高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式课件 北师大版选修45.ppt

3平均值不等式 2 平均值不等式 名师点拨1 定理2的常见变形 2 利用平均值不等式求最值对两个正实数a b 1 若它们的和s是定值 则当且仅当x y时 它们的积p取得最大值 2 若它们的积p是定值 则当且仅当x y时 它们的和s取得最小值 对于三个正数a b c 利用平均值不等式求最值的条件是 一正 二定 三相等 即 1 各项或各因式均为正 2 和或积为定值 3 各项或各因式能取得相等的值 答案 做一做2 若正数a1 a2 a3满足a1a2a3 8 则有 答案 b 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析根据题设条件 合理变形 创造出能应用平均值不等式的条件和形式 然后应用平均值不等式求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟平均值不等式的基本功能在于 和与积 的相互转化 利用平均值不等式求最值时 给定的形式不一定能直接应用平均值不等式 往往需要拆添项或配凑因式 一般是凑积或和是定值的形式 构造出平均值不等式的形式再进行求解 求解时一定注意平均值不等式成立的条件 各项或各因式应为正 和或积为定值 各项或各因式能取到使等号成立的值 简记为 一正 二定 三相等 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 1 已知0 x 2 则函数f x x 2 x 的最大值等于 2 函数y 2cos2x sin4x的最大值等于 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析 1 考虑到a b c 1 可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a b c 化简后再利用平均值不等式 然后根据不等式的性质证明 2 因为左边有分式 也有整式的形式 所以要两次利用平均值不等式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧 1 用平均值不等式证明不等式时 应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形 使之具备平均值不等式的结构和条件 然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明 2 对含条件的不等式的证明问题 要将条件与结论结合起来 找出变形的思路 构造出平均值不等式 切忌两次使用平均值不等式用传递性证明 因为这样有可能导致等号不能取到 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 已知26辆货车以相同速度v由a地驶向400km处的b地 每两辆货车间距离为dkm 现知d与速度v的平方成正比 且当v 20km h时 d 1km 1 写出d关于v的函数关系式 2 若不计货车的长度 则26辆货车都到达b地最少需要多少小时 此时货车速度为多少 分析对于 1 可由已知数据代入求得 2 先列出时间与速度的关系式 再借助平均值不等式求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用平均值不等式求解实际问题时的注意点 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需利用平均值不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3制造容积为m3的无盖圆柱形桶 用来做底面的金属板的价格为每平方米30元 用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元 要使用料成本最低 则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得本题错解中忽视了平均值不等式中等号成立的条件 没有注意到两次运用平均值不等式时等号成立的条件不一致 从而导致错误 连续使用平均值不等式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 因此尽量不要连续两次以上使用平均值不等式 若使用两次时应保证两次等号成立的条件相同 此外 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时 通常的办法是变量替换或常值 1 的替换 即由已知条件得到某个式子的值为常数 然后将欲求最值的代数式乘 1 再对代数式进行变形整理 从而可利用平均值不等式求最值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 3 若长方体的体积为8 则其表面积的最小值等于 解析 设长方体的三条相交于同一