13.4 课题学习 最短路径问题 教学设计.doc

13.4 课题学习 最短路径问题 天津南开翔宇学校 林一杉一内容和内容解析1.内容 利用轴对称研究某些最短路径问题.2.内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“垂线段最短”为知识基础，有时还要借助对称轴、平移、旋转等变换进行研究.本节课以孩子们熟知的动画人物灰太狼“要回家”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题.建立数学模型后，主要侧重巩固模型基本要素的识别和应用.基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二目标和目标解析1. 目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.2. 目标解析 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“羊村”、“狼堡”、“小河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能在模型中准确识别“两点一线”的基本几何要素；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁作用”，感悟转化思想.三教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，学生接触的机会较少，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点P，使AP与BP的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建“脚手架”，.在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用.本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径转化为线段和最小问题.四教学过程设计（一）复习回顾1.最近天气寒冷，在户外时，恨不得马上找条近路钻进屋子里，下面展示了学校的平面图，当体育课后，要立刻从操场赶往食堂，你会选择哪条路线？运用了什么数学道理？学生：两点之间，线段最短.2. 在跑男节目中，率先完成所有游戏环节，得到宝箱者即为获胜，你会选择哪条路线？运用了什么数学道理？学生答：垂线段最短.我们在生活中都追求高效、便捷，最短路径问题是一个非常值得研究的课题，在之前的学习中，我们已经简单接触过，今天让我们来一起深入探究最短路径问题.设计意图：从身边实际出发，从生活中的最短路径引入，让学生体会数学和生活的紧密联系.（2） 探究新知问题一：灰太狼从羊村落魄回来，弄得满身泥巴，为了不被发现，他要用最快的速度抄近路回家，中途还要到附近的小河洗个澡.（1） 若羊村A与狼堡B在小河l的两侧，位置如图所示，请你为灰太狼设计最近的路线.学生回答：作图方法（2） 若羊村A与狼堡B在小河l的同侧，位置如图所示，请你为灰太狼设计最近的路线.学生回答：作图方法.设计意图：用身边孩子们熟悉的动画人物为背景，激起学生的学习兴趣，过渡自然，从学生已经掌握的直线异侧两点间最短路径问题出发，引导学生化未知为已知，将新提出的同侧问题转化为异侧问题求解.教师：几何画板同步演示作图过程.还可能出现另一种思路和作法.教师提问：我们如何来证明所选取的路线为最短路径？师生活动：请一名同学到黑板上拖动P点的位置，分别度量AP+BP与AP+BP的长度.设计意图：几何画板的展示更加直观，也容易调动孩子们的积极性，利于精神集中，而且动态的过程，让孩子们更加深刻的体会所找到的路径确为最短.为后续几何证明做铺垫.学生回答：在教师的引导下，在直线l上任取一点P（异于P点） 证明出AP+BPAP+BP学生回答：最短路径问题的基本几何要素为两点、一线.设计意图：总结最短路径模型中的三要素，有利于学生在做题过程中更快的识别、辨认、应用模型解决问题.（三）应用新知问题二：1.如图，在ABC 中，AB=AC，点D为线段AC上一点，在线段AH上求作一点P，使得PD+PC最短.学生活动：辨别图中的两点、一线. 提供不同的作图方法，比较选出最优方案.设计意图：让学生体会，解决数学问题，不仅要想到可行的方法，更要选取最好的方法，这也是解题中的“最短路径”.学生活动：学生小组讨论，2-5题，提出自己的观点，说明作法，每小组选出最优方案，到前面给全班讲解.其他同学，听取，提问，改正.2.如图，在等边ABC中，点H、D分别为BC、AC边中点，AH=3，在线段AH上求作一点P，使得PD+PC的值最小，并求最小值.3.如图，四边形OABC为正方形，点D在线段OA上，在线段OB上求作一点P，使得PD+PA的值最小.4.如图，点D、E分别为ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使得PDE的周长最短.5.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1,4）和（3,0），点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ）.A.(0，0) B.(0，1) C.(0，2) D.(0，3)学生总结：问题中，定长先不予考虑.设计意图：让学生做课堂的主人，在已经学习了基本模型知识后，应用的过程，要自己经历和体会，才会深刻，并且在讨论的过程中，大家各抒己见，学生也会认真思考，比较选出最优方案.在给全班同学讲解时，还锻炼了学生的表达能力，不仅要有想法，还要能够严谨，准确的表述出来.（四）中考链接 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3个单位长度，OB=4个单位长度，D为边OB的中点.（）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，在图中找出E点的位置；（）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2个单位长度，当四边形CDEF的周长最小时，在图中作出点E、F的位置.（）为练习4的灵活应用.（）对学生颇有难度.教师：引导学生将四边形抽离出来，去除定长后，由几何画板演示此问题是如何从我们研究的最短路径基本问题变化而来的，从而找到平移的解决办法.设计意图：再次强调化未知为已知的思想，让学生在探究过程中，体会独立思考、解决问题的成就感.理解复杂问题也是由简单问题演变而来，只要掌握方法，抽丝拨茧，中考题也难不倒我们.（五）课堂小结1.最短路径问题的基本几何要素为两点、一线.2.基本模型：3.基本作法.4.基本思想：将未知问题转化为已知问题；将分散的线段，