高考数学总复习 7.2 一元二次不等式及其解法课件 文 新人教B版.ppt

7 2一元二次不等式及其解法 考纲要求 1 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的关系 3 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的程序框图 1 三个二次 之间的关系 2 常用结论 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 口诀 大于取两边 小于取中间 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c 0的解集为 x1 x2 则必有a 0 3 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 4 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为r 5 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 答案 1 2 3 4 5 1 教材改编 不等式x2 3x 10 0的解集是 a 2 5 b 5 c 2 d 2 5 解析 解方程x2 3x 10 0得x1 2 x2 5 由y x2 3x 10的开口向上 所以x2 3x 10 0的解集为 2 5 答案 d 2 设集合m x x2 3x 4 0 n x 0 x 5 则m n等于 a 0 4 b 0 4 c 1 0 d 1 0 解析 m x x2 3x 4 0 x 1 x 4 m n 0 4 答案 b 答案 a 4 教材改编 若关于x的不等式m x 1 x2 x的解集为 x 1 x 2 则实数m的值为 解析 因为m x 1 x2 x的解集为 x 1 x 2 所以1 2一定是m x 1 x2 x的解 m 2 答案 2 5 教材改编 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围为 解析 由题意可知 0且x1x2 a2 1 0 故 1 a 1 答案 1 1 题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式 例1 求不等式 2x2 x 3 0的解集 命题点2含参不等式 例2 2016 青岛模拟 求不等式12x2 ax a2 a r 的解集 引申探究 将原不等式改为ax2 a 1 x 1 0 求不等式的解集 方法规律 含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨论 1 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是否为正数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则可依据判别式符号进行分类讨论 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是否为零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为零的情形 以便确定解集的形式 3 对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 跟踪训练1 2016 河北唐山一模 已知不等式ax2 3x 6 4的解集为 x x 1或x b 1 求a b 2 解不等式ax2 ac b x bc 0 解析 1 因为不等式ax2 3x 6 4的解集为 x x 1或x b 所以x1 1与x2 b是方程ax2 3x 2 0的两个实数根 且b 1 由根与系数的关系 得 综上所述 当c 2时 不等式ax2 ac b x bc 0的解集为 x 2 x c 当c 2时 不等式ax2 ac b x bc 0的解集为 x c x 2 当c 2时 不等式ax2 ac b x bc 0的解集为 题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在r上恒成立 例3 1 2016 江西南昌二中第三次考试 若不等式 a 3 x2 2 a 3 x 4 0对一切x r恒成立 则实数a取值的集合为 a 3 b 1 3 c 1 3 d 1 3 答案 1 d 2 0 1 命题点3给定参数范围的恒成立问题 例5 对任意m 1 1 函数f x x2 m 4 x 4 2m的值恒大于零 求x的取值范围 解析 由f x x2 m 4 x 4 2m x 2 m x2 4x 4 令g m x 2 m x2 4x 4 由题意知在 1 1 上 g m 的值恒大于零 方法规律 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 跟踪训练2 1 若不等式x2 2x 5 a2 3a对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 a 1 4 b 2 5 c 1 4 d 2 5 2 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 解析 1 x2 2x 5 x 1 2 4的最小值为4 所以x2 2x 5 a2 3a对任意实数x恒成立 只需a2 3a 4 解得 1 a 4 2 作出二次函数f x 的草图 对于任意x m m 1 都有f x 0 方法规律 求解不等式应用题的四个步骤 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 将文字信息转化为符号语言 用不等式表示不等关系 建立相应的数学模型 3 解不等式 得出数学结论 要注意数学模型中自变量的实际意义 4 回归实际问题 将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 思维点拨 1 考虑 三个二次 间的关系 2 将恒成立问题转化为最值问题求解 即当x 1时 a x2 2x g x 恒成立 而g x x2 2x x 1 2 1在 1 上单调递减 g x max g 1 3 故a 3 实数a的取值范围是 a a 3 答案 1 9 2 a a 3 温馨提醒 1 本题的解法充分体现了转化与化归思想 函数的值域和不等式的解集转化为a b满足的条件 不等式恒成立可以分离常数 转化为函数值域问题 2 注意函数f x 的值域为 0 与f x 0的区别 方法与技巧1 三个二次 的关系是解一元二次不等式的理论基础 一般可把a 0时的情形转化为a 0时的情形 2 f x 0的解集即为函数y f x 的图象在x轴上方的点的横坐标的集合 充