方面 与0的大小 对称轴与所给端点值的关系 端点的函数值与零的关系 开口方向 3 写出由题意得到的不等式 组 4 由得到的不等式 组 去验证图象是否符合题意 这类问题充分体现了函数与方程的思想 也体现了方程的根就是函数的零点 在写不等式时要注意条件的完备性 互动探究 本例已知条件不变 求a为何值时 1 方程有唯一实根 2 方程一根大于1 一根小于1 分别求实数m的范围 使关于x的方程x2 2x m 1 0 1 有两个负根 2 有两个实根 且一根比2大 另一根比2小 3 有两个实根 且都比1大 2 方法一 方程思想 设方程的两个根为x1 x2 则令y1 x1 2 0 y2 x2 2 0 问题转化为求方程 y 2 2 2 y 2 m 1 0 即方程y2 6y m 9 0有两个异号实根的条件 故有y1y2 m 9 0 解得m 9 方法二 函数思想 设函数f x x2 2x m 1 则原问题转化为函数f x 与x轴的两个交点分别在2的两侧 结合函数的图象 有f 2 m 9 0 解得m 9 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 下面为几类常见二次方程根的分布情况及需满足的条件 只讨论a 0的情况 a0的情况 1 关于x的二次方程 m 3 x2 4mx 2m 1 0的两根异号 且负根的绝对值比正根大 那么实数m的取值范围是 a 30d m3 2 方程x2 k 2 x 1 3k 0有两个不相等的实数根x1 x2 且0 x1 1 x2 2 则实数k的取值范围是 解析 因为方程x2 k 2 x 1 3k 0有两个不相等的实数根x1 x2 且0 x1 1 x2 2 所以设f x x2 k 2 x 1 3k 画出函数f x 的大致图象如图所示 3 已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 求m为何值时 1 方程一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 2 方程两根均在区间 0 1 内 解 设f x x2 2mx 2m 1 1 函数f x 的零点分别在区间 1 0 和 1 2 内 由图
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