山西省太原市山大附中高三数学上学期9月月考试卷（含解析）.doc

山西省太原市山大附中2015届 高三上学期9月月考数学试卷一选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分.）1已知集合a=x|x|1，b=x|logx0，则ab是( )ab（1，1）c（0，）d（0，1）考点：交集及其运算 专题：集合分析：根据不等式的解法求出集合a，b，利用集合的基本运算即可得到结论解答：解：a=x|x|1=x|1x1，b=x|logx0=x|x1，则ab=，故选：a点评：本题主要考查集合的基本运算，利用不等式的解法求出集合a，b是解决本题的关键，比较基础2已知函数f（x）=，则f（5）等于( )abcd考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的表达式直接代入即可解答：解：f（5）=f（5）=cos（）=cos（2）=cos（）=sin=，故选：a点评：本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式，直接代入即可，考查三角函数的诱导公式的应用3函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递减区间是( )ad（，考点：对数函数图象与性质的综合应用 分析：先求出函数f（x）=ln（4+3xx2）的定义域，再求函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递减区间解答：解：由4+3xx20得1x4，e0，t=4+3xx2开口向下，对称轴是，根据复合函数单调性可知，函数f（x）=ln（4+3xx2）的单调递减区间是4已知a0且a1，则ab1是（a1）b0的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“ab1”“（a1）b0”和“ab1”“（a1）b0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案解答：解：若ab1，当0a1时，b0，此时（a1）b0成立；当a1时，b0，此时（a1）b0成立；故ab1是（a1）b0的充分条件；若（a1）b0，a0且a1，当0a1时，b0，此时ab1，当a1时，b0，此时ab1，故ab1是（a1）b0的必要条件；综上所述：ab1是（a1）b0的充要条件；故选c点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5定义在r上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xr都有f（x），则不等式f（x）的解集为( )a（1，2）b（，1）c（1，+）d（1，1）考点：函数的单调性与导数的关系 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切由f（x），构造单调递减函数h（x）=f（x），利用其单调性求解即可解答：解：f（x），f（x）0，设h（x）=f（x）x，则h（x）=f（x）0，h（x）是r上的减函数，且h（1）=f（1）=1=不等式f（x），即为f（x）x，即h（x）h（1），得x1，原不等式的解集为（，1）点评：本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的导数判断单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键6已知tan=2，则的值为( )a3b3c2d2考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：将所求关系式中的分子与分母中的每一项同除cos，“弦”化“切”即可解答：解：tan=2，=3，故选：a点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”是关键，基本知识的考查7函数f（x）=（cosx）|lg|x|的部分图象是( )abcd考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：图表型分析：先由奇偶性来确定是a还是c选项中的一个，再通过通过分离函数，当x（，0）（0，）时，函数f1（x）=cosx0，可进一步确定选项解答：解析：因为f（x）=（cosx）|lg|x|f（x）=（cos（x）|lg|x|=f（x），故是偶函数，由此可确定是a或c选项中的一个，下用特殊值法判断，通过分离函数得f1（x）=cosx，f2（x）=|lg|x|，由于f2（x）=|lg|x|0，观察函数f1（x）=cosx的符号即可，由于x（，0）（0，）时，f1（x）=cosx0，表明函数图象在x（，0）（0，）时位于x轴下方，可以得到正确结果：答案：c故选c点评：本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键8已知函数f（x）=9xm3x+m+1对x（0，+）的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是( )a22m2+2bm2cm2+2dm2+2考点：指数函数的图像与性质；二次函数的性质 专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：本题通过换元法将原函数转化为二次函数，然后结合二次函数的特点进行分类解题即=（m）24（m+1）0或都满足题意解答：解：令t=3x，则问题转化为函数f（t）=t2mt+m+1对t（1，+）的图象恒在x轴的上方即=（m）24（m+1）0或解得m2+2故答案为c点评：本题考查了指数函数的图象与性质，二次函数的性质，还有通过换元法将原函数转化为二次函数，属于基础题9设函数f（x）的定义域为r，f（x）=，且对任意的xr都有f（x+1）=f（x1），若在区间上函数g（x）=f（x）mxm，恰有6个不同零点，则实数m的取值范围是( )a（，b（，c（0，d（0，考点：分段函数的应用；函数零点的判定定理 专题：数形结合；函数的性质及应用分析：先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间上函数g（x）=f（x）mxm恰有6个不同零点，即可求实数m的取值范围解答：解：对任意的xr都有f（x+1）=f（x1），f（x+2）=f（x），即函数f（x）的最小正周期为2，画出y=f（x）（1x5）的图象和直线y=mx+m，由x=5时，f（5）=1，可得1=5m+m，则m=，在区间上函数g（x）=f（x）mxm恰有6个不同零点时，实数m的取值范围是（0，故选d点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论解答：解：函数f（x）是定义在r上的偶函数，等价为f（log2a）+f（log2a）=2f（log2a）2f（1），即f（log2a）f（1）函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论解答：解：函数的f（x）的导数f（x）=，在x=0处的切线斜率k=f（0）=，f（0）=，切点坐标为（0，），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，切线与圆x2+y2=1相切，圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，a0，b0，设a=sinx，则b=cosx，0x，则a+b=sinx+cosx=sin（x），0x，x，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：d点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强12某同学在研究函数f（x）=+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=+，则f（x）表示|pa|+|pb|（如图），下列关于函数f（x）的描述：f（x）的图象是中心对称图形；f（x）的图象是轴对称图形；函数f（x）的值域为=1+有两个解则描述正确的是( )abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用分析：因为函数不是奇函数，所以错误利用函数对称性的定义进行判断利用两点之间线段最短证明利用函数的值域进行判断解答：解：因为f（x）=f（x）=f（x），所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称，故错误因为f（x）=，所以，即函数关于x=对称，故正确由题意值f（x）|ab|，而|ab|=，所以f（x），即函数f（x）的值域为=1+，等价为f（t）=1+，即+=，所以t=0，或t=3因为函数f（x），所以当t=0或t=3时，不成立，所以方程无解，故错误故选：b点评：本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综便考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用二填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.）13复数z=的共轭复数是12i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z=1+2i的共轭复数为12i故答案为：12i点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题14若角的终边过点p（4t，3t）（t0），则2sin+cos的值为考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得sin和cos 的值，可得2sin+cos 的值解答：解：角的终边过点p（4t，3t）（t0），则x=4t，y=3t，r=|op|=5|t|当t0时，r=5t，sin=，cos=，2sin+cos=当t0时，r=5t，sin=，cos=，2sin+cos=故答案为：点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题15已知函数y=f（x）（xr）的图象如图所示，则不等式xf（x）0的解集为（，0）（，2）考点：函数的单调性与导数的关系 专题：导数的概念及应用分析：由函数y=f（x）（xr）的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf（x）0的解集解答：解：由f（x）图象特征可得，f（x）在（，）（2，+）上大于0，在（，2）上小于0，xf（x）0x0或x2，所以xf（x）0的解集为（，0）（，2）故答案为：（，0）（，2）点评：本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点16函数f（x）的定义域为d，若对于任意x1，x2d，当x1x2时都有f（x1）f（x2），则称函数f（x）在d上为非减函数，设f（x）在上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0，（2）f（）=f（x）（3）f（1x）=1f（x），则f（）+f（）=考点：抽象函数及其应用 专题：新定义分析：已知条件求出f（1）、f（）、f（）、f（）、f（）的值，利用当x1x2时，都有f（x1）f（x2），可求出f（）的值，从而求出所求解答：解：函数f（x）在上为非减函数，f（0）=0；f（1x）+f（x）=1，f（1）=1，令x=，所以有f（）=，又f（）=f（x），令x=1，有f（）=f（1）=，令x=，有f（）=f（）=，f（）=f（）=，非减函数性质：当x1x2时，都有f（x1）f（x2），有f（）f（）f（），而f（）=f（），所以有 f（）=，则 =故答案为：点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题三.解答题（本大题共5小题，共52分.）17在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asina=（2b+c）sinb+（2c+b）sinc（）求a的大小；（）求sinb+sinc的最大值考点：余弦定理的应用 分析：（）根据正弦定理，设，把sina，sinb，sinc代入2asina=（2b+c）sinb+（2c+b）sinc求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosa的值，进而求出a的值（）根据（）中a的值，可知c=60b，化简得sin（60+b）根据三角函数的性质，得出最大值解答：解：（）设则a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc2asina=（2b+c）sinb+（2c+b）sinc方程两边同乘以2r2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c22bccosa故cosa=，a=120（）由（）得：sinb+sinc=sinb+sin（60b）=cosb+sinb=sin（60+b）故当b=30时，sinb+sinc取得最大值1点评：本题主要考查了余弦函数的应用其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握18已知等差数列an为递增数列，且a2，a5是方程x212x+27=0的两根，数列bn的前n项和tn=1bn（1）求数列an和bn的通项公式（2）若cn=，求数列cn的前n项和sn考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）通过解方程x212x+27=0的两根，及公差d0即可得到a2，a5，再利用等差数列的通项公式即可得到a1与d及an；当n2时，tn=1bn，tn1=1bn1，两式相减得，bn=bn1bn，再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）的结论即可得出，利用裂项求和即可解答：解：（1）等差数列an为递增数列，且a2，a5是方程x212x+27=0的两根，a2+a5=12，a2a5=27，d0，a2=3，a5=9，d=2，a1=1，an=2n1（nn*）tn=1bn，令n=1，得b1=，当n2时，tn=1bn，tn1=1bn1，两式相减得，bn=bn1bn，=（n2），数列bn是以为首项，为公比的等比数列bn=（nn*）（2）bn=，cn=，cn=sn=+=点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式、通项与其前n项和的关系、裂项求和等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力19如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad=90，acbd，bc=1，ad=aa1=3（）证明：acb1d；（）求直线b1c1与平面acd1所成的角的正弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角分析：（i）根据直棱柱性质，得bb1平面abcd，从而acbb1，结合bb1bd=b，证出ac平面bb1d，从而得到acb1d；（ii）根据题意得adb1c1，可得直线b1c1与平面acd1所成的角即为直线ad与平面acd1所成的角连接a1d，利用线面垂直的性质与判定证出ad1平面a1b1d，从而可得ad1b1d由acb1d，可得b1d平面acd1，从而得到adb1与ad与平面acd1所成的角互余在直角梯形abcd中，根据rtabcrtdab，算出ab=，最后在rtab1d中算出b1d=，可得cosadb1=，由此即可得出直线b1c1与平面acd1所成的角的正弦值解答：解：（i）bb1平面abcd，ac平面abcd，acbb1，又acbd，bb1、bd是平面bb1d内的相交直线ac平面bb1d，b1d平面bb1d，acb1d；（ii）adbc，b1c1bc，adb1c1，由此可得：直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角（记为），连接a1d，直棱柱abcda1b1c1d1中，bad=b1a1d1=90，b1a1平面a1d1da，结合ad1平面a1d1da，得b1a1ad1又ad=aa1=3，四边形a1d1da是正方形，可得ad1a1db1a1、a1d是平面a1b1d内的相交直线，ad1平面a1b1d，可得ad1b1d，由（i）知acb1d，结合ad1ac=a可得b1d平面acd1，从而得到adb1=90，在直角梯形abcd中，acbd，bac=adb，从而得到rtabcrtdab因此，可得ab=连接ab1，可得ab1d是直角三角形，b1d2=b1b2+bd2=b1b2+ab2+bd2=21，b1d=在rtab1d中，cosadb1=，即cos（90）=sin=，可得直线b1c1与平面acd1所成的角的正弦值为点评：本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题20已知点a（0，2），椭圆e：+=1（ab0）的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点（）求e的方程；（）设过点a的动直线l与e相交于p，q两点，当opq的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设f（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2c2，即可解得a，b；（）设p（x1，y1），q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出sopq通过换元再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（）设f（c，0），直线af的斜率为，解得c=又，b2=a2c2，解得a=2，b=1椭圆e的方程为；（）设p（x1，y1），q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0时，即时，|pq|=，点o到直线l的距离d=sopq=，设0，则4k2=t2+3，=1，当且仅当t=2，即，解得时取等号满足0，opq的面积最大时直线l的方程为：点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题21已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设函数（x）=xf（x）+tf（x）+，存在函数x1，x2，使得成立2（x1）（x2）成立，求实数t的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）确定函数的定义域，求导数利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；（2）假设存在x1，x2，使得成立2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max分类讨论求最值，即可求实数t的取值范围解答：解：（1）函数的定义域为r，f（x）=当x0时，f（x）0，当x0时，f（x）0f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减（2）假设存在x1，x2，使得成立2（x1）（x2）成立，则2（x）min（x）max（x）=xf（x）+tf（x）+=，（x）=当t1时，（x）0，（x）在上单调递减，2（1）（0），即t31当t0时，（x）0，（x）在上单调递增，2（0）（1），即t32e0当0t1时，在x上单调递减在x（t，1，（x）0，（x）在上单调递增2（t）max（0），（1），即21，（*）由（1）知，g（t）=2在上单调递减故22，而，不等式（*）无解综上所述，存在t（，32e）（3，+），使得命题成立点评：本题考查导数知