高考数学40个考点总动员 考点14 解三角形（教师版） 新课标.doc

考点14 解三角形【高考再现】热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1（2012年高考（重庆文）设的内角 的对边分别为,且,则_2（2012年高考（天津理）在中,内角,所对的边分别是,已知,则（）abcd3（2012年高考（陕西理）在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（）a b c d【答案】c【解析】:由余弦定理得,当且仅当时取“=”,选c. 4（2012年高考（湖北文）设的内角所对的边分别为,若三边的长为连续的三个正整数,且,则为（）a432b567c543d6545（2012年高考（陕西文）在三角形abc中,角a,b,c所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,b=,c=2,则b=_【答案】2【解析】:由余弦定理得,所以.6（2012年高考（福建文）在中,已知,则_.【答案】 【解析】由正弦定理得 7（2012年广东文）在中,若,则（）abcd8（2012年高考（重庆理）设的内角的对边分别为,且则_【答案】 【解析】由,由正弦定理得,由余弦定理 9（2012年高考（北京理）在abc中,若,则_.10（2012年高考（湖南文）在abc中,ac= ,bc=2,b =60,则bc边上的高等于（）abcd11（2012年高考（北京文）在abc中,若,则的大小为_.【答案】 【解析】,而,故. 12（2012年高考（湖北理）设的内角,所对的边分别为,. 若,则角_.13（2012年高考（安徽文）设的内角所对的边为,且有()求角的大小;(ii) 若,为的中点,求的长.14（2012年高考（江西文）abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知3cos(b-c)-1=6cosbcosc.(1)求cosa;(2)若a=3,abc的面积为,求b,c.【解析】(1) 则. (2) 由(1)得,由面积可得bc=6,则根据余弦定理 则,两式联立可得或.15（2012年高考（课标文）已知,分别为三个内角,的对边,.()求;()若=2,的面积为,求,.16（2012年高考（天津文）在中,内角所对的分别是.已知.(i)求和的值; (ii)求的值.17（2012年高考（江苏）在中,已知.(1)求证:;(2)若求a的值.18（2012年高考（大纲文）中,内角a.b.c成等差数列,其对边满足,求.19（2012年高考（辽宁理）在中,角a、b、c的对边分别为a,b,c.角a,b,c成等差数列.()求的值;()边a,b,c成等比数列,求的值.【方法总结】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意(3)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用热点二、利用正余弦定理判断三角形形状1（2012年高考（上海理）在中,若,则的形状是（）a锐角三角形.b直角三角形.c钝角三角形.d不能确定.【方法总结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论热点三、利用正余弦定理求三角形面积1（2012年高考（山东文）(本小题满分12分)在abc中,内角所对的边分别为,已知.()求证:成等比数列;()若,求的面积s.2（2012年高考（江西理）在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知,.(1)求证:(2)若,求abc的面积.3（2012年高考（浙江理）在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.已知cosa=,sinb=cosc.()求tanc的值;()若a=,求abc的面积.【解析】 () cosa=0,sina=, 又cosc=sinb=sin(a+c)=sinacosc+sinccosa =cosc+sinc. 整理得:tanc=. ()由图辅助三角形知:sinc=. 又由正弦定理知:, 故. (1) 对角a运用余弦定理:cosa=. (2) 解(1) (2)得: or b=(舍去). abc的面积为:s=. 【方法总结】【考点剖析】一明确要求1考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法二命题方向1利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.三规律总结基础梳理2余弦定理：a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c余弦定理可以变形为：cos a，cos b，cos c.3sabcabsin cbcsin aacsin b(abc)r(r是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算r，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，a，则a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin aabsin absin aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在abc中，ababsin asin b.两类问题两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换【基础练习】.1(人教a版教材习题改编)在abc中，a60，b75，a10，则c等于()a5 b10 c. d52（经典习题）在abc中，若，则b的值为()a30 b45 c60 d90【答案】b【解析】由正弦定理知：，sin bcos b，b45.3（经典习题）在abc中，a3，b2，cos c，则abc的面积为()a3 b2 c4 d.4(教材习题改编)在abc中，a60，a4，b4，则b () a45或135b135 c45d60【答案】c【解析】：由正弦定理知，sin b，又ab，ab，b45.5（经典习题）在abc中，a，b1，c2，则a等于 () a30 b45 c60 d75【答案】c【解析】cos a，又0a180，a60.6(教材习题改编)在abc中，若a18，b24，a45，则此三角形有 ()a无解 b两解c一解 d解的个数不确定【名校模拟】一基础扎实1(2012长沙模拟)在abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c， 已知a，a，b1，则c等于 () a1 b2 c.1 d.2(2012福州质检)在abc中，角a，b，c所对的边分别为 a，b，c.若a1，c4，b45，则sin c等于 () a. b. c. d.【答案】b【解析】：由余弦定理得b2a2c22accos b132825，b5.所以cos c，sin c或.sin c.3(2011金华二模)在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若角a、b、c依次成等差数列，且a1，b，则sabc等于 () a. b. c. d24（海淀区高三年级第二学期期末练习文）在中，若，的面积为，则= . 5(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)在中，则 _ 【答案】；【解析】利用正弦定理可知：6在中，ab=5，bc=7，则的面积s= 7（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分12分）设的内角、所对的边分别为、，已知,. （1）求边的值（2）求的值8（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考理）（本小题满分12分）在abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足cos,（1） 求abc的面积；（2） 若c=1,求a、sinb的值.【解析】：（1） cosa=2-1=而 bc=5 又a（0，），sina=，s=bcsina=5=2. （2） bc=5,而c=1，b=5. -2bccosa=20，a= 又，sinb=.二能力拔高 1(2012衢州模拟)abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若，则abc一定是 () a等腰三角形 b直角三角形 c等腰直角三角形 d等边三角形2(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b,c.若，且=，则b=（ ）a4 b.3 c.2 d.13(2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)在中,角所对的边分别为，若，则边 4(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积为_.5(2012年高三教学测试（二）理)在中，角的对边分别为，若，则 【答案】.【解析】由正弦定理知：， 又：， 将带入得：（）6（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）在abc中，sin2c=sinasinb+sin2b，a=2b，则角c= . 【解析】 已知即，将代入可得。根据余弦定理，所以。7(湖北省八校2012届高三第一次联考理)设abc的内角a、b、c所对的边分别为a，b，c，且= 。8(北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)（本小题满分13分）在中，已知（）求角； （）若，求 9(唐山市20112012学年度高三年级第一次模拟考试文) (本小题满分12分）在中，角的对边分别为,.若(i)求的值；()求的取值范围.10(七校联考 数学试卷文) 在中，.（1）求角的大小；（2）如果的最大边长为，求最小的边长.11(2012年云南省第一次统一检测理)在中，三个内角、对的边分别为、，设平面向量，.（i）求的值；（ii）设，求的边上的高.三提升自我1(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)在中，角、所对边的长分别为、若，则的值为（ ）a b c d 【答案】b【解析】由余弦定理得，又则，故选b.2(湖北武汉2012适应性训练理)已知的内角、所对的边分别为、， ，则此三角形a一定是锐角三角形 b一定是直角三角形c一定是钝角三角形 d可能是直角三角形，也可能是锐角三角形3 (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)在中，角的对边分别为，已知，且，则的面积的最大值为_.4 (浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)在三角形abc中，若c3b，则的取值范围是_【答案】（1，3）【解析】由正弦定理知 ， ， ， 带入得， （注：三倍角公式）5(浙江省2012届理科数学高考领先卷名校精粹重组试卷理)在中，已知内角，边，则的面积的最大值为 6(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）) 已知函数（）求函数的最小正周期及其单调递减区间；（）在锐角中，,分别为角,所对的边，又a =2， b c =,求的周长.【解析】：（） 所以函数的周期为. 由 ，解得 ，故函数的单调减区间是（）在锐角dabc中，分别为角所对的边， ， 则 ， 所以. 则. 又 a =2， 由余弦定理 因为，所以， 则 dabc的周长等于. 7(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)已知是的三个内角，且满足，设的最大值为()求的大小；()当时，求的值8(2012洛阳示范高中联考高三理)在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c， q=（，1），p=（， ）且求：（i）求sin a的值；（ii）求三角函数式的取值范围9(浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）在abc中，已知角a、b、c所对边分别为a、b、c，且满足b2=ac(1)求证：；(2)求函数的值域.10(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知、是的三个内角，、对的边分别为、，设平面向量，.（i）求的值；（ii）设，的面积，求的值.11(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)在中，角，的对边分别为，且满足（1）求角的大小