山西省太原市山大附中高三数学上学期期中试卷 文（含解析）.docVIP

山西省太原市山大附中20 15届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若u=1，2，3，4，5，a=1，2，3，b=2，4，则aub( )a2，4b1，3c1，2，3，4d1，2，3，4，5考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：根据集合的基本运算即可解答：解：b=2，4，ub=1，3，5，则aub=1，3，故选：b点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础2已知命题p：对任意的xr，有lnx1，则p是( )a存在x0r，有lnx01b对任意的xr，有lnx1c存在x0r，有lnx01d对任意的xr，有lnx1考点：命题的否定 分析：根据题意分析可得，这是一个全称命题，其否定为特称命题，分析选项可得答案解答：解：根据题意，命题p：对任意的xr，有lnx1，这是全称命题，其否定为特称命题，即存在x0r，有lnx01，故选c点评：本题考查命题的否定，是基本概念的题型，难度不大3若公比为2且各项均为正数的等比数列an中，a4a12=64，则a7的值等于( )a2b4c8d16考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由等比数列的性质可得=a4a12=64，从而求得a8的值，再根据公比等于2求得a7 的值解答：解：公比为2且各项均为正数的等比数列an中，a4a12=64，则由等比数列的性质可得 =a4a12=64，a8=8再由=q=2，可得 a7=4，故选b点评：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于中档题4设xr，则“x=1”是“复数z=（x21）+（x+1）i为纯虚数”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：常规题型分析：由于复数z=（x21）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可解答：解：由于复数z=（x21）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x21）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件故答案为 c点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以先判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系5已知角的终边过点p（4k，3k） （k0），则2sin+cos的值是( )abc或d随着k的取值不同其值不同考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义 专题：计算题分析：根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可解答：解：角的终边过点p（4k，3k），（k0），r=5|k|=5k，sin=，cos=，2sin+cos=2（）+=故选b点评：本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算6已知直线m、n及平面、，则下列命题正确的是( )abcd考点：平面与平面之间的位置关系 专题：计算题分析：a：由条件可得：或者与相交b：根据空间中直线与平面的位置关系可得：n或者nc：由特征条件可得：m或者md：根据空间中直线与直线的位置关系可得：mn解答：解：a：若m，n，则或者与相交，所以a错误b：若m，mn，则根据空间中直线与平面的位置关系可得：n或者n，所以b错误c：若m，则有m或者m，所以c错误d：若m，n，则根据空间中直线与直线的位置关系可得：mn，所以d正确故选d点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面、直线与直线的位置关系，以及熟练掌握有关的判定定理与性质定理，此题考查学生的逻辑推理能力属于基础题，一般出现再选择题好像填空题中7曲线y=x2上的点p处的切线的倾斜角为，则点p的坐标为( )a（0，0）b（2，4）c（，）d（，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在p点处的导数，由导数值等于1求得p的横坐标，则答案可求解答：解：y=x2，y=2x，设p（x0，y0），则，又曲线y=x2上的点p处的切线的倾斜角为，2x0=1，点p的坐标为（，）故选：d点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，过曲线上的某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题8“a=2”是“函数f（x）=x2+ax+1在区间1，+）上为增函数”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数的性质 专题：计算题分析：函数f（x）=x2+ax+1在区间1，+）上为增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判断充要条件即可解答：解：函数f（x）=x2+ax+1在区间1，+）上为增函数，抛物线的对称轴小于等于1，1，a2，“a=2”“a2”，反之不成立“a=2”是“函数f（x）=x2+ax+1在区间1，+）上为增函数”的充分不必要条件故选a点评：本题的考点是四种条件的判断、二次函数的性质，充要条件的判断，通常先看谁能推出谁，再作判断，属基本题9下列函数中周期是2的函数是( )ay=2cos2x1by=sin2x+cosxcy=tan（x+）dy=sinxcosx考点：三角函数的周期性及其求法 专题：计算题分析：分别对4个选项进行化简，求出各自周期，然后与已知要求周期比较即可排除选项解答：解：a：y=2cos2x1即：y=cos2x，故周期为，排除ab：y=sin2x+cosx，y=sin2x周期为1，y=cosx周期为2，故排除bc：y=tan（x+），t=，c正确d：y=sinxcosx，即y=，t=1故排除d故选：c点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，需要对三角函数的定义已知转化熟练掌握，属于基础题10椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于a、b两点，过原点与线段ab中点的直线的斜率为，则的值为( )abcd考点：椭圆的简单性质 专题：综合题分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1x）2=1，（a+b）x22bx+b1=0，a（x1，y1），b（x2，y2），由韦达定理得ab中点坐标：（），ab中点与原点连线的斜率k=解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1x）2=1，（a+b）x22bx+b1=0，a（x1，y1），b（x2，y2），y1+y2=1x1+1x2=2=，ab中点坐标：（），ab中点与原点连线的斜率k=故选a点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11数列an满足a1=1，且对于任意的nn*都an+1=a1+an+n，则+=( )abcd考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：对于任意的nn*都an+1=a1+an+n，可得an+1an=n+1，利用“累加求和”可得an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=于是=2再利用“裂项求和”即可得出解答：解：对于任意的nn*都an+1=a1+an+n，an+1an=n+1，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=n+（n1）+2+1=2+=+=2=故选：b点评：本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题12已知函数若关于x的函数y=f2（x）bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是( )a（2，+）b2，+）cd考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：方程f2（x）bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有满足条件的k在开区间（0，4时符合题意再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案解答：解：函数，作出f（x）的简图，如图所示：由图象可得当f（x）在（0，4上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应再结合题中函数y=f2（x）bf（x）+1 有8个不同的零点，可得关于k的方程 k2 bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0k14，0k24应有 ，解得 2b，故选：d点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）13某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为18考点：分层抽样方法 专题：计算题分析：由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数解答：解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为，老、中年职工共430160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，所以该样本中的老年职工人数为90=18故答案为：18点评：本题考查分层抽样知识，属基础知识、基本题型的考查14设实数x，y满足，则的最大值为考点：简单线性规划 专题：作图题分析：由题意作出可行域，目标函数z=的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点a时，斜率最大，只需解方程组求解a的坐标即可得答案解答：解：由题意作出所对应的可行域，（如图）目标函数z=的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点a时，斜率最大，而由解得，即点a的坐标为（2，9），所以直线oa的斜率为：=故则的最大值为，故答案为：点评：本题考查线性规划，准确作图，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属中档题15已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=1时有极值0，则ab的值为7考点：函数在某点取得极值的条件 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论解答：解：函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2f（x）=3x2+6ax+b，又函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值0，或当时，f（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；ab=7故答案为：7点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题16已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6考点：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体 专题：计算题分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积解答：解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2r=，所以外接球的表面积为：4r2=6故答案为：6点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力三、解答题（本大题共8小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17公差不为零的等差数列an中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设an=bn+1bn，b1=1，求数列bn的通项公式考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由等差数列an中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2）分别把n=1，2，n1代入an=bn+1bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列bn的通项公式解答：解：（1）等差数列an中，a2，a4，a9成等比数列，a42=a2a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，d0，d=3a1，又a3=a1+2d=7a1=7，a1=1，d=3，则数列an的通项公式为an=1+3（n1）=3n2；（2）b1=1，an=3n2，an=bn+1bn，a1=b2b1，a2=b3b2，an1=bnbn1，a1+a2+an1=bnb1，即=bn1，则bn=+1=点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键18已知集合a=x|x2+2x30，（1）在区间（4，4）上任取一个实数x，求“xab”的概率；（2）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合a中任取的一个整数，b是从集合b中任取的一个整数，求“baab”的概率考点：几何概型；交集及其运算；古典概型及其概率计算公式 专题：计算题分析：（）由已知化简集合a和b，设事件“xab”的概率为p1，这是一个几何概型，测度是长度，代入几何概型的计算公式即可；（2）因为a，bz，且aa，bb，这是一个古典概型，设事件e为“baab”，分别算出基本事件个数和事件e中包含的基本事件，最后根据概率公式即可求得事件e的概率解答：解：（）由已知a=x|3x1b=x|2x3，设事件“xab”的概率为p1，这是一个几何概型，则（2）因为a，bz，且aa，bb，所以，基本事件共12个：（2，1），（2，0），（2，1），（2，2），（1，1），（1，0），（1，1），（1，2），（0，1），（0，0），（0，1），（0，2）设事件e为“baab”，则事件e中包含9个基本事件，事件e的概率点评：本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型19在如图所示的空间几何体中，平面acd平面abc，acd与acb是边长为2的等边三角形，be=2，be和平面abc所成的角为60，且点e在平面abc上的射影落在abc的平分线上（）求证：de平面abc；（）求三棱锥bace的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）取ac中点o，连接bo、do，等边三角形acd中，doac，结合面面垂直的性质，得d0平面abc再过e作ef平面abc，可以证出四边形defo是平行四边形，得deof，结合线面平行的判定定理，证出de平面abc；（2）三棱锥eabc中，判断出ef是平面abc上的高，最后用锥体体积公式，即可得到三棱锥eabc的体积解答：解：（1）取ac中点o，连接bo、do，abc，acd都是边长为2的等边三角形，boac，doac；平面acd平面abc，平面acd平面abc=acdo平面abc，过e作ef平面abc，那么efdo，根据题意，点f落在bo上，易求得ef=do=，所以四边形defo是平行四边形，得deof，de平面abc，of平面abc，de平面abc（2）平面acd平面abc，平面acd平面abc=ac，odac，od平面acb；又doef，ef平面bac，三棱锥eabc的体积v2=sabcef=4=点评：本题给出两个三棱锥拼接成多面体，求证线面平行并且求它的分割的几何体的体积，着重考查了面面垂直的性质、线面平行的判定和锥体体积公式等知识，属于中档题20椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为（）求椭圆c的方程；（）过点d（0，4）的直线l与椭圆c交于两点e，f，o为坐标原点，若oef为直角三角形，求直线l的斜率考点：椭圆的应用 专题：计算题分析：（）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆c的方程（）根据题意，过点d（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，再由根与系数的关系求解解答：解：（）由已知，a2+b2=5，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆c的方程为；（）根据题意，过点d（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，=（32k）2240（1+4k2）=64k2240，令0，解得设e，f两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（）当eof为直角时，则，因为eof为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，所以，解得（）当oef或ofe为直角时，不妨设oef为直角，此时，koek=1，所以，即x12=4y1y12，又；，将代入，消去x1得3y12+4y14=0，解得或y1=2（舍去），将代入，得，所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答21已知ar，函数f（x）=2x33（a+1）x2+6ax（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若|a|1，求f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值解答：解：（）当a=1时，f（x）=6x212x+6，所以f（2）=6f（2）=4，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y=6x8；（）记g（a）为f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值f（x）=6x26（a+1）x+6a=6（x1）（xa）令f（x）=0，得到x1=1，x2=a当a1时，x0（0，1）1（1，a）a（a，2a）2af（x）+00+f（x）0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2（3a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3a）的大小可得g（a）=；当a1时，x0（0，1）1（1，2a）2afx）0+f（x）0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2g（a）=3a1f（x）在闭区间0，|2a|上的最小值为g（a）=点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题22选修41：几何证明选讲如图所示，已知pa与o相切，a为切点，过点p的割线交圆于b、c两点，弦cdap，ad、bc相交于点e，f为ce上一点，且de2=efec（1）求证：ceeb=efep；（2）若ce：be=3：2，de=3，ef=2，求pa的长考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题分析：（i）由已知可得defced，得到edf=c由平行线的性质可得p=c，于是得到edf=p，再利用对顶角的性质即可证明edfepa于是得到eaed=efep利用相交弦定理可得eaed=ceeb，进而证明结论；（ii）利用（i）的结论可得bp=，再利用切割线定理可得pa2=pbpc，即可得出pa解答：（i）证明：de2=efec，def公用，defced，edf=c又弦cdap，p=c，edf=p，def=peaedfepa，eaed=efep又eaed=ceeb，ceeb=efep；（ii）de2=efec，de=3，ef=232=2ec，ce：be=3：2，be=3由（i）可知：ceeb=efep，解得ep=，bp=epeb=pa是o的切线，pa2=pbpc，解得