高考数学 热点专题专练 922三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题 理.doc

高考专题训练(二十二)三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题时间：45分钟分值：50分1(2012北京)(12分)已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间解(1)由sinx0得xk(kz)，故f(x)的定义域为xr|xk，kz因为f(x)2cosx(sinxcosx)sin2xcos2x1sin1，所以f(x)的最小正周期t.(2)函数ysinx的单调递增区间为(kz)由2k2x2k，xk(kz)，得kxk，xk(kz)所以f(x)的单调递增区间为和(kz)2.(2012湖北)(12分)如图，已知正三棱柱abca1b1c1的各棱长都是4，e是bc的中点，动点f在侧棱cc1上，且不与点c重合(1)当cf1时，求证：efa1c；(2)设二面角cafe的大小为，求tan的最小值解解法一：过e作enac于n，连接ef.(1)如图，连接nf、ac1，由直棱柱的性质知，底面abc侧面a1c，又底面abc侧面a1cac，且en底面abc，所以en侧面a1c，nf为ef在侧面a1c内的射影在rtcne中，cncecos601.则由，得nfac1，又ac1a1c，故nfa1c.由三垂线定理知efa1c.(2)如图，连接af，过n作nmaf于m，连接me.由(1)知en侧面a1c，根据三垂线定理得emaf.所以emn是二面角cafe的平面角，即emn.设fac，则045.在rtcne中，enecsin60，在rtamn中，mnansin3sin，故tan.又045，0sin.故当sin，即当45时，tan达到最小值tan.此时f与c1重合解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得a(0,0,0)，b(2，2,0)，c(0,4,0)，a1(0,0,4)，e(，3,0)，f(0,4,1)，于是(0，4,4)，(，1,1)，则(0，4,4)(，1,1)0440，故efa1c.(2)设cf，(04)，平面aef的一个法向量为m(x，y，z)，则由(1)得f(0,4，)(，3,0)，(0,4，)，于是由m，m可得即取m(，4)又由直三棱柱的性质可取侧面ac1的一个法向量为n(1,0,0)，于是由为锐角可得cos，sin，所以tan.由04，得，即tan.故当4，即点f与点c1重合时，tan取得最小值.3(2012四川)(13分)如图，在四棱锥pabcd中，底面是边长为2的菱形，bad120，且pan平面abcd，pa2，m，n分别为pb，pd的中点(1)证明：mn平面abcd；(2)过点a作aqpc，垂足为点q，求二面角amnq的平面角的余弦值如图，在三棱锥pabc中，apb90，pab60，abbcca，平面pab平面abc.(1)求直线pc与平面abc所成的角的大小；(2)求二面角bapc的大小分析本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力对于(1)，依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于(2)，根据二面角的平面角的意义，借助于三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求出答案解解法一：(1)设ab的中点为d，ad的中点为o.连结po、pd、co、cd.由已知，pad为等边三角形所以poad.又平面pab平面abc，平面pab平面abcad，所以po平面abc.所以ocp为直线pc与平面abc所成的角不妨设ab4，则pd2，cd2，od1，po.在rtocd中，co.所以，在rtpoc中，tanocp.故直线pc与平面abc所成的角的正切值为.(2)过d作deap于e，连结ce.由已知可得，cd平面pab.根据三垂线定理知，cepa.所以ced为二面角bapc的平面角由(1)知，de.在rtcde中，tanced2.故二面角bapc的正切值为2.解法二：(1)设ab的中点为d，作poab于点o，连结cd.因为平面pab平面abc，平面pab平面abcad，所以po平面abc.所以pocd.由abbcca，知cdab.设e为ac中点，则eocd，从而oepo，oeab.如图，以o为坐标原点，ob、oe、op所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系oxyz.不妨设pa2，由已知可得，ab4，oaod1，op，cd2，所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，c(1,2，0)，p(0,0，)所以(1，2，)，而(0,0，)为平面abc的一个法向量设为直线pc与平面abc所成的角，则sin.故直线pc与平面abc所成的角的正弦值为.(2)由(1)有，(1,0，)，(2,2，0)设平面apc的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则从而取x1，则y11，z11，所以n(，1,1)设二面角bapc的平面角为，易知为锐角而平面abp的一个法向量为m(0,1,0)，则cos.故二面角bapc的余弦值为.4(2012山东)(13分)现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex.分析本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类整合思想和运算求解能力(1)该射手恰好命中一次包括命中甲靶一次且乙靶两次都没有命中，没有命中甲靶且命中乙靶一次；(2)x的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据x取各个值时命中靶的情况分别求出其概率值，即可得到概率分布列，进而求出数学期望解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件a，“该射手射击甲靶命中”为事件b，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件c，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件d，由题意知p(b)，p(c)p(d)，由于ab c d，根据事件的独立性和互斥性得p(a)p(b c d)p(b )p(c)p( d)p(b)p()p()p()p(c)p()p()p()p(d).(2)根据题意，x的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和