3月中考数学 特殊四边形证明及计算提高练习.doc

中考特殊四边形证明及计算提高练习平行四边形1（2012威海）（1）如图，abcd的对角线ac，bd交于点o，直线ef过点o，分别交ad，bc于点e，f求证：ae=cf（2）如图，将abcd（纸片）沿过对角线交点o的直线ef折叠，点a落在点a1处，点b落在点b1处，设fb1交cd于点g，a1b1分别交cd，de于点h，i求证：ei=fg2（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点p（ x1，y1）、q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为运用（1）如图，矩形onef的对角线相交于点m，on、of分别在x轴和y轴上，o为坐标原点，点e的坐标为（4，3），则点m的坐标为_（2）在直角坐标系中，有a（1，2），b（3，1），c（1，4）三点，另有一点d与点a、b、c构成平行四边形的顶点，求点d的坐标3（2007黑龙江）在abc中，ab=ac，点p为abc所在平面内一点，过点p分别作peac交ab于点e，pfab交bc于点d，交ac于点f若点p在bc边上（如图1），此时pd=0，可得结论：pd+pe+pf=ab请直接应用上述信息解决下列问题：当点p分别在abc内（如图2），abc外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，pd，pe，pf与ab之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明4（2006泰安）如图，矩形abcd的对角线交于点o，aebd，cfbd，垂足分别为e，f，连接af，ce（1）求证：四边形aecf是平行四边形；（2）若bad的平分线与fc的延长线交于点g，则acg是等腰三角形吗？并说明理由5（2006陕西）如图，在rtabc中，bac=90，e，f分别是bc，ac的中点，延长ba到点d，使ad=ab连接de，df（1）求证：af与de互相平分；（2）若bc=4，求df的长6如图，以abc三边为边在bc同侧作三个等边abd、bce、acf请回答下列问题：（1）求证：四边形adef是平行四边形；（2）当abc满足什么条件时，四边形adef是矩形菱形7（2010盘锦）如图，abc是等边三角形，点d是边bc上的一点，以ad为边作等边ade，过点c作cfde交ab于点f（1）若点d是bc边的中点（如图），求证：ef=cd；（2）在（1）的条件下直接写出aef和abc的面积比；（3）若点d是bc边上的任意一点（除b、c外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由8（2011海南）如图，在菱形abcd中，a=60，点p、q分别在边ab、bc上，且ap=bq（1）求证：bdqadp；（2）已知ad=3，ap=2，求cosbpq的值（结果保留根号）9（2009龙岩）在边长为6的菱形abcd中，动点m从点a出发，沿abc向终点c运动，连接dm交ac于点n（1）如图1，当点m在ab边上时，连接bn：求证：abnadn；若abc=60，am=4，abn=，求点m到ad的距离及tan的值（2）如图2，若abc=90，记点m运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，adn为等腰三角形10（2007常德）如图1，已知四边形abcd是菱形，g是线段cd上的任意一点时，连接bg交ac于f，过f作fhcd交bc于h，可以证明结论成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若g在cd的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形abcd中ab=6，adc=60，g在直线cd上，且cg=16，连接bg交ac所在的直线于f，过f作fhcd交bc所在的直线于h，求bg与fg的长（3）发现：通过上述过程，你发现g在直线cd上时，结论还成立吗？11（2001河北）如图，在菱形abcd中，ab=10，bad=60度点m从点a以每秒1个单位长的速度沿着ad边向点d移动；设点m移动的时间为t秒（0t10）（1）点n为bc边上任意一点，在点m移动过程中，线段mn是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点n从点b（与点m出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着bc边向点c移动，在什么时刻，梯形abnm的面积最大并求出面积的最大值；（3）点n从点b（与点m出发的时刻相同）以每秒a（a2）个单位长的速度沿着射线bc方向（可以超越c点）移动，过点m作mpab，交bc于点p当mpnabc时，设mpn与菱形abcd重叠部分的面积为s，求出用t表示s的关系式，井求当s=0时的值矩形12（2002无锡）已知：如图，矩形abcd中，ab=2，ad=3，e、f分别是ab、cd的中点（1）在边ad上取一点m，使点a关于bm的对称点c恰好落在ef上设bm与ef相交于点n，求证：四边形angm是菱形；（2）设p是ad上一点，pfb=3fbc，求线段ap的长13如图，在下列矩形abcd中，已知：ab=a，bc=b（ab），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（）、（）、（）三个命题：命题（）：图中，若ah=bg=ab，则四边形abgh是矩形abcd的内接菱形；命题（）：图中，若点e、f、g和h分别是ab、bc、cd和de的中点，则四边形efgh是矩形abcd的内接菱形；命题（）：图中，若ef垂直平分对角线ac，变bc于点e，交ad于点f，交ac于点o，则四边形aecf是矩形abcd的内接菱形请解决下列问题：（1）命题（）、（）、（）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）（3）试探究比较图，中的四边形abgh、efgh、aecf的面积大小关系14在平行四边形abcd中，bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc的延长线于点f，以ec、cf为邻边作平行四边形ecfg（1）如图1，证明平行四边形ecfg为菱形；（2）如图2，若abc=90，m是ef的中点，求bdm的度数；（3）如图3，若abc=120，请直接写出bdg的度数15如图1，在abc中，ab=bc=5，ac=6ecd是abc沿bc方向平移得到的，连接ae、ac和be相交于点o（1）判断四边形abce是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，p是线段bc上一动点（图2），（不与点b、c重合），连接po并延长交线段ae于点q，qrbd，垂足为点r四边形pqed的面积是否随点p的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形pqed的面积16（2011清远）如图，在矩形abcd中，e是bc边上的点，ae=bc，dfae，垂足为f，连接de（1）求证：ab=df；（2）若ad=10，ab=6，求tanedf的值17（2010大庆）已知：如图，正方形abcd与矩形defg的边ad、de在同一直线l上，点g在cd上正方形abcd的边长为a，矩形defg的长de为b，宽dg为3（其中ab3）若矩形defg沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点d、e始终在直线l上）若矩形defg在运动过程中与正方形abcd的重叠部分的面积记作s，运动时间记为t秒（0tm），其中s与t的函数图象如图所示矩形defg的顶点经运动后的对应点分别记作d、e、f、g（1）根据题目所提供的信息，可求得b=_，a=_，m=_；（2）连接ag、cf，设以ag和cf为边的两个正方形的面积之和为y，求当0t5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；（3）如图，这是在矩形defg运动过程中，直线ag第一次与直线cf垂直的情形，求此时t的值并探究：在矩形defg继续运动的过程中，直线ag与直线cf是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由18（2005淮安）已知：平行四边形abcd的对角线交点为o，点e、f分别在边ab、cd上，分别沿de、bf折叠四边形abcd，a、c两点恰好都落在o点处，且四边形debf为菱形（如图）（1）求证：四边形abcd是矩形；（2）在四边形abcd中，求的值19如图，已知矩形abcd，ad=4，cd=10，p是ab上一动点，m、n、e分别是pd、pc、cd的中点（1）求证：四边形pmen是平行四边形；（2）请直接写出当ap为何值时，四边形pmen是菱形；（3）四边形pmen有可能是矩形吗？若有可能，求出ap的长；若不可能，请说明理由20如图：矩形abcd中，ab=2，bc=5，e、p分别在ad、bc上，且de=bp=1（1）判断bec的形状，并说明理由？（2）判断四边形efph是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形efph的面积正方形21（2012黑龙江）在abc中，bac=90，ab=ac，若点d在线段bc上，以ad为边长作正方形adef，如图1，易证：afc=acb+dac；（1）若点d在bc延长线上，其他条件不变，写出afc、acb、dac的关系，并结合图2给出证明；（2）若点d在cb延长线上，其他条件不变，直接写出afc、acb、dac的关系式22（2012常德）已知四边形abcd是正方形，o为正方形对角线的交点，一动点p从b开始，沿射线bc运动，连接dp，作cndp于点m，且交直线ab于点n，连接op，on（当p在线段bc上时，如图1：当p在bc的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：bn=cp；op=on，且opon；（2）设ab=4，bp=x，试确定以o、p、b、n为顶点的四边形的面积y与x的函数关系23（2011来宾）已知正方形abcd的对角线ac与bd交于点o，点e、f分别是ob、oc上的动点，（1）如果动点e、f满足be=cf（如图1）：写出所有以点e或f为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；证明：aebf；（2）如果动点e、f满足be=of（如图2），问当aebf时，点e在什么位置，并证明你的结论24（2011河北）如图，四边形abcd是正方形，点e，k分别在bc，ab上，点g在ba的延长线上，且ce=bk=ag（1）求证：de=dg； dedg（2）尺规作图：以线段de，dg为边作出正方形defg（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的kf，猜想并写出四边形cefk是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值25（2011阜新）如图，点p是正方形abcd对角线ac上一动点，点e在射线bc上，且pb=pe，连接pd，o为ac中点（1）如图1，当点p在线段ao上时，试猜想pe与pd的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点p在线段oc上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点p在ac的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由26（2006内江）如图：四边形abcd中，e、f、g、h分别为各边的中点，顺次连接e、f、g、h，把四边形efgh称为中点四边形连接ac、bd，容易证明：中点四边形efgh一定是平行四边形（1）如果改变原四边形abcd的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形abcd的对角线满足ac=bd时，四边形efgh为菱形当四边形abcd的对角线满足_时，四边形efgh为矩形；当四边形abcd的对角线满足_时，四边形efgh为正方形；（2）探索三角形aeh、三角形cfg与四边形abcd的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；（3）如果四边形abcd的面积为2，那么中点四边形efgh的面积是多少？27如图，四边形abcd是正方形，点p是bc上任意一点，deap于点e，bfap于点f，chde于点h，bf的延长线交ch于点g（1）求证：afbf=ef；（2）四边形efgh是什么四边形？并证明；（3）若ab=2，bp=1，求四边形efgh的面积28如图，在正方形abcd中，点m在边ab上，点n在边ad的延长线上，且bm=dn点e为mn的中点，de的延长线与ac相交于点f试猜想线段df与线段ac的关系，并证你的猜想29在图1到图3中，点o是正方形abcd对角线ac的中点，mpn为直角三角形，mpn=90正方形abcd保持不动，mpn沿射线ac向右平移，平移过程中p点始终在射线ac上，且保持pm垂直于直线ab于点e，pn垂直于直线bc于点f（1）如图1，当点p与点o重合时，oe与of的数量关系为_；（2）如图2，当p在线段oc上时，猜想oe与of有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点p在ac的延长线上时，oe与of的数量关系为_；位置关系为_30以abc的各边，在边bc的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形abdi，bcfe，achg，试探究：（1）如图中四边形adeg是什么四边形？并说明理由（2）当abc满足什么条件时，四边形adeg是矩形？（3）当abc满足什么条件时，四边形adeg是正方形？初中数学中考特殊四边形证明及计算组卷参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012威海）（1）如图，abcd的对角线ac，bd交于点o，直线ef过点o，分别交ad，bc于点e，f求证：ae=cf（2）如图，将abcd（纸片）沿过对角线交点o的直线ef折叠，点a落在点a1处，点b落在点b1处，设fb1交cd于点g，a1b1分别交cd，de于点h，i求证：ei=fg考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）718351 分析：（1）由四边形abcd是平行四边形，可得adbc，oa=oc，又由平行线的性质，可得1=2，继而利用asa，即可证得aoecof，则可证得ae=cf（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得a1e=cf，a1=a=c，b1=b=d，继而可证得a1iecgf，即可证得ei=fg解答：证明：（1）四边形abcd是平行四边形，adbc，oa=oc，1=2，在aoe和cof中，aoecof（asa），ae=cf；（2）四边形abcd是平行四边形，a=c，b=d，由（1）得ae=cf，由折叠的性质可得：ae=a1e，a1=a，b1=b，a1e=cf，a1=a=c，b1=b=d，又1=2，3=4，5=3，4=6，5=6，在a1ie与cgf中，a1iecgf（aas），ei=fg点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用2（2011贵阳）阅读在平面直角坐标系中，以任意两点p（ x1，y1）、q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为运用（1）如图，矩形onef的对角线相交于点m，on、of分别在x轴和y轴上，o为坐标原点，点e的坐标为（4，3），则点m的坐标为（2，1.5）（2）在直角坐标系中，有a（1，2），b（3，1），c（1，4）三点，另有一点d与点a、b、c构成平行四边形的顶点，求点d的坐标考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质718351 专题：几何综合题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点e的坐标即可得出答案（2）根据题意画出图形，然后可找到点d的坐标解答：解：（1）m（，），即m（2，1.5）（2）如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设d点的坐标为（x，y），以点a、b、c、d构成的四边形是平行四边形，当ab为对角线时，a（1，2），b（3，1），c（1，4），bc=，ad=，1+31=1，2+14=1，d点坐标为（1，1），当bc为对角线时，a（1，2），b（3，1），c（1，4），ac=2，bd=2，d点坐标为（5，3）当ac为对角线时，a（1，2），b（3，1），c（1，4），ab=，cd=，d点坐标为：（3，5），综上所述，符合要求的点有：d（1，1），d（3，5），d（5，3）点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法3（2007黑龙江）在abc中，ab=ac，点p为abc所在平面内一点，过点p分别作peac交ab于点e，pfab交bc于点d，交ac于点f若点p在bc边上（如图1），此时pd=0，可得结论：pd+pe+pf=ab请直接应用上述信息解决下列问题：当点p分别在abc内（如图2），abc外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，pd，pe，pf与ab之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明考点：平行四边形的性质718351 专题：探究型分析：在图2中，因为四边形peaf为平行四边形，所以pe=af，又三角形fdc为等腰三角形，所以fd=pf+pd=fc，即pe+pd+pf=ac=ab，在图3中，pe=af可证，fd=pfpd=cf，即pfpd+pe=ac=ab解答：解：图2结论：pd+pe+pf=ab证明：过点p作mnbc分别交ab，ac于m，n两点，peac，pfab，四边形aepf是平行四边形，mnbc，pfab四边形bdpm是平行四边形，ae=pf，epm=anm=c，ab=ac，emp=b，emp=epm，pe=em，pe+pf=ae+em=am四边形bdpm是平行四边形，mb=pdpd+pe+pf=mb+am=ab，即pd+pe+pf=ab图3结论：pe+pfpd=ab点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键4（2006泰安）如图，矩形abcd的对角线交于点o，aebd，cfbd，垂足分别为e，f，连接af，ce（1）求证：四边形aecf是平行四边形；（2）若bad的平分线与fc的延长线交于点g，则acg是等腰三角形吗？并说明理由考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质718351 专题：证明题；几何综合题；探究型分析：（1）根据矩形的性质可知：ab=cd，abe=cdf，aeb=cfd=90，得到abecdf，所以aecf，ae=cf，可证四边形aecf为平行四边形；（2）因为aefg，得到g=gae利用ag平分bad，得到bag=dag，从而求得oda=dao所以cag=g，可得cag是等腰三角形解答：（1）证明：矩形abcd，abcd，ab=cdabe=cdf，又aeb=cfd=90，aecf，abecdf，ae=cf四边形aecf为平行四边形（2）解：acg是等腰三角形理由如下：aefg，g=gaeag平分bad，bag=dag又oa=ac=bd=od，oda=daobae与abe互余，adb与abd互余，bae=adebae=dao，eag=cag，cag=g，cag是等腰三角形点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、ssa、hl判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件5（2006陕西）如图，在rtabc中，bac=90，e，f分别是bc，ac的中点，延长ba到点d，使ad=ab连接de，df（1）求证：af与de互相平分；（2）若bc=4，求df的长考点：平行四边形的判定718351 专题：计算题；证明题分析：（1）连接ef、ae，证四边形aefd是平行四边形即可（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得ae长即可解答：（1）证明：连接ef，ae点e，f分别为bc，ac的中点，efab，ef=ab又ad=ab，ef=ad又efad，四边形aefd是平行四边形af与de互相平分（2）解：在rtabc中，e为bc的中点，bc=4，ae=bc=2又四边形aefd是平行四边形，df=ae=2点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6如图，以abc三边为边在bc同侧作三个等边abd、bce、acf请回答下列问题：（1）求证：四边形adef是平行四边形；（2）当abc满足什么条件时，四边形adef是矩形考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定718351 专题：证明题；探究型分析：1、本题可根据三角形全等证得de=af，ad=ef，即可知四边形adef是平行四边形2、要使四边形adef是矩形，必须让fad=90，则bac=360906060=150解答：证明：（1）等边abd、bce、acf，db=ab，be=bc又dbe=60eba，abc=60eba，dbe=abcdbecbade=ac又ac=af，af=de同理可证：abcfce，证得ef=ad四边形adef是平行四边形（2）假设四边形abcd是矩形，四边形adef是矩形，daf=90又等边abd、bce、acf，dab=fac=60bac=360daffacdab=150当abc满足bac=150时，四边形adef是矩形点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定7（2010盘锦）如图，abc是等边三角形，点d是边bc上的一点，以ad为边作等边ade，过点c作cfde交ab于点f（1）若点d是bc边的中点（如图），求证：ef=cd；（2）在（1）的条件下直接写出aef和abc的面积比；（3）若点d是bc边上的任意一点（除b、c外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质718351 专题：证明题分析：（1）根据abc和aed是等边三角形，d是bc的中点，edcf，求证abdcaf，进而求证四边形edcf是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出aef和abc的面积比；（3）根据edfc，结合acb=60，得出acf=bad，求证abdcaf，得出ed=cf，进而求证四边形edcf是平行四边形，即可证明ef=dc解答：（1）证明：abc是等边三角形，d是bc的中点，adbc，且bad=bac=30，aed是等边三角形，ad=ae，ade=60，edb=90ade=9060=30，edcf，fcb=edb=30，acb=60，acf=acbfcb=30，acf=bad=30，在abd和caf中，abdcaf（asa），ad=cf，ad=ed，ed=cf，又edcf，四边形edcf是平行四边形，ef=cd（2）解：aef和abc的面积比为：1：4；（3）解：成立理由如下：edfc，edb=fcb，afc=b+bcf=60+bcf，bda=ade+edb=60+edbafc=bda，在abd和caf中，abdcaf（aas），ad=fc，ad=ed，ed=cf，又edcf，四边形edcf是平行四边形，ef=dc点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大8（2011海南）如图，在菱形abcd中，a=60，点p、q分别在边ab、bc上，且ap=bq（1）求证：bdqadp；（2）已知ad=3，ap=2，求cosbpq的值（结果保留根号）考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形718351 专题：几何综合题分析：（1）由四边形abcd是菱形，可证得ad=ab，abd=cbd=abc，adbc，又由a=60，易得abd是等边三角形，然后由sas即可证得bdqadp；（2）首先过点q作qeab，交ab的延长线于e，然后由三角函数的性质，即可求得pe与qe的长，又由勾股定理，即可求得pq的长，则可求得cosbpq的值解答：（1）证明：四边形abcd是菱形，ad=ab，abd=cbd=abc，adbc，a=60，abd是等边三角形，abc=120，ad=bd，cbd=a=60，ap=bq，bdqadp（sas）；（2）解：过点q作qeab，交ab的延长线于e，bq=ap=2，adbc，qbe=60，qe=qbsin60=2=，be=qbcos60=2=1，ab=ad=3，pb=abap=32=1，pe=pb+be=2，在rtpqe中，pq=，cosbpq=点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用9（2009龙岩）在边长为6的菱形abcd中，动点m从点a出发，沿abc向终点c运动，连接dm交ac于点n（1）如图1，当点m在ab边上时，连接bn：求证：abnadn；若abc=60，am=4，abn=，求点m到ad的距离及tan的值（2）如图2，若abc=90，记点m运动所经过的路程为x（6x12）试问：x为何值时，adn为等腰三角形考点：菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形718351 专题：动点型分析：（1）三角形abn和adn中，不难得出ab=ad，dac=cab，an是公共边，根据sas即可判定两三角形全等通过构建直角三角形来求解作mhda交da的延长线于点h由（1）可得mda=abn，那么m到ad的距离和就转化到直角三角形mdh和mah中，然后根据已知条件进行求解即可（2）本题要分三种情况即：nd=na，dn=da，an=ad进行讨论解答：解：（1）证明：四边形abcd是菱形，ab=ad，1=2又an=an，abnadn（sas）作mhda交da的延长线于点h由adbc，得mah=abc=60在rtamh中，mh=amsin60=4sin60=2点m到ad的距离为2ah=2dh=6+2=8在rtdmh中，tanmdh=，由知，mdh=abn=，tan=；（2）abc=90，菱形abcd是正方形cad=45下面分三种情形：（）若nd=na，则adn=nad=45此时，点m恰好与点b重合，得x=6；（）若dn=da，则dna=dan=45此时，点m恰好与点c重合，得x=12；（）若an=ad=6，则1=2adbc，1=4，又2=3，3=4cm=cnac=6cm=cn=acan=66故x=12cm=12（66）=186综上所述：当x=6或12或186时，adn是等腰三角形点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况10（2007常德）如图1，已知四边形abcd是菱形，g是线段cd上的任意一点时，连接bg交ac于f，过f作fhcd交bc于h，可以证明结论成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若g在cd的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形abcd中ab=6，adc=60，g在直线cd上，且cg=16，连接bg交ac所在的直线于f，过f作fhcd交bc所在的直线于h，求bg与fg的长（3）发现：通过上述过程，你发现g在直线cd上时，结论还成立吗？考点：菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例718351 专题：综合题；压轴题分析：（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；（2）首先应画出两个不同的图形进行分析构造30的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，gq=16+3=19或163=13，然后根据勾股定理计算bg的长，进一步根据比例式求得fg的长；（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论解答：解：（1）结论成立证明：由已知易得fhab，fhgc，（2）g在直线cd上，分两种情况讨论如下：g在cd的延长线上时，dg=10，如图1，过b作bqcd于q，由于四边形abcd是菱形，adc=60，bc=ab=6，bcq=60，bq=3，cq=3，bg=又由fhgc，可得，而cfh是等边三角形，bh=bchc=bcfh=6fh，fh=，由（1）知，fg=g在dc的延长线上时，cg=16，如图2，过b作bqcg于q，四边形abcd是菱形，adc=60，bc=ab=6，bcq=60bq=3，cq=3bg=14又由fhcg，可得，bh=hcbc=fhbc=fh6，fh=fhcg，bf=1416=fg=14+（3）g在dc的延长线上时，成立结合上述过程，发现g在直线cd上时，结论还成立点评：证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明11（2001河北）如图，在菱形abcd中，ab=10，bad=60度点m从点a以每秒1个单位长的速度沿着ad边向点d移动；设点m移动的时间为t秒（0t10）（1）点n为bc边上任意一点，在点m移动过程中，线段mn是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点n从点b（与点m出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着bc边向点c移动，在什么时刻，梯形abnm的面积最大并求出面积的最大值；（3）点n从点b（与点m出发的时刻相同）以每秒a（a2）个单位长的速度沿着射线bc方向（可以超越c点）移动，过点m作mpab，交bc于点p当mpnabc时，设mpn与菱形abcd重叠部分的面积为s，求出用t表示s的关系式，井求当s=0时的值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质718351 专题：压轴题分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积（3）易得mnp的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可解答：解：（1）设：bn=a，cn=10a（0a10）因为，点m从点a以每秒1个单位长的速度沿着ad边向点d移动，点m移动的时间为t秒（0t10）所以，am=1t=t（0t10），md=10t（0t10）所以，梯形amnb的面积=（am+bn）菱形高2=（t+a）菱形高2；梯形mncd的面积=（md+nc）菱形高2=（10t）+（10a）菱形高2当梯形amnb的面积=梯形mncd的面积时，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，当t+a=10，（0t10），（0a10）时，可出现线段mn一定可以将菱形分割成面积相等的两部分（2）点n从点b以每秒2个单位长的速度沿着bc边向点c移动，设点n移动的时间为t，可知0t5，因为ab=10，bad=60，所以菱形高=5，am=1t=t，bn=2t=2t所以梯形abnm的面积=（am+bn）菱形高2=3t5=t（0t5）所以当t=5时，梯形abnm的面积最大，其数值为（3）当mpnabc时，则abc的面积=mpn的面积，则mpn的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有mnac，n在c点外，所以不重合处面积为（at10）2重合处为s=25，当s=0时，即pm在cd上，a=2点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件12（2002无锡）已知：如图，矩形abcd中，ab=2，ad=3，e、f分别是ab、cd的中点（1）在边ad上取一点m，使点a关于bm的对称点c恰好落在ef上设bm与ef相交于点n，求证：四边形angm是菱形；（2）设p是ad上一点，pfb=3fbc，求线段ap的长考点：菱形的判定；矩形的性质718351 专题：计算题；证明题分析：（1）设ag交mn于o，由题意易得ao=go，agmn，要证四边形angm是菱形，还需证明om=on，又可证明adefbcmo：on=ao：og=1：1，mo=no；（2）连接af，由题意可证得pfa=fbc=paf，pa=pf，pa=，求得pa=解答：（1）证明：设ag交mn于o，则a、g关于bm对称，ao=go，agmne、f分别是矩形abcd中ab、cd的中点，ae=be，aedf且ae=df，adefbcmo：on=ao：og=1：1mo=noag与mn互相平分且互相垂直四边形angm是菱形（2）解：连接af，adefbc，paf=afe，efb=fbc又efab，ae=be，af=bf，afe=efbpaf=afe=efb=fbcpfb=pfa+afe+efb=pfa+2fbc=3fbcpfa=fbc=pafpa=pf在rtpfd中，根据勾股定理得：pa=pf=，解得：pa=点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力对角线互相垂直平分的四边形是菱形13如图，在下列矩形abcd中，已知：ab=a，bc=b（ab），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（）、（）、（）三个命题：命题（）：图中，若ah=bg=ab，则四边形abgh是矩形abcd的内接菱形；命题（）：图中，若点e、f、g和h分别是ab、bc、cd和de的中点，则四边形efgh是矩形abcd的内接菱形；命题（）：图中，若ef垂直平分对角线ac，变bc于点e，交ad于点f，交ac于点o，则四边形aecf是矩形abcd的内接菱形请解决下列问题：（1）命题（）、（）、（）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）（3）试探究比较图，中的四边形abgh、efgh、aecf的面积大小关系考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理718351 分析：（1）先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；根据三角形中位线定理得到四条边都相等；先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a2b，a=2b和a2b三种情况讨论解答：解：（1）都是真命题；若选（）证明如下：矩形abcd，adbc，ah=bg，四边形abgh是平行四边形，ab=hg，ab=hg=ah=bg，四边形abgh是菱形；若选（），证明如下：矩形abcd，ab=cd，ad=bc，a=b=c=d=90，e、f、g、h是中点，ae=be=cg=dg，ah=hd=bf=fc，aehbefdghgcf，ef=fg=gh=he，四边形efgh是菱形；若选（），证明如下ef垂直平分ac，fa=fc，ea=ec，又矩形abcd，adbc，fac=eca，在aof和coe中，adfcoe（sas）af=ce，af=fc=ce=ea，四边形aecf是菱形；（2）如图4所示：ah=cf，eg垂直平分对角线fh，四边形hefg是菱形；（3）sabgh=a2 ，sefgh=ab，s菱形aecf=，a2=0（ba）s菱形aecfsabghab=0，s菱形aecfsefgha2 ab=a（ab）当ab，即0b2a时，s菱形abghs菱形efgh；当a=b，即b=2a时，s菱形abgh=s菱形efgh；当ab，即ba时，s菱形abghs菱形efgh综上所述：当ob2a时，sefghsabghs菱形aecf当b=2a时，sefgh=sabghs菱形aecf 当b2a时 sabghsefghs菱形aecf点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点注意第（3）题需要分类讨论，以防错解14在平行四边形abcd中，bad的平分线交直线bc于点e，交直线dc的延长线于点f，以ec、cf为邻边作平行四边形ecfg（1）如图1，证明平行四边形ecfg为菱形；（2）如图2，若abc=90，m是ef的中点，求bdm的度数；（3）如图3，若abc=120，请直接写出bdg的度数考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行