高中数学教学论文 利用几何画板探索轨迹的教学 新人教版.doc

利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图1，过椭圆()的左焦点f1作弦ab。现在来研究焦点弦ab有关的问题。轨迹1 过原点o作弦ab的垂线，垂足为m，求点m的轨迹方程。 图1 图2几何画板演示：拖动主动点a在椭圆上转动或制作点a在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点m，得到点m的轨迹是一个小圆。如图2“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦ab所在直线的斜率为k，则ab的垂线的斜率为，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)m的坐标，最后消去参数k就得到点m的轨迹方程。哇！好复杂。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以of1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：因为omab ，所以|om|2 +|f1m|2 = |of1|2，若设点m的坐标为(x ，y)，点f1的坐标为(c，0)，则x2 + y2 + (xc)2 + y2 = c2，即。这就是所求的轨迹方程。”“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点f1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点o与f1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。这当然很容易解得。”教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下：轨迹2 如图3，求弦ab中点p的轨迹方程。”“猜猜看，点p的轨迹是什么？”不少学生已经利用几何画板演示了出来：几何画板演示：拖动主动点a，得到点p的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段of1即半焦距。如图4。“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图3对这类问题无从下手。教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设p点坐标为(x，y)。要建立点p的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点a(x1，y1)、b(x2，y2)、p、f1，其中点f1是定点，a、b、p都是动点，但点a是主动点，引起点p运动的原因是由于点a在椭圆上运动。因此要找到点p与a、b、f这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。”“点p与a、b两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到，。”“如何将a、b、p、f1这四点的坐标联系起来？”“利用直线的斜率。”“直线ab的斜率怎样表示？”“有，还有。”“如何得到？”“”“a、b两点在哪？满足什么方程？” 图4“在椭圆上。满足，。”“知道怎样求了吗？”学生很快得到下列解法(经过整理)：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，则，因为点a、b都在椭圆上，则 ，两式相减得 ，于是有 ，化简得 ， 此即为所求的轨迹方程。教师：“以上解法是很典型的。这里设点a、b的坐标，但并不需要求出，只是利用a、b的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”一学生：“因为直线ab经过点f1，可以设直线ab的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出a、b两点的坐标”另一学生：“不必解出a、b的坐标，将直线ab的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点a、b的横坐标x1，x2，正好可以利用韦达定理得到，将点a、b的横坐标都表示为直线ab的斜率k的函数，消去参数k就行了。”教师：“很好。请同学们将解法写出来。”以下是学生的另一种解法(经整理)：解法二：假设直线ab的斜率为k，则直线ab的方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程得 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)，则，=， 由得，代入y=k(x+c)得，整理得 ， 即为所求的方程。学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分相似，也不知有没有必然的联系？”学生：“与的比例正好等于，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。”教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦ab上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦ab，自行发现问题，提出问题和解决问题。”学生们立即投入到探索中。一位学生：轨迹3 “在弦ab上任意取一点q，跟踪点q，动画哇！怎么点q的轨迹是这样的？”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦ab上任取一点q，跟踪点q，拖动主动点a，取到如下几何图形(如图57所示)： 图5 图6 图7“呀！这是什么图形？”“怎么会有这样的图形？”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”“该给这个轨迹起个什么名字呢？”学生们发出惊叹。拖动点q，发现点q的轨迹也发生变化。当点q接近中点p时，点q的轨迹图形接近于中点p的轨迹小椭圆(如图6)，而当点q接近于点a或b时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。轨迹4 “老师，我发现，如果将弦ab的两端a、b分别与椭圆长轴两个端点a1、a2连起来，则这两条直线a2a与a1b的交点c好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。“老师，点q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点c的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”教师：“试试看吧。”采取常规方法“交轨法”求解：设直线aa2、ba1的方程分别为y = k1(xa)，y = k2(x+a)，将aa2的方程代入椭圆方程整理得,此方程的两根是a、a2的横坐标x1与a，故可求得a(x1，y1)点坐标为, 图8同理可求得b(x2，y2)点坐标为 。由a、f1、b三点共线可得，即 ，将a、b两点坐标代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，将，代入上式得，分解因式得 ，因为直线aa2、ba1的交点在椭圆外，所以，故 ， 即 。即为直线aa2、ba1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理，直线a2b与a1a的交点d也在准线上。”“老师，不管c、d两点在左准线上怎样运动，cf1d是一个定值。如图9所示。”又一个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法，很快证明了出来。 教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图9结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。”轨迹5 “老师，如图10作oab的重心g，其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。(以下是学生课后提供的解答过程：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，g(x，y)，ab中点为m(x0，y0)，则，由，得，此即为直线ab的斜率k， 图10又 ， ， 整理得. 故oab重心g的轨迹方程为：。)下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线：轨迹6 “oab的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图11所示)。”轨迹7 “oab的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图12所示)。” 图11 图12轨迹8 “oab的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图13所示)。”轨迹9 “oab中，过点a作ob的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图14所示)。” 图13 图14轨迹10 “老师，如图15作abf2的重心g，其轨迹也是一个椭圆。”(以下是学生课后的解答：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，g(x，y)，则由f2(c，0)与g(x，y)可得ab中点m的坐标为，因为 ，所以 ，整理得 ，即 。此即为abf2的重心g的轨迹方程。) 图15又是几条奇妙的曲线：轨迹11 “abf2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线(如图16所示)。”轨迹12 “abf2的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图17所示)。”轨迹13 “abf2的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图18所示)。”轨迹14 “abf2中，过点a作bf2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图19所示)。” 图16 图17 图18 图19轨迹1518 “延长af2交椭圆于另一点c，联bf2 ，abc的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线(如图2023所示)。” 图20 图21 图22 图23“老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论？”“问得好。同学们探讨一下这位同学提出的问题。”以下是学生经过探索得出下面的结论(限于篇幅，本文略去解题过程)：轨迹19 如图24，过双曲线的右焦点f2作弦ab，则弦ab的中点m的轨 图24迹是以of2为实轴即实半轴长为的双曲线，其方程为，其解答过程与椭圆相似，这里略去。并且此双曲线与原双曲线的离心率相同。若在弦ab上任取一点p，则点p的轨迹图形如图2526，并且当点p 图25接近中点m时，p点轨迹接近中点m的轨迹双曲线；当点p接近点a或b时，p点轨迹接近原双曲线。轨迹20 如图27，oab的重心g的轨迹是一双曲线，其方程为 。轨迹21 如图28，abf1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为 图26 图27 图28轨迹21 如图28，abf1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为 。轨迹22 如图29，过抛物线的焦点f作弦ab， 则弦ab的中点m的轨迹是以f为顶点的抛物线，其方程为.图29 图30 图31如图3031，若在弦ab上任取一点p，则点p的轨迹并且当点p接近中点m时，p点轨迹接近中点m的轨迹抛物线，当点p接近点a或b时，p点轨迹接近原抛物线轨迹23 如图32，oab的重心g的轨迹是一条抛物线，其方程为 。轨迹24 如图33，k是抛物线的准线与x轴的交点，kab的重心的轨迹是一条抛物图32 图33 图34线，其方程为 。如图34，通过探索还可得到抛物线有关的一些性质： 如 以ab为直径的圆与准线相切； 连接oa、ob两条直线，分别交抛物线的准线于m、n两点，则mfn=,并且am、bn都垂直于准线。教师：“今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实验室，同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题，找到了主动点与被动点之间的关系，问题就不难解。下面的这个问题，同学们课后去加以研究，下周将你们研究的结果展示出来：问题 如图35所示，过椭圆的左顶点a1作两条互相垂直的弦a1a、a1b。对于弦ab提出一些问题并加以解决。例如：弦ab是否经过一个定点；弦ab上中点的轨迹问题；过a1或o点作弦ab的垂线，垂足的轨迹问题；a1ab的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题；a2ab的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题更一般的问题：如果在椭圆上取其它点m，过点m作两条互相垂直的弦ma、mb。对弦ab提出一些问题并加以解决。同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。”课后对学生进行了调查。以下是一些学生的感受：“今天这堂课收获很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然问题，通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。”“今天这堂课真有意思。通过几何画板这个工具，不仅掌握了如何研究问题， 图35同时也知道了如何去发现问题。”“通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。”“我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的产生过程。” 记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过，在